(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)5.2《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》教案 (含詳解)

PAGEPAGE19第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.與向量線性運(yùn)算相結(jié)合，考查平面向量基本定理及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量的線性運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3．與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量共線，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．(基底的判斷)下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))答案：B2．(數(shù)乘運(yùn)算)已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，則3a－2bA．(－7,7)B．(－3，－2)C．(6,2) D．(4，－3)答案：A3．(向量共線的應(yīng)用)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.答案：－6二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1.(混淆基底的選擇)如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1解析：選A因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))，即eq\o(AE,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，所以λ＝－eq\f(1,2)，μ＝1，所以λ＋μ＝eq\f(1,2).2．(混淆單位向量的方向)已知A(－5,8)，B(7,3)，則與向量eq\o(AB,\s\up7(→))反向的單位向量為________．解析：由已知得eq\o(AB,\s\up7(→))＝(12，－5)，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝13，因此與eq\o(AB,\s\up7(→))反向的單位向量為－eq\f(1,13)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，\f(5,13))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，\f(5,13)))3．(忽視基向量不共線)給出下列三個(gè)向量：a＝(－2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，c＝(－1,1)，在這三個(gè)向量中任意取兩個(gè)作為一組，能構(gòu)成基底的組數(shù)為________．解析：易知a∥b，a與c不共線，b與c不共線，所以能構(gòu)成基底的組數(shù)為2.答案：2考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用[典例](1)(2021·青島模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(EC,\s\up7(→))，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→)) B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))(2)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得eq\o(BM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2[解析](1)如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，CG，易知四邊形DCBG為平行四邊形，所以eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(GD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7(→))－\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，于是eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，故選C.(2)法一：直接法因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上，所以存在t∈R，使得eq\o(BD,\s\up7(→))＝teq\o(BC,\s\up7(→))＝t(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))(0≤t≤1)．因?yàn)镸是線段AD的中點(diǎn)，所以eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up7(→))＋teq\o(AC,\s\up7(→))－teq\o(AB,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)(t＋1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)teq\o(AC,\s\up7(→)).又eq\o(BM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，所以λ＝－eq\f(1,2)(t＋1)，μ＝eq\f(1,2)t，所以λ＋μ＝－eq\f(1,2).故選B.法二：特殊點(diǎn)法由題意知，D為邊BC上任意一點(diǎn)，不妨令點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)M就是線段AB的中點(diǎn)．顯然此時(shí)eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋0eq\o(AC,\s\up7(→)).又eq\o(BM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，且eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))不共線，所以λ＝－eq\f(1,2)，μ＝0，故λ＋μ＝－eq\f(1,2).故選B.[答案](1)C(2)B[方法技巧]平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．[針對(duì)訓(xùn)練]1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，則λ＋μ等于()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：選D因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))＋eq\o(NB,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))＋eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))＋(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AN,\s\up7(→)))＝2eq\o(AN,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＋eq\o(MA,\s\up7(→))＝2eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(8,5)eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up7(→))，所以λ＝－eq\f(4,5)，μ＝eq\f(8,5)，所以λ＋μ＝eq\f(4,5).2．在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up7(→))，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又eq\o(CM,\s\up7(→))＝teq\o(CP,\s\up7(→))，則t的值為________．解析：∵eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up7(→))，∴3eq\o(CP,\s\up7(→))＝2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))，即2eq\o(CP,\s\up7(→))－2eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(CP,\s\up7(→))，∴2eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))，即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示．∵A，M，Q三點(diǎn)共線，∴eq\o(CM,\s\up7(→))＝xeq\o(CQ,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\f(x,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＋(x－1)eq\o(AC,\s\up7(→))，而eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，∴eq\o(CM,\s\up7(→))＝eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up7(→)).又eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))＝－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，由已知eq\o(CM,\s\up7(→))＝teq\o(CP,\s\up7(→))，可得eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up7(→))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\o(AC,\s\up7(→))＋\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))))，又eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝\f(t,3)，,\f(x,2)－1＝－t，))解得t＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算[典例](1)(2021·福州模擬)已知在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2,3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則eq\o(CO,\s\up7(→))的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))(2)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2,3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以eq\o(CO,\s\up7(→))＝－eq\o(AO,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).故選C.(2)以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1)，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up7(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up7(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(λ,μ)＝eq\f(－2,－\f(1,2))＝4.[答案](1)C(2)D[方法技巧]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)已知點(diǎn)A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，與向量eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量的坐標(biāo)可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，3)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(9,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－3)) D．(7,9)解析：選ABC由點(diǎn)A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(9,2)))，－7×3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×eq\f(14,3)＝0，所以A選項(xiàng)正確；－7×eq\f(9,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×7＝0，所以B選項(xiàng)正確；－7×(－3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)))＝0，所以C選項(xiàng)正確；－7×9－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×7≠0，所以D選項(xiàng)不正確．2．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，若向量a，b，c滿足c＝xa＋yb，且(ka－b)·c＝0，則eq\f(x＋y,k)＝________.解析：結(jié)合圖形得a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(4,4)，由c＝xa＋yb得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,2x＋y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))所以x＋y＝eq\f(12,5).由(ka－b)·c＝0得ka·c－b·c＝0，即12k－16＝0，所以k＝eq\f(4,3)，所以eq\f(x＋y,k)＝eq\f(9,5).答案：eq\f(9,5)考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示[典例](1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b與b共線，則x的值為________．[解析](1)法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up7(→))＝(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up7(→))＝(x，y)，因?yàn)閑q\o(OB,\s\up7(→))＝(4,4)，且eq\o(OP,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．(2)∵向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，∴a－b＝(2－x,2)．又∵a－b與b共線，∴2x＝－2＋x，解得x＝－2.[答案](1)(3,3)(2)－2[方法技巧](1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解．[針對(duì)訓(xùn)練]1．設(shè)向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2m，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－2n，0)，m，n∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m＋n的最大值為()A．－3 B．－2C．2 D．3解析：選A由題意易知，eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，其中eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2m－1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2n－1,2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，解得2m＋1＋2又2m＋1＋2n≥2eq\r(2m＋n＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)2m＋1＝2n，即m＋1＝n時(shí)取等號(hào)，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.2．(2021·濟(jì)寧模擬)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐標(biāo)．解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).(2)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq\r(5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))∴d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5,3)．一、創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法數(shù)形結(jié)合——建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)需要選擇一個(gè)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩條互相垂直的直線為x軸、y軸，使題目中的其他點(diǎn)都便于表達(dá)，這樣將向量運(yùn)算坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．[典例]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3 B．2eq\r(2)C.eq\r(5) D．2[思路點(diǎn)撥]先建立直角坐標(biāo)系，利用向量eq\o(AP,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))的關(guān)系表示出λ，μ與P點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再利用三角函數(shù)關(guān)系求解．[解析]建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)．設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E，連接CE，則CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，CE＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2,5)eq\r(5)，即圓C的半徑為eq\f(2,5)eq\r(5)，∴P點(diǎn)的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝eq\f(4,5).設(shè)P(x0，y0)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0,1)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(2,0)．∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝eq\f(1,2)x0，λ＝y(tǒng)0.又由P點(diǎn)的軌跡方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2＋\f(2,5)\r(5)cosθ，,y0＝1＋\f(2,5)\r(5)sinθ))(θ為參數(shù))，∴λ＋μ＝y(tǒng)0＋eq\f(1,2)x0＝1＋eq\f(2,5)eq\r(5)sinθ＋1＋eq\f(\r(5),5)cosθ＝2＋sin(θ＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinφ＝\f(\r(5),5)，cosφ＝\f(2,5)\r(5)))，當(dāng)且僅當(dāng)θ＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z時(shí)，λ＋μ取得最大值3.故選A.[答案]A[名師微點(diǎn)]本題先通過建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，然后用三角函數(shù)的知識(shí)求出λ＋μ的最大值．引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了坐標(biāo)法的優(yōu)勢(shì)．[應(yīng)用體驗(yàn)]1.如圖所示，原點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝3，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，則eq\f(μ,λ)＝()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)解析：選D建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由已知得，∠AOC＝120°，則A(2,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).因?yàn)閑q\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，由向量相等的坐標(biāo)表示得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－\f(\r(3),2)μ＝－\f(3,2)，,\f(1,2)μ＝－\f(3\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝－3\r(3)，))即eq\f(μ,λ)＝eq\r(3).故選D.2.如圖，在正方形ABCD中，P為DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(DB,\s\up7(→))＋μeq\o(AP,\s\up7(→))，則λ＋μ的最大值為________．解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x,2)，x∈[0,2]．∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,2)，eq\o(DB,\s\up7(→))＝(2，－2)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x,2)．∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(DB,\s\up7(→))＋μeq\o(AP,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋xμ＝2，,－2λ＋2μ＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2－x,2＋x)，,μ＝\f(4,2＋x)，))∴λ＋μ＝eq\f(6－x,2＋x).令f(x)＝eq\f(6－x,2＋x)(0≤x≤2)，∵f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(0)＝3，即λ＋μ的最大值為3.答案：3二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1．若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0) D．(0,2)解析：選D因?yàn)閍在基底p，q下的坐標(biāo)為(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0,2)．2.如圖，將45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜邊與30°直角三角板的30°角所對(duì)的直角邊重合，若eq\o(DB,\s\up7(→))＝xeq\o(DC,\s\up7(→))＋yeq\o(DA,\s\up7(→))，則x，y等于()A．x＝eq\r(3)，y＝1 B．x＝1＋eq\r(3)，y＝eq\r(3)C．x＝2，y＝eq\r(3) D．x＝eq\r(3)，y＝1＋eq\r(3)解析：選B過B作BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，則CE＝BE，設(shè)CE＝BE＝mCD，則[(m＋1)CD]2＋[(m－1)DA]2＝(2eq\r(2)DA)2，又DA＝DC，解得m＝eq\r(3)，故eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\r(3)eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\r(3)eq\o(DA,\s\up7(→))＝(1＋eq\r(3))eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\r(3)eq\o(DA,\s\up7(→))，故x＝1＋eq\r(3)，y＝eq\r(3).3．(多選)如圖1，“六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)O且三組對(duì)邊分別平行，點(diǎn)A，B是“六芒星”(如圖2)的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在“六芒星”上(內(nèi)部以及邊界)，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，則x＋y的取值可能是()A．－6 B．1C．5 D．9解析：選BC如圖所示，設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，求x＋y的最大值，只需考慮圖中以O(shè)為起點(diǎn)，6個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即可，討論如下：①∵eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，∴(x，y)＝(1,0)；②∵eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，∴(x，y)＝(0,1)；③∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋2b，∴(x，y)＝(1,2)；④∵eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝2eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝2a＋3b，∴(x，y)＝(2,3)；⑤∵eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝a＋b，∴(x，y)＝(1,1)；⑥∵eq\o(OF,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝a＋3b，∴(x，y)＝(1,3)．∴x＋y的最大值為2＋3＝5.根據(jù)其對(duì)稱性，可知x＋y的最小值為－5.故x＋y的取值范圍是[－5,5]，觀察選項(xiàng)可知，選項(xiàng)B、C均符合題意．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)解析：選A設(shè)N(x，y)，則(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.2．已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與eq\o(AB,\s\up7(→))同方向的單位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析：選Aeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴與eq\o(AB,\s\up7(→))同方向的單位向量為eq\f(eq\o(AB,\s\up7(→)),|eq\o(AB,\s\up7(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由題意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要條件．4．(2021·福州模擬)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，若a∥b，則銳角θ＝()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(5π,12)解析：選B因?yàn)閍∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×eq\f(1,2)＝0，得sin2θ＝eq\f(1,2)，所以sinθ＝±eq\f(\r(2),2)，故銳角θ＝eq\f(π,4).5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)．若DC＝3DF，設(shè)eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b解析：選B如圖所示，平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)，且DC＝3DF，∴eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→)))，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→)).則eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))))＋eq\f(1,6)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.故選B.二、綜合練——練思維敏銳度1．已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，則eq\f(m,n)＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2解析：選C因?yàn)閍∥b，所以a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λn＝m，,－λ＝2，))得eq\f(m,n)＝－2.2．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()A．－eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)解析：選Aeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共線，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).3.如圖，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝4eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(CA,\s\up7(→))＝3eq\o(CE,\s\up7(→))，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)a B.eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)b D.eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a解析：選Deq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a.故選D.4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)解析：選A如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(1,0)，C(0,2)，因?yàn)椤螪AB＝60°，所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，eq\r(3)m)(m≠0)．eq\o(AD,\s\up7(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3).5．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－1,3)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))－neq\o(OB,\s\up7(→))(m>0，n>0)，若m＋n＝1，則|eq\o(OC,\s\up7(→))|的最小值為()A.eq\f(\r(5),2) B．eq\f(\r(10),2)C.eq\r(5) D．eq\r(10)解析：選C設(shè)eq\o(OC,\s\up7(→))＝(x，y)．∵eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－1,3)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))－neq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3m＋n，,y＝m－3n，))∴|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝eq\r(3m＋n2＋m－3n2)＝eq\r(10m2＋n2)≥eq\r(10×\f(m＋n2,2))＝eq\r(10×\f(1,2))＝eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào)，此時(shí)|eq\o(OC,\s\up7(→))|取得最小值eq\r(5)，故選C.6．在△OAB中，若點(diǎn)C滿足eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝()A.eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,9) D．eq\f(9,2)解析：選D在△OAB中，∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，∴eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝2(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))，即3eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→)).又知eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).故選D.7.如圖，在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(BD,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C.eq\f(15,8) D．2解析：選B以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))的方向?yàn)閤，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,2)，eq\o(AM,\s\up7(→))＝(2,1)，eq\o(BD,\s\up7(→))＝(－2,2)，所以λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(BD,\s\up7(→))＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因?yàn)閑q\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(BD,\s\up7(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－2μ＝2，,λ＋2μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq\f(5,3).故選B.8．在△ABC中，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝4eq\o(AD,\s\up7(→))，P為BD上一點(diǎn)，向量eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ>0，μ>0)，則eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值為()A．16 B．8C．4 D．2解析：選A由eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))及eq\o(AC,\s\up7(→))＝4eq\o(AD,\s\up7(→))得eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋4μeq\o(AD,\s\up7(→))，又知點(diǎn)P在BD上，∴λ＋4μ＝1.∴eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,λ)＋\f(1,μ)))·(λ＋4μ)＝4＋4＋eq\f(16μ,λ)＋eq\f(λ,μ)＝8＋eq\f(16μ,λ)＋eq\f(λ,μ)，又知λ>0，μ>0，∴eq\f(16μ,λ)＋eq\f(λ,μ)≥2eq\r(16)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(16μ,λ)＝eq\f(λ,μ)，即λ＝4μ時(shí)，等號(hào)成立，故eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值為16，故選A.9.如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段CO的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線交于圓O外的一點(diǎn)D，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，則m＋n的取值范圍是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1,0)解析：選D由題意得，eq\o(OC,\s\up7(→))＝keq\o(OD,\s\up7(→))(k<0)，又|k|＝eq\f(|eq\o(OC,\s\up7(→))|,|eq\o(OD,\s\up7(→))|)<1，∴－1<k<0.又∵B，A，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(OD,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up7(→))，∴meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))＝kλeq\o(OA,\s\up7(→))＋k(1－λ)eq\o(OB,\s\up7(→))，∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，∴m＋n＝k，從而m＋n∈(－1,0)．10．已知向量a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，若滿足a∥b，且方向相同，則x＝________.解析：∵a∥b，a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，∴x(x＋1)－2＝0，解得x＝1或x＝－2.當(dāng)x＝1時(shí)，a＝(1,2)，b＝(1,2)滿足題意；當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－1)，b＝(－2,2)，方向相反，不符合題意，舍去．∴x＝1.答案：111．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成45°角的兩條數(shù)軸，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量eq\o(OP,\s\up7(→))＝xe1＋ye2，則把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量eq\o(OP,\s\up7(→))在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，在此坐標(biāo)系下，假設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2，2eq\r(2))，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2,0)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(5，－3eq\r(2))，則|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝________，eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))________(填“平行”或“不平行”)．解析：由余弦定理可知|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝eq\r(4＋8－2×2×2\r(2)×cos45°)＝2，∵eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝(3，－3eq\r(2))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up7(→))，∴eq\o(OA,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→)).答案：2平行12.如圖，O點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部，E是BC邊的中點(diǎn)，且有eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))＋3eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，則△AEC的面積與△AOC的面積的比為________．解析：取AC的中點(diǎn)D，連接OE，OD.因?yàn)镈，E分別是AC，BC邊的中點(diǎn)，所以eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OD,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OE,\s\up7(→))，因?yàn)閑q\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))＋3eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，所以2eq\o(OD,\s\up7(→))＋4eq\o(OE,\s\up7(→))＝0，所以O(shè)，D，E三點(diǎn)共線，且eq\f(|DE|,|OD|)＝eq\f(3,2).又因?yàn)椤鰽EC與△AOC都以AC為底，所以△AEC的面積與△AOC的面積的比為3∶2.答案：3∶213.如圖，在△A