奧數(shù)時鐘問題

奧數(shù)時鐘問題一鐘面追及時間：2008-11-3018:33:57點擊：2502基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；②確定分針與時針的路程差；基本方法：①分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成0小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時起0分格，即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。②度數(shù)方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°,時針每分鐘轉(zhuǎn)360/（12*60）度，即1/2度。解法，時鐘，算法，公式四、時鐘問題解法與算法公式解題關(guān)鍵：時鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面上按“時〃分為12大格，按“分〃分為60小格。每小時，時針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時針的轉(zhuǎn)速是分針的，兩針速度差是分針的速度的，分針每小時可追及。1、二點到三點鐘之間，分針與時針什么時候重合？分析：兩點鐘的時候，分針指向12,時針指向2,分針在時針后5x2=10（小格）。而分針每分鐘可追及1—=（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時間應為（10+）分鐘。解： （5x2）+（1—）=10+=10（分）答：2點10分時，兩針重合。2、在4點鐘至5點鐘之間，分針和時針在什么時候在同一條直線上？分析：分針與時針成一條直線時，兩針之間相差30小格。在4點鐘的時候，分針指向12,時針指向4,分針在時針后5x4=20（小格）。因分針比時針速度快，要成直線，分針必須追上時針（20小格）并超過時針（30小格）后，才能成一條直線。因此，需追及20+30）小格。解： （5x4+30）+（1—）=50+=54（分）答：在4點54分時，分針和時針在同一條直線上。3、在一點到二點之間，分針什么時候與時針構(gòu)成直角？分析：分針與時針成直角，相差15小格（或在前或在后），一點時分針在時針后5x1=5小格，在成直角，分針必須追及并超過時針，才能構(gòu)成直角。所以分針需追及（5x1+15）小格或追及（5x1+45）小格。解： （5x1+15）+（1—）=20+=21（分）或（5x1+45）+（1—）=50+=54（分）答：在1點21分和1點54分時，兩針都成直角。4、星期天，小明在室內(nèi)陽光下看書，看書之前，小明看了一眼掛鐘，發(fā)現(xiàn)時針與分針正好處在一條直線上。看完書之后，巧得很，時針與分針又恰好在同一條直線上?？磿陂g，小明聽到掛鐘一共敲過三下。（每整點，是幾點敲幾下；半點敲一下）請你算一算小明從幾點開始看書？看到幾點結(jié)束的？分析：連半點敲聲在內(nèi)，一共敲了三下，說明小明看書的時間是在中午12點以后。12點以后時針與分針：第一次成一條直線時刻是：（0+30）+（1—）=30-=32（分）即12點32分。第二次成一條直線時刻是：（5x1+30）+（1—）=35+=38（分）即1點38分。第三次成一條直線的時刻是：（5x2+30）+（1—）=40-=43（分）即2點43分。如果從12點32分開始，到1點38分，只敲2下，到2點43分，就共敲5下（不合題意）如果從1點38分開始到2點43分，共敲3下。因此，小明應從1點38分開始看書，到2點43分時結(jié)束的。5、一只掛鐘，每小時慢5分鐘，標準時間中午12點時，把鐘與標準時間對準。現(xiàn)在是標準時間下午5點30分，問，再經(jīng)過多長時間，該掛鐘才能走到5點30分？分析：1、這鐘每小時慢5分鐘，也就是當標準鐘走60分時，這掛鐘只能走60—5=55（分），即速度是標準鐘速度的=2、因每小時慢5分，標準鐘從中午12點走到下午5點30分時，此掛鐘共慢了5x（17—12）=27（分），也就是此掛鐘要差27分才到5點30分。3、此掛鐘走到5點30分，按標準時間還要走27分，因它的速度是標準時鐘速度的，實際走完這27分所要時間應是27人解：5x（17—12）=27（分）27+=30（分）

答：再經(jīng)過30分鐘，該掛鐘才能走到5點30分。一個鐘表一圈有60個小格，這里計算就以小格為單位。1分鐘時間，分針走1個小格，時針指走了1/60*5=1/12個小格，所以每分鐘分針比時針多走11/12個小格，以此作為后續(xù)計算的基礎(chǔ)，對于解決類似經(jīng)過多長時間時針、分針垂直或成直線的問題非常方便、快捷。例1：從5時整開始，經(jīng)過多長時間后，時針與分針第一次成了直線？5時整時，分針指向正上方，時針指向右下方，此時兩者之間間隔為25個小格(表面上每個數(shù)字之間為5個小格)，如果要成直線，則分針要超過時針30個小格，所以在此時間段內(nèi)，分針一共比時針多走了55個小格。由每分鐘分針比時針都走11/12個小格可知，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，也就是經(jīng)過60分鐘時針與分針第一次成了直線。例2：從6時整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時針與分針第一次重合？6時整時，分針指向正上方，時針指向正下方，兩者之間間隔為30個小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘。

例3：在8時多少分，時針與分針垂直?8時整時，分針指向正上方，時針指向左下方，兩者之間間隔為40個小格。如果要兩者垂直，有兩種情況，一個是第一次垂直，此時兩者間隔為15個小格（分針落后時針），也就是分針比時針多走了25個小格，此段時間為25/（11/12）=300/11分鐘;另一次是第二次垂直，此時兩者間隔仍為15個小格（但分針超過時針），也就是分針比時針多走了55個小格，此段時間為55/（11/12）=60分鐘，時間變?yōu)?時，超過了題意的8時多少分要求，所以在8時300/11分時，分針與時針垂直。由上面三個例題可以看出，求解此類問題（經(jīng)過多少時間，分針與時間成多少夾角）時，采用上述方法是非常方便、簡單、快捷的，解題過程形象易懂，結(jié)果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類問題的一個關(guān)鍵點就是抓住分針比時針多走了多少個小格，而不論兩者分別走了多少個小格。下面再通過幾個例題來介紹這種方法的用法和要點。例4：從9點整開始，經(jīng)過多少分，在幾點鐘，時針與分針第一次成直線？9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之

間間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走15個小格，此段時間為15/(11/12)=180/11分鐘。例5：一個指在九點鐘的時鐘，分針追上時針需要多少分鐘？9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要分針追上時針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個小格，那么分針要比時針多走45個小格，此段時間為45/(11/12)=540/11分鐘。例6：時鐘的分針和時針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線？時針和分針重合，也就是兩者間隔為0個小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘?！踞槍π跃毩暋?十點與11點之間，兩針在什么時刻成直線(不包括重合情況)？()A.10時21分B,10時22分C,10時21 D,10時21分2現(xiàn)在是下午3點，從現(xiàn)在起時針和分針什么時候第一次重合？3。分針和時針每隔多少時間重合一次？一個鐘面上分針和時針一晝夜重合幾次？4。鐘面上5點零8分時，時針與分針的夾角是多少度？5。在4點與5點之間，時針與分針什么時候成直角？

6.9點過多少分時，時針和分針離、'9〃的距離相等，并且在、'9〃的兩邊?【參考答案詳解】答案A滿足.分針：6度/分時針0.5度/分，十點時，兩針夾角為60度，設(shè)需要時間為x分，則如圖有60-0.5x=180-6x，x=分，即10時分兩針成直線。答案A滿足。現(xiàn)在是下午3點，從現(xiàn)在起時針和分針什么時候第一次重合？解析：分針：6度/分 時針0.5度/分3點整，時針在分針前面15格，所以第一次重合時，分針應該比時針多走15格，即90度，用追及問題的處理方法解：90/(6-0.5)度/分=16分鐘，所以下午3點16分鐘，時針和分針第一次重合。分針和時針每隔多少時間重合一次？一個鐘面上分針和時針一晝夜重合幾次？解析：分針：6度/分 時針0.5度/分當兩針第一次重合到第二次重合，分針比時針多轉(zhuǎn)360度。所以兩針再次重合需要的時間為：360/(6-0.5)=720/11分，一晝夜有：24x60=1440分，所以兩針在一晝夜重合的次數(shù)：1440分/(720/11)分/次=22次鐘面上5點零8分時，時針與分針的夾角是多少度？解析：分針：6度/分 時針0.5度/分5點零8分，時針成角：5x30+8x0,5=154度，分針成角：8x6=48度，所以夾角是154-48=106度。在4點與5點之間，時針與分針什么時候成直角？解析：整4點時，分針指向12,時針指向4。此時，時針領(lǐng)先分針20格。時，分兩針成直角，必須使時針領(lǐng)先分針15格，