姚老師最愛的兩招：表格法與微分算子法

姚老師最愛的兩招：表格法與微分算子法，因為效率高，所以喜歡，僅此而已！錄入可是字字辛苦，希望大家珍惜哦！一、分部積分的表格法分部積分主要針對被積函數(shù)為兩類函數(shù)乘積的類型，主要可以歸納為反冪、對冪、冪三、冪指和三指五種，冪可以擴展為多項式函數(shù)，三主要指正弦和余弦兩類三角函數(shù)，基本原則是把其中一類函數(shù)拿去湊微分，遵循“反對冪三指”、越往后越先湊微分的原則，前四種稱為“終止模式”，最后一種稱為“循環(huán)模式”。當(dāng)涉及到冪函數(shù)(多項式函數(shù))次數(shù)較高時，需多次用到分部積分，計算較繁且易出錯，因此介紹一個推廣公式：定理：設(shè)u=u(x),v=v(x)有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，貝ljJuv(n+1)dx=uv(n)-u'v(n-1)+U''V(n-2)-U'''v(n-3)+ +(一1)“+jU(n+1)vdx。(此定理及證明可略，僅告訴大家，我不是瞎編亂造，而是有理論依據(jù)的！)證：用數(shù)學(xué)歸納法。=0時，Juv'dx=uv-Ju'vdxk>1=0時，Juv'dx=uv-Ju'vdxk>1時，Juv(k+1)dx=uv(k)-u'v(k-1)+u''v(k-2)-u'''v(k-3)++*)則當(dāng)n=k+1時,Juv(k+2)dx=Judv(k+1)=uv(k+1)-Ju'v(k+1)dx將上式的u'將上式的u'(*)式中的u，則有Ju'v(k+1)dx=u'v(k)-u''v(k-1)+u'''v(k-2)+(-1)k+1Ju(k+2)vdx從而Juv(k+2)從而Juv(k+2)dx=uv(k+1)I 11 ??? III-uv(k)+uv(k-1)-uv(k-2)++(-1)k+2Ju(k+2)vdx得證?！可鲜鍪阶硬⒉缓糜?，它的一個直觀表達就是表格法，?如下表。u的各階導(dǎo)數(shù)u u' u'' u''' u(n+1)v(n+1)的各階原函數(shù)v(n+1)"'''Xn) -1)"'''''VCn-2)Zv下面通過例子給予演示(1)“冪三”型例1.1J(x5+3x2-2x+5)cosxdx解：x5+3x2一2xx5+3x2一2x+55x4+6x一2、(20x3+62)日60x212.S-0'一*cosxsinx'■'一cosx-sinxs'-<osx、sinx一cosx所以原式=(x5x一60x2cosx+120xsinx+120cosx+Cx++6x-2)cosx-3+62）“冪指”型x4一2x3一x4一2x3一14x3一6x212x2一12x24x—12240Plw,e2xe2x2VJ.fe2x4e2x8y、e2x16'e2x32例1.2f(x4一2x3一1)e2xdx解：162所以原式=x4一2x3一14x3一6x2 12x2一12x24x一1224) + — +—e2x+C4 8 16 32丿8(1 )—x4一2x3+3x2一3x+1e2x+C12 丿3）“反冪”型（尤其是反三角函數(shù)次數(shù)高于1時）arcsinxarcsinx)2dx解：令u=arcsinx，貝Ux=sinu,dx=cosudu所以原式二fsinu-u2-cosudu=fu2sin2udu2u2J2u20B、;二sin2u1—cos2u2—sin2u4""'^1cos2u8111而原式二一—cos2u?u2+sin2u?2u+—cos2u+C

4881 1 1=一(arcsinx)2(1—2x2)+x\.1一x2arcsinx+(1—2x2)+C。4 2 84）“對冪”型（尤其是對數(shù)函數(shù)次數(shù)高于1時）例1.4fx3(lnx)4dx解：令lnx=u，貝Ux=eu,dx=e“du,

故原式=Jx3(lnx)4dx=Je3uu4eudu=Ju4e4udu這是冪指類型了，用表格法自己解解看吧！)1 3 3 3(ln4x一ln3x+ln2x一故原式=Jx3(lnx)4dx=Je3uu4eudu=Ju4e4udu這是冪指類型了，用表格法自己解解看吧！)1 3 3 3(ln4x一ln3x+ln2x一lnx+ )x4+C4 4 8 325)“三指”型(此為循環(huán)模式，想想與前面的有何不同？)Jsinxe2xdxsinx 、cosx 、—sinx|、 e2x、 e2xVe2x24丨例1.5解：所以有Jsinxe2xdx=(1sinx一—cosx)e2x2 4sinxe2xdx，求解得Jsinxe2xdx-(—sinx一1cosx)e2x+C52 4二、求n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的微分算子法n階常系數(shù)非齊次線性微分方程為：y(n)+py(n-1)+py(n-2)++py'+py=f(x)豐0 (**)1 2 n-1 n求解非齊次方程(**)的特解y*(x)常有三種方法：待定系數(shù)法、常數(shù)變易法和微分算子法。常數(shù)變易法在教材中一階非齊次線性微分方程中已有介紹，待定系數(shù)法在二階非齊次微分方程中著重講解，因此，在此，主要講微分算子法。首先引進記號：-=D,丄=D2,dx dx2dndxn=Dn，TOC\o"1-5"\h\zdx dx2=如=叭,dxn(**)式變?yōu)?Dn+pDn-1++pD+p)y==如=叭,dxn1 n-1 n兀己F(D)=Dn+pDn-1+…，+pD+p，1 n-1 n于是F(D)y=f(x)，從而得特解y*= f(x)。

下面關(guān)鍵是要弄清楚f1d)這個算子是如何進行作用的呢?通常f(x)為冪、三、指、冪三、冪指、三指和冪三指幾種類型，下面分別討論(主要采用書上的例子。)(1)冪：f(x)為多項式函數(shù)，采用多項式除法進行計算，什么是多項式除法呢？例2.1y"—3y'+2y二x2+5解：原方程的一個特解為y解：原方程的一個特解為y*=x2+5D2—3D+2D21—-D+-D2

22‘1 3…7一\「24 8丿(后面可以繼續(xù)寫下去，但是想想，函數(shù)f(x)二‘1 3…7一\「24 8丿從而y*=亠- , 1 3 7 1 3 17從而y*=十D+=D2(x2+5)=2(x2+5)+4-2x+8X2=2x2+2x+T(2)指：f(x)=ek，當(dāng)九不是特征方程的根時，將九直接代入分母的D；當(dāng)九是特征方程的單根時，將分子乘以一個x，分母對D求導(dǎo)數(shù)，然后將九代入分母;當(dāng)九是特征方程的二重根時，將分子乘以一個x2，分母對D求兩階導(dǎo)數(shù)，然后將九代入分母。例2.2.1y''+2y'—3y=e2x解：y*D解：y*D2+2D—3 22+2X2—3(因為九=2不是特征方程r2+2r—3=0的根。)例2.2.2y''+2y'-3y二ex解：y*=竺 丄上￡二殳"亠("因為“1是特征方程D2+2D-3 2D+2 2<+2 4r2+2r—3=0的單根。)例2.2.3y'+2y'+y二e-x解：y*=空=匯=土(因為九=-1是特征方程r2+2r+1二0的二D2+2D+12D+2 2重根。)(3)三：f(x)為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)時，由于歐拉公式連接了正、余弦函數(shù),所以正、余弦函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)來求解，一般采用定理3.5進行求解。例2.3y''+2y'+y=cosx解：cosx二Re(eix)(實部)所以先求解方程y'+2y'+y二e/x，此時y*=1e此時y*=1eixD2+2D+1eixi2+2/+1ie/x~2=-—(cosx+isinx)21i=—sinx-cosx221故原方程的一個特解y*=Re(y*)=sinx。12(4)冪三、冪指、三指或冪三指，基本原則：三角函數(shù)看成復(fù)數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)的實部或虛部，從而轉(zhuǎn)化成冪指類型，將指數(shù)函數(shù)提前，后面的算子中D換成D+九。1D2表示兩次不定積分)例2.4.1y''-6y'+9y=5(x+1)e1D2表示兩次不定積分)解：y*=5(x+De3x=e3x 5Cx+1) =e3x5Cx+1)(注:D2-6D+9 (D+3)2-6(D+3)+9 D215(x2+x+c)

=e3x2 LD(5x3+5x2+cx+c)6212由于取的是一個特解，所以c,c可以隨便取，不妨取為0吧，從而得一個特解12*=(5x3+5x2)e3x62

例2.4.2y''-y二exsin2x(三指)解：exsin2x二Im(exei2x)二Im(e(i+2i)x),所以先求解y"-y=e(i+2i)x,解得y*=1e(1解得y*=1e(1+2i)xD2-1(1+2i)2-1=-8(i+1)e(1+2°x=-1(i+1)ex[cos2x+isin2x]=-彳[(cos2x-sin2x)+i(cos2x+sin2x)]所以原方程的一個特解為y*=Im(y*)=- (cos2x+sin2x)。18例2.4.3y"一y=xsin2x(幕三)解：xsin2x=Im(xe2ix)，所以先求解y''-y=xe2ix,解得y*=解得y*=君=e2ixx(D+2i)2-1x-5+4iD+D2（這里用了多項式除法）14i x 4i=e2ix(-一 D)x=(cos2x+1sin2x)(-一)525 525/x4/x4 )一一cos2x+sin2x+i-—sin2x-——cos2xI525丿I525丿x4所以原方程的一個特解為y*=Im(y*)=-?sin2x一25cos2x例2.4.4y''-2y'+5y=xexsin2x(幕三指)解：xexsin2x=Im(xexei2x)=Im(xe(1+2i)x)，所以先求解y''-2y'+5y=xe(1+2i)x解得xe(1+2i)x=exe(1+2i)x=e(1+2i)xD2-2D+5x(D+1+2i)2-2(D+1+2i)+5=e(1+2i)xxD2+4iD=e(1+2i)xxD(D+4i)1111(—；+ D)x —；x+ 1 1 ? 1 、、 1r.=e(1+2i)x 4i 16 =e(1+2i)x 4i 16=e(1+2i)x