2023學年度 動點三角形gsp

二次函數(shù)綜合動點三角形問題——等腰三角形、直角三角形城北中學楊會霞教學目標1、會用“兩圓一線”、“兩線一圓”求作等腰三角形和直角三角形；2、理解等腰三角形的特征，明確腰相等，可以任意兩腰相等；3、理解直角三角形的特征，明確有一個角是直角，可以是任意的內角；4、先研究三角形的性質，再將三角形放到二次函數(shù)圖像中進行綜合運用。5、充分運用數(shù)學結合、轉化、方程等數(shù)學思想來幫助解題。6、形成對圖形的處理能力，形成解題技巧，樹立對解決此類問題的信心。教學重難點: 是否存在一點使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出點的坐標教學過程一、導入求作等腰三角形、直角三角形的方法：圖一兩圓一線圖解圖二兩線一圓圖解總結：（1）通過“兩圓一線”可以找到所有滿足條件的等腰三角形，要求的點（不與A、B點重合）即在兩圓上以及兩圓的公共弦上（2）通過“兩線一圓”可以找到所有滿足條件的直角三角形，要求的點（不與A、B點重合）即在圓上以及在兩條與直徑AB垂直的直線上。等腰三角形、直角三角形可能的情況：(1)當所求三角形是等腰三角形時，可以是三角形任意兩邊相等，即：AB=AC、AB=BC、AC=BC(2)當所求三角形是直角三角形時，可以是三角形任意的內角為直角,即：∠A=90°、∠B=90°、∠C=90°二、新課探究例題1：已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：a-∴拋物線的解析式：y=-x2+2x+3．（2）連接BC，直線BC與直線l的交點為P；∵點A、B關于直線l對稱，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：3，解得：k＝-1b∴直線BC的函數(shù)關系式y(tǒng)=-x+3；當x=1時，y=2，即P的坐標（1，2）．（3）拋物線的對稱軸為：x=-=1，設M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則：MA2=m2+4，MC2=（3-m）2+1=m2-6m+10，AC2=10；①若MA=MC，則MA2=MC2，得：m2+4=m2-6m+10，得：m=1；②若MA=AC，則MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，則MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；當m=6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的M點，且坐標為M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．例題2：如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），將C點坐標（0，-3）代入，得：a（0+3）（0-1）=-3，解得a=1，則y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3，所以拋物線的解析式為：y=x2+2x-3；（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N．設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得，解得∴直線AC的解析式為：y=-x-3．設P點坐標為（x，x2+2x-3），則點N的坐標為（x，-x-3），∴PN=PE-NE=-（x2+2x-3）+（-x-3）=-x2-3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，S=PN?OA=×3（-x2-3x）=-（x+）2+，∴當x=-時，S有最大值，此時點P的坐標為（-，-）；（3）在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x-3=y=（x+1）2-4，∴頂點D的坐標為（-1，-4），∵A（-3，0），∴AD2=（-1+3）2+（-4-0）2=20．設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：①當A為直角頂點時，如圖3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以點M的坐標為（0，）；②當D為直角頂點時，如圖3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，解得t=-，所以點M的坐標為（0，-）；③當M為直角頂點時，如圖3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=-1或-3，所以點M的坐標為（0，-1）或（0，-3）；綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時點M的坐標為（0，）或（0，-）或（0，-1）或（0，-3）．例題3：在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2-ax-2經(jīng)過點B．（1）求點B的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴點B的坐標為（3，1）；（2）∵拋物線y=ax2-ax-2過點B（3，1），∴1=9a-3a-2，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=x2-x-2；（3）假設存在點P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，如圖（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（-1，-1），經(jīng)檢驗點P1在拋物線y=x2-x-2上；②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，如圖（2），同理可證△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（-2，1），經(jīng)檢驗P2（-2，1）也在拋物線y=x2-x-2上；③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3H⊥y軸，如圖（3），同理可證△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），經(jīng)檢驗P3（2，3）不在拋物線y=x2-x-2上；故符合條件的點有P1（-1，-1），P2（-2，1）兩點．鞏固運用基礎：1.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點C（0，-5）．（1）求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個交點B的坐標．（2）在上面所求二次函數(shù)的對稱軸上存在一點P（2，-2），連接OP，找出x軸上所有點M的坐標，使得△OPM是等腰三角形2.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對稱軸是直線x=2，且過點A（0，3）．（1）求b、c的值；（2）求出該二次函數(shù)圖象與x軸的交點B、C的坐標；（3）如果某個一次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標原點O和該二次函數(shù)圖象的頂點M．問在這個一次函數(shù)圖象上是否存在點P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．3.如圖．已知二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸交于點B．（1）求此二次函數(shù)關系式和點B的坐標；（2）在x軸的正半軸上是否存在點P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．拔高如圖，已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC．（1）求A，B，C三點的坐標；（2）若點P為線段BC上一點（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，