(完整版)數(shù)列求和經(jīng)典題型總結(jié)

三、數(shù)列求和數(shù)列求和的方法.公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式TOC\o"1-5"\h\zS==.n②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求和公式s(q=1)nI二(q豐1)(2)C二a+b+....,數(shù)列｛C｝的通項(xiàng)公式能夠分解成幾部分，一般用“分組求和法”.nnnnC二a-b，數(shù)列｛C｝的通項(xiàng)公式能夠分解成等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，一般用“錯(cuò)nnnn位相減法”.1C二，數(shù)列｛C｝的通項(xiàng)公式是一個(gè)分式結(jié)構(gòu)，一般采用“裂項(xiàng)相消法”?na?bnnn并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和。適用于形如a=(-df(n)的類(lèi)型。舉例如下：nS=1002-992+982一972+???+22-12"=6oo+99)+(98+97)+???+&+1)=5050常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：1)1n(n+1)1)1n(n+1)11n一荷;(2)1(2n-1)(2n+1);(3)1■v'n+弋：n+1題型一數(shù)列求解通項(xiàng)公式若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和S二3n2-2n+1，則｛an｝的通項(xiàng)公式是a=TOC\o"1-5"\h\znnnn數(shù)列｛a｝中，已知對(duì)任意的正整數(shù)n，a+a+???+a=3n-1，則a2+a2+???+a2等n12n12n于。1數(shù)列｛a｝中,a二2,a二1,如果數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，則a二n35a+111n111TOC\o"1-5"\h\z已知數(shù)列｛a｝中，a.=1且=一+丁，則a=。n1aa310n+1nn-1已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a=a(n>2)，則a=.。nnnn-1n已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a二a+n+1(n>2)，則a=.。nnn-1n

若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和S=2a+3,則｛an｝的通項(xiàng)公式是a=nn3n3nnTOC\o"1-5"\h\z已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和為S，且S=2a-1，則a=。nnnn5設(shè)Sn是數(shù)列｛a^的前n項(xiàng)和，已知a1=1,an=_Sn-Sn_t(n^2),則Sn=數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足：a=2,a=4a-3，則a等于。n1n+1n10/1in+i12.數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足：a=2,a=/1in+i12.數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足：a=2,a=3anin+in13.數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足：a=2,a=5anin+in14.數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足：a=2,a=3anin+in15.數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足：a=2,a=4a11.nn+3n，則ai0等于—2，則a等于101n+1數(shù)數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足：a二2,a-二4an+3n，則ai0等于-2-4n+1，則ai0等于-3-4n+1，則ai0等于16.數(shù)列ai+2,…,ak+2k，…ai0+20共有10項(xiàng)，且其和為240,貝0a+a+?—卜ai2i017.已知數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=(-i〉T?(4n-3),則它的前100項(xiàng)之和Snni00i918.數(shù)列an=乙J，其前n項(xiàng)之和為，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線(n+l)x+y+n=0,在y軸上的截距為。題型二分組轉(zhuǎn)化求和已知數(shù)列｛a｝是3+2-i,6+22-i,9+23-i,i2+24—i,…,n寫(xiě)出數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n求其前n項(xiàng)和S。n丄]2n-i丿2.求和S丄]2n-i丿2丿3-數(shù)列3-數(shù)列｛3的前5的和為Sn，ai=t點(diǎn)(S,a)在直線y=3x+1上,nn+i(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列;n(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)b=loga,c=a+b,T是數(shù)列：｝的前n項(xiàng)和，求T。n4n+1nnnnnn題型三錯(cuò)位相減法求和1.已知等差數(shù)列匕｝的前3項(xiàng)和為6,前8項(xiàng)和為-4.n求數(shù)列匕｝的通項(xiàng)公式；n設(shè)b—a)qntCq豐0,neN)，求數(shù)列缶｝的前n項(xiàng)和S。nn+nn112.已知數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)為，公比為q=丁的等比數(shù)列，設(shè)b+2二3loga144n丄n4(neN)，數(shù)列：｝滿(mǎn)足c=a-b+nnnn數(shù)列缶｝的通項(xiàng)公式；n求數(shù)列：｝的前n項(xiàng)和S。3.在數(shù)列匕3.在數(shù)列匕｝中,na=1，當(dāng)n>2時(shí)，其前n項(xiàng)和S滿(mǎn)足S2=a1nnn求S的表達(dá)式；n設(shè)b=，求數(shù)列缶｝的前n項(xiàng)和T。n2n+1nn4.已知數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S，且SneN。nnn2+求證：數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列；n1設(shè)b=,T=b+b++b，求T。n2Sn12nnn題型四裂項(xiàng)求和111.設(shè)數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足a二0,—二1n11—a1—an+1(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)bn數(shù)列缶｝(2)設(shè)bn數(shù)列缶｝的前n項(xiàng)和Snnn設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,a=10,a=9S+10,TOC\o"1-5"\h\znn1n+1n1(1)求證：｛lga｝是等差數(shù)列；(2)設(shè)T是數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，求T；nn(lga)(lga)nnn+1(3)求使T>](m2+5m)對(duì)所有的正整數(shù)n恒成立的整數(shù)m的取值集合。n43?若S是公差不為0的等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，且S,S,S成等比數(shù)列。nn124求等比數(shù)列S,S,S的公比；124若S=4，求數(shù)列L｝的通項(xiàng)公式；2n在(2)的條件下，設(shè)b二—,T是等差數(shù)列缶｝的前n項(xiàng)和，求使得T<m對(duì)naannn20nn+1所有的正整數(shù)n都成立的最小正整數(shù)m。4.已知數(shù)列0｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S=2a-2n+i,nwN*