空間立體幾何的證明與計算

文檔編碼:CV8V4V1W3V3——HB6G1J5Y6L7——ZR10R10O8A3H9空間立體幾何的證明與運算1．如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,AB5,BC4,點D是AB的中點；（1）求證：AC1//平面CDB1；（2）求證：ACBC1；,BAD90,PA底2．如圖,在四棱錐PABCD中,底面為直角梯形,AD//BC面ABCD,且PAAB,M、N分別為PC、PB的中點．PNMD底面ABC,ABC為正三角形,且D為AC中點．ABC//平面PAD；（1）求證：MN（2）求證：PBDM．3．三棱柱ABCABC,AA1/17C1A1 B1CDABAACC1（1）求證：平面BCD⊥平面（2）如AA1=AB=2,求點A到面BC1D的距離．4．斜三棱柱A1B1C1ABC中,側(cè)面AA1C1C底面ABC,側(cè)面AA1C1C是菱形,AAC60o,AC,AB的中點．AC3,ABBC2,E、F分別是C1A1EB1A CFB（1）求證：EF∥平面BBCC；（2）求證：CE⊥面ABC．（3）求四棱錐EBCC1B1的體積．D1中,E,F分別為棱AD,AB的中點．5．如圖,在正方體ABCDA1B1C1（1）求證：平面 AEF∥平面 CB1D1；（2）求CB1與平面 CAA1C1所成角的正弦值．6．（本小題滿分 14分）如圖,ABC是邊長為4的等邊三角形, ABD是等腰直角三角形,AD BD,平面ABC 平面ABD,且EC 平面ABC,EC 2.（1）證明： DE//平面ABC；（2）證明：ADPBE.的底面ABCD為菱形,PD平面ABCD,PDAD2,ABCD7．如圖,四棱錐BAD60,E、F分別為BC、PA的中點．PFD C

E平面PAD；AB（1）求證：ED3/17（2）求三棱錐PDEF的體積．ACB90,ACBC1AA,D是棱AA上8．如圖,直三棱柱ABCABC中,2的動點．（Ⅰ）證明：DC1BC；（Ⅱ）如平面 BDC1分該棱柱為體積相等的兩個部分,試確定點 D的位置,并求二面角A1 BD C1的大?。?．如圖,在四周體 ABCD中,平面BAD 平面CAD, BAD 90°．M,N,Q分別為棱AD,BD,AC的中點．（1）求證：CD//平面MNQ；（2）求證：平面MNQ平面CAD．10．如以下圖,在三棱錐DABC中,ABBCCD1,AC3,平面ACD⊥平面ABC,BCD90o．（1）求證：CD平面ABC；（2）求直線BC與平面ABD所成角的正弦值．11．（本小題滿分14分）如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,PC⊥底面ABCD,PC=AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點．（Ⅰ）求證：平面 EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角 P-AC-E的余弦值；（Ⅲ）求直線 PA與平面EAC所成角的正弦值．5/17 參考答案

1．（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】試題分析：（1）CB與C1B的交點為E,連結(jié)DE,利用三角形的中位線得到線線平行,再利用線面平行的判定定理進行證明； （2）利用勾股定理證明底面三角形為直角三角形, 得到 AC BC,再利用直三棱柱得到 AC CC1,利用線面垂直的判定定理證明線面垂直,進而證明線線垂直．解題思路:證明空間中的線線、線面平行或垂直時,要留意利用平面幾何中的平行或垂直關(guān)系,即立體問題平面化．試題解析：（1）設(shè) CB與C1B的交點為E,連結(jié)DE,∵ D是AB的中點,E是BC的中點,∴ DE//AC1,∵ DE 平面CDB1, AC1 平面CDB1,∴ AC1//平面CDB1 6 分（2）在直三棱柱 ABC A1B1C1,∵底面三邊長 AC 3, AB 5,BC 4,∴ AC BC,8 分又直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC CC1,且 BC CC1 C 10 分BC,CC1 平面BCC1B1 ∴ AC 平面BCC1B1 12 分而 BC1 平面BCC1B1 ∴ AC BC1；13 分考點：1．線面平行的判定定理；2．線面垂直的判定定理與性質(zhì)．2．（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）中第一利用三角形中位線得到 MN//BC,進而由 AD//BC,利用兩線平行推出線面平行的判定定理得到 MN//平面PAD（2）中由等腰 ABP得到AN PB,利用AD 平面PAB得到 AD PB,所以PB 平面ADMN, PB DM試題解析：（1）∵M、N分別為PC、PB的中點,∴MN//BC,2分ANPB．又∵AD//BC,∴MN//AD．4分又∵MN平面PAD,AD平面PAD,∴MN//平面PAD6分（2）∵AN為等腰ABP底邊PB上的中線,∴7/17∵PA 平面ABCD,AD 平面ABCD,∴AD PA．又∵AD AB,且 AB AP A,∴AD 平面PAB．又PB 平面PAB,∴ AD PB．10 分∵ AN PB, AD PB,且 AN AD A,∴PB 平面ADMN．又DM 平面ADMN,∴ PB DM ；13 分考點：1．線面平行的判定； 2．線面垂直的判定與性質(zhì)3．（1）詳見解析；（2）455【解析】試題分析：（1）證明兩平面相互垂直,一般方法是在其中一個平面中找到一條垂直于另一條平面線段,這樣就能將面與面垂直轉(zhuǎn)化成求線與面的垂直； （2）求點到平面的距離,需要過此點做一條垂直于平面的線段, 這條線段即為點到平面的距離, 此題重要的是找到這條線段,而從 A點向 DC作一條垂直于 DC的線段正好為此點到平面的高線；試題解析：（1）由于 ABC為正三角形且 D為AC中點,所以BD AC；又由于 AA 底面ABC且BD 平面ABC,所以 AA1 BD,所以依據(jù)定理知道 BD 平面 AACC；又由于BD過平面 BCD,所以得到平面 BCD⊥平面 AACC；（2）從 1A點向 DC作一條垂直于 DC的線段交 DC于E,由于 AE DC,又由于在第一問中證得BD 平面 AACC,所以 AE BD,AE 平面 BCD；所以點A到面BC1D的距離即為 AE的長度；又由于AA1=AB=2,且 ABC為正三角形,所以得到 CD 1、BC 2,那么由 CDC相像于 AEC,所以 AE CC1 2,解得 AE

45；AC1 DC1 5 5考點：1．線與面垂直的判定；2．相像三角形和勾股定理4．（1）見解析（2）見解析（3）321

8【解析】試題分析：（1）利用線面平行的判定定理,線線平行,線面平行,做幫忙線, 取BC中點M,連結(jié) FM, CM,依據(jù)平行的傳遞性,可證四邊形 EFMC為平行四邊形, EF//C1M ,（2）兩平面垂直,其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面,依據(jù)這確定理,連 A1C,易證CE⊥ A1C1,A1C1∥AC ．,依據(jù)定理得證；（3）連接 B1C,∵四邊形 BCC1B1是平行四邊形,所以四棱錐 VE BCC1B1 2VC EC1B1 ,利用 CE⊥面 ABC,2VC EC1B1=2 13 s EC1B1 CE．試題解析：（1）證明：取 BC中點M,連結(jié)FM,CM．在△ ABC中,∵F,M分別為BA,BC的中點,∴FM∥1AC．CEC1B12∵E為AC的中點,AC∥AC1∴FM∥EC．∴四邊形EFMC為平行四邊形∴EF∥CM．∵CM平面BBCC,EF平面BBCC,∴EF∥平面BBCC．4分；（2）證明：連接A1C,∵四邊形AA1C1C是菱形,AAC160o∴△A1C1C為等邊三角形∵E是AC的中點．∴CE⊥A1C1∵四邊形AA1C1C是菱形,∴A1C1∥AC．∴CE⊥AC．∵側(cè)面AACC⊥底面ABC,且交線為AC,CE面AACC∴CE⊥面ABC8分；（3）連接B1C,∵四邊形BCC1B1是平行四邊形,所以四棱錐VEBCC1B12V9/17由第（2）小問的證明過程可知EC面ABC面EB1C1∵斜三棱柱A1B1C1ABC中,∴面ABC∥面A1B1C1．∴EC∵在直角△CEC中CC13,EC13,∴EC3232∴SB1EC11322〔3〕2387222分；4．體積公式∴四棱錐VEBCC1B12VCEC1B1=213732332112388考點：1．線面平行的判定2．線面垂直的判定3．面面垂直的性質(zhì)5．（1）詳見解析；（2）1

2【解析】試題分析：（1）證明一條直線與平面平行,只需要在這個平面內(nèi)找到一條同此直線平行的線即可；（2）求一條直線與另一個平面的夾角正弦值, 我們可以把其轉(zhuǎn)化為求這條直線與另一條與平面垂直的直線的余弦值即可；試題解析：（1）由于E,F分別為棱AD,AB的中點,全部依據(jù)三角形的中位線定理得到EF//BD；又由于BD1//BD,所以依據(jù)平行的傳遞性得到BD1//EF；又由于EFBDC,所以EF∥平面CB1D1；CB與平面CAA1C1的（2）由于BD1AC且CC1AC,所以BD1平面CAA1C1；求正弦值,即可以轉(zhuǎn)化為求BD與CB的余弦值；又由于BD1DCBC,所以BD與CB所在的三角形是正三角形；那么兩條直線的余弦值就是cos6001

2；考點：1．直線與平面平行的判定；6．見解析.【解析】2．直線與平面所成角的求解；試題分析：第一問依據(jù)線面平行的判定定理的內(nèi)容,重點找出相應的平行線即可得出結(jié)果,其次問留意應用好空間的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化,留意與垂直相關(guān)的定理和結(jié)論懂得透徹即可 .試題解析：（1）取AB的中點O,連結(jié)DO、CO,1 分Q ABD是等腰直角三角形, AD BD,DO AB,DO 1 AB 2,2 分2又Q平面ABD 平面ABC,平面ABDI平面ABC AB,DO 平面ABC,3 分由已知得EC 平面ABC,DO//EC,4 分又 EC 2 DO,四邊形DOCE為平行四邊形, 5 分DE//OC,6 分而DE 平面ABC,OC 平面ABC,DE//平面ABC.7 分（2）QO為AB的中點, ABC為等邊三角形,OC AB,8 分由（1）知DO 平面ABC,而OC 平面ABC,可得DO OC,9 分QDOI AB O,OC 平面ABD,10 分而AD 平面ABD,OC AD,11 分又Q DE//OC,DE AD,12 分而BD AD,DEI BD D,AD 平面BDE,13 分11/17又BE平面BDE,分ADBE.14考點：空間點、線、面的位置關(guān)系,空間想象才能、運算才能和規(guī)律推理才能．7．（1）見試題解析；（2） 3

3DEAD,PDDE；（2）由【解析】（1）要證明DE平面PAD,可證明得SPDF1SPDA11221及DE3可222VPDEFVEPDF1SPDFDE1133.333試題分析：試題解析：（1）連結(jié)BD,由已知得△ABD與△BCD都是正三角形,所以,BD2,DEBC,（1分）3．由于AD∥BC,所以DEAD,（2分）又PD平面ABCD,所以PDDE,（4分）由于ADPDD,所以DE平面PAD．（6分）由于SPDF1SPDA11221,（2分）222且DE3,（4分）所以,VPDEFVEPDF1SPDFDE113333考點：1.線面垂直的證明；2三棱錐的體積.8．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）30【解析】試題分析：（Ⅰ）由直棱錐可得CC平面ABC,從而可得CCBC,由直角可得BC AC；根據(jù)線面垂直的判定定理可證得BC 平面 ACCA,從而可得BC DC．（Ⅱ）依據(jù)體積關(guān)系可運算得出 D為 AA中點．以C為空間坐標原點,CA為x軸正向、CB為y軸正向、 CC為z軸正向,建立空間直角坐標系,設(shè) AC的長為1,就可得各點的坐標． 從而可得各向量的坐標． 依據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為 0可分別求得面 1ABD和面 BCD的法向量．從而可求得兩法向量夾角的余弦值． 從而可得兩法向量夾角． 所求二面角為銳角等于兩法向量的夾角或其補角．試題解析：解：（Ⅰ）QCC平面ABC,CCBC（1分）AA,D為AA中點；又ACB90,即BCAC,ACICCC1VABCABC1 1 1,∴BC平面ACCA,又DC1平面ACCA,∴BCDC；（4分）（Ⅱ）∵VDBCC11SBCC1AC1SBCCB11AC363依題意VDBCC1VDABC1VABCABC11 1,AA1AD12∴VDABC1VABCABC1 1 11SABCAD1SABC6362（7分）（法1）取 AB的中點O,過點O作OH BD于點H,連接 COCHAC1 BC1 CO AB,面 ABC1 面 1ABD CO 面 ABDOH BD CH BD ,得點H與點D重合,且 CDO是二面角 A1 BD C1的平面角． （10分）設(shè)AC a,就CO 2a,1CD 2a 2CO CDO 30 ,得二面角的大小為 30．213/17（12分）（法2）以C為空間坐標原點,CA為x軸正向、CB為y軸正向、CC為z軸正向,建立空間直角坐標系,設(shè)AC的長為1,就A1,0,0,B0,1,0,D1,0,1,A11,0,2,B10,1,2,C10,0,2（8分）作AB中點E,連結(jié)CE,就CEAB,從而CEy平面ABD,平面1ABD的一個法向量uuurEC〔1,1,0〕（9分）22設(shè)平面BCD的一個法向量為r

n〔,,〕,就uuurBD〔1,1,1〕,uuuurDC1〔1,0,1〕∴ruuur

nBD

ruuuur nDC100xyz0,令z1,得x1,2,∴r

n〔1,2,1〕xz0∴uuuurr|cos||cos〔ECn,〕||uuuurruuuur|ECn1 r|EC1||n||1〔12〕2〔1〕|326222故二面角A1BDC1為30．（12分）考點：1線面垂直；2二面角．9．（1）詳見解析；（2）詳見解析；【解析】試題分析：（1）要證線面平行,可以查找線線平行,而由三角形中位線可得線線平行； （2）要證面面垂直可以查找線面垂直,而已知面面垂直,由此可推得線面垂直；試題解析：（1）由于M,Q分別為棱AD,AC的中點,所以 MQ//CD,又CD 平面MNQ,MQ 平面MNQ,故CD // 平面MNQ．（2）由于M,N分別為棱AD,BD的中點,所以 MN // AB,又 BAD 90°,故MN AD．由于平面BAD 平面CAD,平面BADI平面CAD AD,且MN 平面ABD,所以MN 平面ACD．又MN 平面MNQ,平面MNQ 平面CAD．考點：1.線面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理；10．（1）,（2）直線BD與平面ACD所成角的正弦值等于2.4【解析】試題分析：（1）為了證明CD 平面ABC,就需利用平面 ACD⊥平面ABC,為此過B做BH⊥AC于H,由兩個平面垂直的性質(zhì)定理,可得 BH⊥平面ACD,進而得到 BH⊥平面ACD,又 QCD⊥BC BH I BC B,BH⊥CD,故CD 平面ABC（2）作出直線BD與平面ACD所成角,為此連結(jié)DH,BH⊥平面ACD ,就 BDH為求直線BD與平面ACD所成角,在 VBDH 中運算即可得到 sin BDH BH 2BD 4試題解析：（1）過B做BH⊥AC于HQ平面ACD⊥平面ABC,平面ACDI平面ABCACBH⊥平面ACDBH⊥CD又 QCD⊥BC BH I BC BCD 平面ABC（2）QBH⊥平面ACD 連結(jié)DH就 BDH為求直線BD與平面ACD所成角QABBC1,AC3ABC120o又QBHAC 24.BH1又QBD2Q2sinBDHBH2BD4直線BD與平面ACD所成角的正弦值等于15/17考點： 線面垂直的判定,直線與平面所成的角11．（Ⅰ）