初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)(5)恒等式的證明

初中數(shù)學(xué)比賽專題培訓(xùn)(5)：恒等式的證明.初中數(shù)學(xué)比賽專題培訓(xùn)(5)：恒等式的證明.9/9初中數(shù)學(xué)比賽專題培訓(xùn)(5)：恒等式的證明.初中數(shù)學(xué)比賽專題培訓(xùn)第五講恒等式的證明代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它波及的基礎(chǔ)知識(shí)好多，主要有整式、分式與根式的基本見解及運(yùn)算法例，因式分解的知識(shí)與技術(shù)技巧等等，所以代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一．本講主要介紹恒等式的證明．第一復(fù)習(xí)一下基本知識(shí)，此后進(jìn)行例題分析．兩個(gè)代數(shù)式，假如關(guān)于字母在贊成范圍內(nèi)的全部取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等．把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形．恒等式的證明，就是經(jīng)過恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等．證明恒等式，沒有一致的方法，需要依據(jù)詳細(xì)問題，采納不一樣樣的變形技巧，使證明過程盡量簡(jiǎn)捷．一般能夠把恒等式的證明分為兩類：一類是無附帶條件的恒等式證明；另一類是有附帶條件的恒等式的證明．關(guān)于后者，同學(xué)們要擅長(zhǎng)利用附帶條件，使證明簡(jiǎn)化．下邊聯(lián)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧．1．由繁到簡(jiǎn)和相向趨進(jìn)恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡(jiǎn)”((即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo)和“相向趨進(jìn)”馬上等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)變成同一形式．例1x+y+z=xyzx(1y2(1z2+y(1x2(1z2+z(1x2(1y2=4xyz已知，證明：．分析將左側(cè)張開，利用條件x+y+z=xyz，將等式左側(cè)化簡(jiǎn)成右側(cè)．證由于x+y+z=xyz，所以左側(cè)=x(1z2y2y2z2+y(1z2x2+x2z2+(1y2x2+x2y2=(x+y+zxz2xy2+xy2z2yz2+yx2+yx2z2zy2zx2+zx2y2=xyzxy(y+xxz(x+zyz(y+z+xyz(xy+yz+zx=xyzxy(xyzzxz(xyzyyz(xyzx+xyz(xy+yz+zx=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右側(cè)．說明本例的證明思路就是“由繁到簡(jiǎn)”．222例2已知1989x=1991y=1993z，x＞0，y＞0，z＞0，且222證令1989x=1991y=1993z=k(k＞0，則又由于所以所以說明本例的證明思路是“相向趨進(jìn)”，在證明方法上，經(jīng)過設(shè)參數(shù)k，使左右兩邊同時(shí)變形為同一形式，進(jìn)而使等式建立．2．比較法a=b(比商法．這也是證明恒等式的重要思路之一．例3求證：分析用比差法證明左-右=0．本例中，這個(gè)式子擁有以下特點(diǎn)：假如拿出它的第一項(xiàng)，把此中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項(xiàng)；若對(duì)第二項(xiàng)的字母推行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對(duì)第三項(xiàng)的字母推行上述輪換，可得出第一項(xiàng)．擁有這類特點(diǎn)的式子叫作輪換式．利用這類特點(diǎn)，可使輪換式的運(yùn)算簡(jiǎn)化．證由于所以所以說明本例若采納通分化簡(jiǎn)的方法將很繁．像這類把一個(gè)分式分解成幾個(gè)部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧．全不為零．證明：(1+p(1+q(1+r=(1-p(1-q(1-r．同理所以所以(1+p(1+q(1+r=(1-p(1-q(1-r．說明本例采納的是比商法．3．分析法與綜合法依據(jù)推理過程的方向不一樣樣，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法．分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，追求在什么狀況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，追求結(jié)論建立的條件，一旦條件建馬上可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”．而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?，即從已知條件出發(fā)順向推理，獲得所求結(jié)論．2222證要證a+b+c=(a+b-c，只需證222222a+b+c=a+b+c+2ab-2ac-2bc，只需證ab=ac+bc，只需證c(a+b=ab，只需證這最后的等式正好是題設(shè)，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式建立．說明本題采納的方法是典型的分析法．4444例6已知a+b+c+d=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d．證由已知可得4444a+b+c+d-4abcd=0，(a2222222222-b+(c-d+2ab+2cd-4abcd=0，所以(a222222+2(ab-cd2-b+(c-d=0．222由于(a-b≥0，(c2-d22≥0，(ab-cd2≥0，所以2222a-b=c-d=ab-cd=0，所以(a+b(a-b=(c+d(c-d＝0．又由于a，b，c，d都為正數(shù)，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以22，ab-cd=a-c=(a+c(a-c=0所以a＝c．故a=b＝c=d建立．說明本題采納的方法是綜合法．4．其余證明方法與技巧求證：8a+9b+5c=0．a(chǎn)+b=k(a-b，b+c=2k(b-c，(c+a=3k(c-a．所以6(a+b=6k(a-b，3(b+c=6k(b-c，2(c+a=6k(c-a．以上三式相加，得6(a+b+3(b+c+2(c+a=6k(a-b+b-c+c-a，即8a+9b+5c=0．說明本題證明頂用到了“遇連比設(shè)為k”的設(shè)參數(shù)法，前面的例2用的也是近似方法．這類設(shè)參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧．例8已知a+b+c=0，求證44422222(a+b+c＝(a+b+c．分析與證明用比差法，注意利用a+b+c=0的條件．4442222左-右=2(a+b+c-(a+b+c=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c22-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc(a2-b2-c2-2bc=[a2-(b-c2][a2-(b+c2]=(a-b+c(a+b-c(a-b-c(a+b+c=0．所以等式建立．說明本題證明過程中主假如進(jìn)行因式分解．分析本題的兩個(gè)已知條件中，包括字母a，x，y和z，而在求證的結(jié)論中，卻只包括a，x和z，所以可以從消去y著手，獲得以下證法．證由已知說明本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法．例證明：(y+z-2x3+(z+x-2y3+(x+y-2z3=3(y+z-2x(z+x-2y(x+y-2z．分析與證明本題看起來很復(fù)雜，但認(rèn)真察看，能夠使用換元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③則要證的等式變成a3+b3+c3=3abc．聯(lián)想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c(a2+b2+c2-ab-bc-ca，所以將①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x3+(z+x-2y3+(x+y-2z3=3(y+z-2x(z+x-2y(x+y-2z．說明由本例能夠看出，換元法也能夠在恒等式證明中發(fā)揮效勞．例設(shè)x，y，z為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且求證：x2y2z2=1．分析本題x，y，z擁有輪換對(duì)稱的特點(diǎn)，我們不如先看二元的所以x2y2=1．三元與二元的構(gòu)造近似．證由已知有①×②×③得x2y2z2=1．說明這類欲進(jìn)先退的解題策略常常用于研究解決問題的思路中．總之，從上邊的例題中能夠看出，恒等式證明的重點(diǎn)是代數(shù)式的變形技術(shù)．同學(xué)們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上，深刻意會(huì)例題中的常用變形技術(shù)與方法，這對(duì)此后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特別重要．練習(xí)五21．已知(c-a-4(a-b(b-c=0，求證：2b=a+c．2．證明：33(x+y