福州市2023年高三下學期第一次聯考數學試卷含解析

1、2023年高考數學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回

2、。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1在復平面內，復數對應的點的坐標為（ ）ABCD2己知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，是等邊三角形，且；若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（ ）ABCD3已知a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4函數圖像可能是（ ）ABCD5如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為 （ ）ABCD6為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國

3、統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數.對于下列說法：越小，則國民分配越公平；設勞倫茨曲線對應的函數為，則對，均有；若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：ABCD7一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為，則（ ）ABCD8設實數、滿足約束條件，則的最小值為（ ）A2B24C16D

4、149已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（ ）ABC3D410甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（ ）ABCD11集合，則=( )ABCD12已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則為( )AB40C16D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設為銳角，若，則的值為_14對定義在上的函數，如果同時滿足以下兩個條件：（1）對任意的總有；（2）當，時，總有成立.則稱函數稱為G函數.若是定義在上G函數，則實數a的取值范圍為_.15在中，角的對邊分別為，且，若外接圓

5、的半徑為，則面積的最大值是_.16袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知向量， .（1）求的最小正周期；（2）若的內角的對邊分別為，且，求的面積.18（12分）已知在中，角，的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.19（12分）已知函數f(x)xlnx，g(x)x2ax.（1）求函數f(x)在區(qū)間t，t1(t0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)g(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)

6、是函數h(x)圖像上任意兩點，且滿足1，求實數a的取值范圍；（3）若x(0,1，使f(x)成立，求實數a的最大值20（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，為實數）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線與曲線交于，兩點，線段的中點為 （1）求線段長的最小值； （2）求點的軌跡方程21（12分）在中，角的對邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）若的面積是，求的周長.22（10分）已知，分別為內角，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：；.（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應的面積.（若所選條件出現多種可

7、能，則按計算的第一種可能計分）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】利用復數的運算法則、幾何意義即可得出【詳解】解：復數i（2+i）2i1對應的點的坐標為（1，2），故選：C【點睛】本題考查了復數的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題2A【解析】根據平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過的中點的面的垂線上，又是等邊三角形，所以球心也在過的外心面的垂線上，從而找到球心，再根據已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示：取的中點，則是等腰梯形外接圓的圓心，取是的外心，作平面平面，則是四棱錐的外接球球

8、心，且，設四棱錐的外接球半徑為，則，而，所以，故選：A.【點睛】本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數形結合的思想，屬于難題.3C【解析】根據線面平行的性質定理和判定定理判斷與的關系即可得到答案.【詳解】若，根據線面平行的性質定理，可得；若，根據線面平行的判定定理，可得.故選：C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質定理和判定定理，屬于基礎題.4D【解析】先判斷函數的奇偶性可排除選項A,C，當時，可分析函數值為正，即可判斷選項.【詳解】,即函數為偶函數，故排除選項A,C，當正數越來越小，趨近于0時，所以函數，故排除選項B,故選：D【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性，識別函數的圖象，屬于中

9、檔題.5A【解析】分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數量積分拆，設，數量積轉化為關于t的函數，用函數可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設=所以當時，上式取最小值 ，選A.點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉化為函數求最值。6A【解析】對于，根據基尼系數公式，可得基尼系數越小，不平等區(qū)域的面積越小，國民分配越公平，所以正確.對于，根據勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以錯誤.對于，因為，所以，所以錯誤.對于，因為，所以，所以正確.故選A

10、7B【解析】根據空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因為，所以.故選：B【點睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎題.8D【解析】做出滿足條件的可行域，根據圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，根據圖象，當目標函數過點時，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數形結合求線性目標函數的最值，屬于基礎題.9A【解析】根據題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得，解可得，由離心率公式計算可得答案【詳解】根

11、據題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程，關鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平10D【解析】先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是. 故選：D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力

12、，屬于基礎題.11C【解析】先化簡集合A,B，結合并集計算方法，求解，即可【詳解】解得集合，所以，故選C【點睛】本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關鍵化簡集合A,B，難度較小12D【解析】如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據得到：，即，根據得到：，即，解得，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】為銳角，故.14【解析】由不等式恒成立問題采用分離變量最值法：對任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，從而可得.

13、【詳解】因為是定義在上G函數，所以對任意的總有，則對任意的恒成立，解得，當時，又因為，時，總有成立，即 恒成立，即恒成立，又此時的最小值為，即恒成立，又因為 解得.故答案為：【點睛】本題是一道函數新定義題目，考查了不等式恒成立求參數的取值范圍，考查了學生分析理解能力，屬于中檔題.15【解析】由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式，結合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進而根據余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而根據三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，又，即，可得：，外接圓的半徑為，解得，由余弦定理，可得，又，（當且僅當時取等號），即最大值為4，面積的最大值為.

14、故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題16【解析】試題分析：根據題意，記白球為A，紅球為B，黃球為，則一次取出2只球，基本事件為、共6種，其中2只球的顏色不同的是、共5種；所以所求的概率是考點：古典概型概率三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）或【解析】（1）利用平面向量數量積的坐標運算可得，利用正弦函數的周期性即可求解；（2）由（1）可求，結合范圍，可求的值，由余弦定理可求的值，進而根據三角形的面積公式即可求解【詳解】（1）最小正周期 .

15、（2）由（1）知， ， 又或. 解得或當時，由余弦定理得即， 解得.此時.當時，由余弦定理得.即，解得.此時.【點睛】本題主要考查了平面向量數量積的坐標運算、正弦函數的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于基礎題18 (1);(2) .【解析】分析：（1）在式子中運用正弦、余弦定理后可得（2）由經三角變換可得，然后運用余弦定理可得，從而得到，故得詳解：(1)由題意及正、余弦定理得， 整理得，（2）由題意得， ，. 由余弦定理得， ，當且僅當時等號成立 面積的最大值為點睛：（1）正、余弦定理經常與三角形的面積綜合在一起考查，解題時要注意整

16、體代換的應用，如余弦定理中常用的變形，這樣自然地與三角形的面積公式結合在一起（2）運用基本不等式求最值時，要注意等號成立的條件，在解題中必須要注明19（1）m(t)（2）a22.（3）a22.【解析】（1）是研究在動區(qū)間上的最值問題，這類問題的研究方法就是通過討論函數的極值點與所研究的區(qū)間的大小關系來進行求解（2）注意到函數h(x)的圖像上任意不同兩點A，B連線的斜率總大于1，等價于h(x1)h(x2)x1x2(x1x2)恒成立，從而構造函數F(x)h(x)x在(0，)上單調遞增，進而等價于F(x)0在(0，)上恒成立來加以研究（3）用處理恒成立問題來處理有解問題，先分離變量轉化為求對應函數的

17、最值，得到a，再利用導數求函數M(x)的最大值，這要用到二次求導，才可確定函數單調性，進而確定函數最值【詳解】（1） f(x)1，x0，令f(x)0，則x1.當t1時，f(x)在t，t1上單調遞增，f(x)的最小值為f(t)tlnt；當0t1時，f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數，在區(qū)間(1，t1)上為增函數，f(x)的最小值為f(1)1.綜上，m(t)（2）h(x)x2(a1)xlnx，不妨取0 x1x2，則x1x20，則由，可得h(x1)h(x2)x1x2，變形得h(x1)x1h(x2)x2恒成立令F(x)h(x)xx2(a2)xlnx，x0，則F(x)x2(a2)xlnx在(0，)上單調

18、遞增，故F(x)2x(a2)0在(0，)上恒成立，所以2xa2在(0，)上恒成立因為2x2，當且僅當x時取“”，所以a22.（3）因為f(x)，所以a(x1)2x2xlnx.因為x(0,1，則x1(1,2，所以x(0,1，使得a成立令M(x)，則M(x).令y2x23xlnx1，則由y0 可得x或x1(舍)當x時，y0，則函數y2x23xlnx1在上單調遞減；當x時，y0，則函數y2x23xlnx1在上單調遞增所以yln40，所以M(x)0在x(0,1時恒成立，所以M(x)在(0,1上單調遞增所以只需aM(1)，即a1.所以實數a的最大值為1.【點睛】本題考查了函數與導數綜合問題，考查了學生綜合分析，轉化與劃歸，數學運算能力，屬于難題.20（1）（2）【解析】（1）將曲線的方程化成直角坐標方程為，當時，線段取得最小值，利用幾何法求弦長即可.（2）當點與點不重合時，設，由利用向量的數量積等于可求解，最后驗證當點與點重合時也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標方程為即圓心，半徑，曲線為過定點的直線，易知在圓內，當時，線段