鉛錘高求三角形面積法

.PAGE.作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個(gè)好辦法二次函數(shù)教學(xué)反思最近教學(xué)二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問題,經(jīng)過研究,我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個(gè)好辦法。在課堂上我還風(fēng)趣地說遇到"歪歪三角形中間砍一刀",同學(xué)們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下：如圖1,過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的"水平寬"<a>,中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的"鉛垂高<h>".我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.DBDBAOyxPCBAOyxBBC鉛垂高水平寬ha圖1例1．〔2013XX如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔－2,0,連結(jié)OA,將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段OB.〔1求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；〔3在〔2中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C,使△BOC的周長最小？若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.〔4如果點(diǎn)P是〔2中的拋物線上的動點(diǎn),且在x軸的下方,那么△PAB是否有最大面積？若有,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有,請說明理由.解：〔1B〔1,〔2設(shè)拋物線的解析式為y=ax<x+a>,代入點(diǎn)B〔1,,得,因此〔3如圖,拋物線的對稱軸是直線x=—1,當(dāng)點(diǎn)C位于對稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí),△BOC的周長最小.設(shè)直線AB為y=kx+b.所以,因此直線AB為,當(dāng)x=－1時(shí),,因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔－1,/3.〔4如圖,過P作y軸的平行線交AB于D.當(dāng)x=－時(shí),△PAB的面積的最大值為,此時(shí).例2．<2014XX>如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C<1,4>,交x軸于點(diǎn)A<3,0>,交y軸于點(diǎn)B.<1>求拋物線和直線AB的解析式；<2>點(diǎn)P是拋物線<在第一象限內(nèi)>上的一個(gè)動點(diǎn),連結(jié)PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)C時(shí),求△CAB的鉛垂高CD及；<3>是否存在一點(diǎn)P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.解：<1>設(shè)拋物線的解析式為：把A〔3,0代入解析式求得所以設(shè)直線AB的解析式為：由求得B點(diǎn)的圖-2xCOyABD11坐標(biāo)為把,代入中解得：所以圖-2xCOyABD11<2>因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為<１,4>所以當(dāng)x＝１時(shí),y1＝4,y2＝2所以CD＝4-2＝2<平方單位><3>假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,△PAB的鉛垂高為h,則由S△PAB=S△CAB得化簡得：解得,將代入中,解得P點(diǎn)坐標(biāo)為例3．〔2015江津如圖,拋物線與x軸交于A<1,0>,B<-3,0>兩點(diǎn),〔1求該拋物線的解析式；〔2設(shè)〔1中的拋物線交y軸于C點(diǎn),在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長最?。咳舸嬖?求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.〔3在〔1中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大？,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若沒有,請說明理由.解：<1>將A<1,0>,B<－3,0>代中得∴∴拋物線解析式為：<2>存在。理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱∴直線BC與的交點(diǎn)即為Q點(diǎn),此時(shí)△AQC周長最小∵∴C的坐標(biāo)為：<0,3>直線BC解析式為：Q點(diǎn)坐標(biāo)即為的解∴∴Q<－1,2>〔3答：存在。理由如下：設(shè)P點(diǎn)∵若有最大值,則就最大,∴＝＝當(dāng)時(shí),最大值＝∴最大＝當(dāng)時(shí),∴點(diǎn)P坐標(biāo)為同學(xué)們可以做以下練習(xí)：1．〔2015XXXX已知如圖,矩形OABC的長OA=,寬OC=1,將△AOC沿AC翻折得△APC?！?填空：∠PCB=____度,P點(diǎn)坐標(biāo)為〔,；〔2若P,A兩點(diǎn)在拋物線y=－x2+bx+c上,求b,c的值,并說明點(diǎn)C在此拋物線上；〔3在〔2中的拋物線CP段〔不包括C,P點(diǎn)上,是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形MCAP的面積最大？若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由。2．〔XX省XX市2014如圖①,已知拋物線〔a≠0與軸交于點(diǎn)A<1,0>和點(diǎn)B<－3,0>,與y軸交于點(diǎn)C．<1>求拋物線的解析式；<2>設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)M,問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△CMP為等腰三角形？若存在,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．<3>如圖②,若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn),連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．圖①圖②3.<2015年XX>如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為〔3,0,與y軸交于C〔0,-3點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn).〔1求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．〔2連結(jié)PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POPSKIPIF1<0C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POPSKIPIF1<0C為菱形？若存在,請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．〔3當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.SKIPIF1<0圖11解：〔1將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖11解得：SKIPIF1<0所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：SKIPIF1<0〔2存在點(diǎn)P,使四邊形POPSKIPIF1<0C為菱形．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔x,SKIPIF1<0,PPSKIPIF1<0交CO于E若四邊形POPSKIPIF1<0C是菱形,則有PC＝PO．連結(jié)PPSKIPIF1<0則PE⊥CO于E,∴OE=EC=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0〔不合題意,舍去∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為〔SKIPIF1<0,SKIPIF1<0〔3過點(diǎn)P作SKIPIF1<0軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)F,設(shè)P〔x,SKIPIF1<0,易得,直線BC的解析式為SKIPIF1<0則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為〔x,x－3.SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),四邊形ABPC的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,四邊形ABPC的面積SKIPIF1<0．25．〔2015XX如圖,拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A〔－4,0、B〔2,0,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D．E〔1,2為線段BC的中點(diǎn),BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．〔1求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2在直線EF上求一點(diǎn)H,使△CDH的周長最小,并求出最小周長；〔3若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動,當(dāng)K運(yùn)動到什么位置時(shí),△EFK的面積最大？并求出最大面積．KNKNCEDGAxyOBFCEDGAxyOBF[解析]〔1由題意,得解得,b=－1．所以拋物線的解析式為,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔－1,．〔2設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M．因?yàn)镋F垂直平分BC,即C關(guān)于直線EG的對稱點(diǎn)為B,連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn),則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H,使DH+CH最小,即最小為DH+CH=DH+HB=BD=．而．∴△CDH的周長最小值為CD+DR+CH=．設(shè)直線BD的解析式為y=k1x+b,則解得,b1=3．所以直線BD的解析式為y=x+3．由于BC=2,CE=BC∕2=,Rt△CEG∽△COB,得CE:CO=CG:CB,所以CG=2.5,GO=1.5．G〔0,1.5．同理可求得直線EF的解析式為y=x+．