訓(xùn)練40直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

課時分層訓(xùn)練(四十)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(對應(yīng)學(xué)生用書第284頁)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．(2022·廣州模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m⊥α，錯誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤．]2．在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是()A[A選項中，因為CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB，B選項中，AB與CD成60°角；C選項中，AB與CD成45°角；D選項中，AB與CD夾角的正切值為eq\r(2).]3．如圖7-5-10，在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是()圖7-5-10A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABCD[因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項A正確．在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B，C均正確．]4．如圖7-5-11，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()圖7-5-11A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDEC[因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]5．(2022·全國卷Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CDA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥ACC[如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯；∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯．]二、填空題6．如圖7-5-12所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)圖7-5-12DM⊥PC(或BM⊥PC等)[由定理可知，BD⊥PC．∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD.又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]7．如圖7-5-13，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長都相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD圖7-5-13eq\f(π,3)[取BC的中點E，連接AE，DE，則AE⊥平面BB1C1C．所以∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角．設(shè)三棱柱的所有棱長為a，在Rt△AED中，AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(a,2).所以tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)＝eq\r(3)，則∠ADE＝eq\f(π,3).故AD與平面BB1C1C所成的角為eq\f(π,3).]8．(2022·全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m?α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號)②③④[對于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤．對于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確．對于③，因為α∥β，所以α，β沒有公共點．又m?α，所以m，β沒有公共點，由線面平行的定義可知m∥β，故正確．對于④，因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．]三、解答題9.(2022·北京高考)在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點．圖7-5-14(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V-ABC的體積．[解](1)證明：因為O，M分別為AB，VA的中點，所以O(shè)M∥VB． 3分又因為VB?/平面MOC，所以VB∥平面MOC． 5分(2)證明：因為AC＝BC，O為AB的中點，所以O(shè)C⊥AB．又因為平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB．所以平面MOC⊥平面VAB． 8分(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1.所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝eq\r(3). 9分又因為OC⊥平面VAB，所以三棱錐C-VAB的體積等于eq\f(1,3)OC·S△VAB＝eq\f(\r(3),3).又因為三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，所以三棱錐V-ABC的體積為eq\f(\r(3),3). 12分10．⊙O的直徑AB＝4，點C，D為⊙O上兩點，且∠CAB＝45°，F(xiàn)為的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖7-5-15②)．①②圖7-5-15(1)求證：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在點E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，試指出點E的位置；若不存在，請說明理由．[解](1)證明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°， 1分又因為F為的中點，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC， 3分又AC?平面ACD，OF?平面ACD，所以O(shè)F∥平面ACD. 5分(2)存在，E為AD中點，因為OA＝OD，所以O(shè)E⊥AD. 7分又OC⊥AB且兩半圓所在平面互相垂直．所以O(shè)C⊥平面OAD. 9分又AD?平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE內(nèi)的兩條相交直線，所以AD⊥平面OCE.又AD?平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD. 12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．(2022·貴州貴陽二模)如圖7-5-16，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是()圖7-5-16A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內(nèi)心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A[由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O(shè)為△AEF的垂心．]2．如圖7-5-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時，CF⊥平面圖7-5-17a或2a[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．設(shè)AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2A．]3.(2022·四川高考)如圖7-5-18，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD.圖7-5-18(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.[解](1)取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點．理由如下：連接CM，因為AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM. 2分所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CM∥AB．又AB?平面PAB，CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB．(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點) 5分(2)證明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因為AD∥BC