中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)模型幾何變換三種模型手拉手半角對角互補(bǔ)

合用文檔幾何變換的三種模型手拉手、半角、對角互補(bǔ)知識關(guān)系圖等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等邊三角形（包含費馬點）旋轉(zhuǎn)變換對角互補(bǔ)模型特別角一般角角含半角模型特別角一般角等線段變換（與圓相關(guān)）真題演練【練1】（2013北京中考）在△ABC中，ABAC，BAC（060），將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°獲取線段BD．（1）如圖1，直接寫出ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）如圖2，BCE150，ABE60，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連接DE，若DEC45，求的值．標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【練2】（2012年北京中考）在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中點，P是線段上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2獲取線段PQ．（1）若且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補(bǔ)全圖形，并寫出CDB的度數(shù)；（2）在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想CDB的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明；（3）關(guān)于合適大小的，當(dāng)點P在線段BM上運(yùn)動到某一地址（不與點B，M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQQD，請直接寫出的范圍．標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔例題精講考點1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等邊三角形陪同旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種地址的旋轉(zhuǎn)模型，及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來（1）等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共極點旋轉(zhuǎn)等腰出陪同全等）（2）等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共極點旋轉(zhuǎn)等邊出陪同全等）（3）等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖（共極點旋轉(zhuǎn)等腰直角出陪同全等）（4）不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖（共極點旋轉(zhuǎn)不等腰出陪同相似）標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【例1】（14年海淀期末）已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且ABCE．（1）如圖1，連接BG、DG．求證：BGDE；（2）如圖2，若是正方形ABCD的邊長為2，將正方形CEFG繞著點C旋轉(zhuǎn)到某一地址時恰好使得CG∥BD，BGBD．①求BDE的度數(shù)；②請直接寫出正方形CEFG的邊長的值．【題型總結(jié)】手拉手模型是中考中最常有的模型，打破口常有的有哪些信息？常有的考試方法有哪些？標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【例2】（2014年西城一模）四邊形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF90，BEEF，連接DF，G為DF的中點，連接EG，CG，EC。（1）如圖24-1，若點E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的地址關(guān)系及ECGC的值；（2）將圖24-1中的BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示地址，請問（1）中所得的結(jié)論可否依舊成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明原由；ADADGGFFEEBCBC圖圖標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【題型總結(jié)】此種類題目方法多樣，你還能夠找到其他的解題方法嗎？別的涉及到的中點輔助線你還能夠說出幾種？標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【例3】（2015年海淀九上期末）如圖1，在△ABC中，BC4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD，連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DCDE，BDCDEADB．（1）如圖2，當(dāng)ABC45且90時，用等式表示線段AD，DE之間的數(shù)量關(guān)系；ADBCE圖1（2）將線段CB沿著射線CE的方向平移，獲取線段EF，連接BF，AF．若90，依題意補(bǔ)全圖3，求線段AF的長；請直接寫出線段AF的長（用含的式子表示）．AAADDBDCCBCBEEE圖2圖3備用圖標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【例4】（13年房山一模）（1）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且B、C、三點共線，聯(lián)系A(chǔ)D、DBE訂交于點P，求證：BEAD．（2）如圖2，在△BCD中，BCD120，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外面作等邊△ABC、等邊△CDE和等邊△BDF，聯(lián)系A(chǔ)D、BE和CF交于點P，以下結(jié)論中正確的選項是_______（只填序號即可）①ADBECF；②BECADC；③DPEEPCCPA60；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：PBPCPDBE．ECAACAPPEDBPDBDBCD圖1F圖2F標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【題型總結(jié)】到三個定理的三條線段之和最小，夾角都為°．旋轉(zhuǎn)與最短行程問題主若是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)變成兩點之間線段最短的問題，同時與旋轉(zhuǎn)相關(guān)行程最短的問題，比較重要的就是費馬點問題費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．標(biāo)準(zhǔn)文案考點2：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等AADFBECGBEADGB

合用文檔ADDFBCECFE

CFADB

AGE

CF

B

DECAFBDEC12012年西城期末）已知：如圖，正方形ABCD的邊長為a【例】（，BM，DN分別均分正方形的兩個外角，且滿足MAN45，連接MC，NC，MN．猜想線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【例2】（2014年平谷一模）（1）如圖1，點E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，EAF45，連接EF，則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EFBEFD．連接BD，交AE、AF于點M、N，且MN、BM、DN滿足MN2BM2DN2，請證明這個等量關(guān)系；（2）在△ABC中，ABAC，點D、E分別為BC邊上的兩點．①如圖2，當(dāng)BAC60，DAE30時，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是__________________；1②如圖3，當(dāng)BAC，(090)，DAE時，BD、DE、EC2應(yīng)滿足的等量關(guān)系是____________________．【參照：sin2cos21】BAAAEMNCFDBDECBDEC圖1圖2圖3標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【題型總結(jié)】角含半角的特點有哪些，哪些是不變的量？由角含半角產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系都是有哪些？怎樣描述這類題目的輔助線？考點3：對角互補(bǔ)模型常和角均分線性質(zhì)一起考，一般有兩種解題方法（全等型—90°）AAMCCDDOEBONEB（全等型—120°）（全等型—任意角）ADCCAACDDOOEBOEBF

EB【例1】四邊形ABCD被對角線BD分為等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和C都是直角，另一條對角線AC的長度為2，求四邊形ABCD的面積．ABDC標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【例2】已知：點P是MON的均分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點B，且使APBMON180．（1）利用圖1，求證：PAPB；（2）如圖1，若點C是AB與OP的交點，當(dāng)SPOB3SPCB時，求PB與PC的比值；MMTATAPPCCOBNOBN圖1圖2標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【題型總結(jié)】對角互補(bǔ)模型經(jīng)常在哪里題目里出現(xiàn)，題目中有哪些提示信息？經(jīng)常和哪一種圖形同時出現(xiàn)？3(初二期末)已知：如圖，在△ABC中，ABAC，BAC，且60120．P【例】為△ABC內(nèi)部一點，且PCAC，PCA120．（1）用含的代數(shù)式表示APC，得APC=_______________________；（2）求證：BAPPCB；（3）求PBC的度數(shù)．APBC標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【題型總結(jié)】一般涉及到線段的旋轉(zhuǎn)都能夠和圓聯(lián)系起來，依照圓的相關(guān)性質(zhì)解題是一種比較便利的方法。（標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔全能打破【練1】（2015年昌平九上期末）如圖，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE．,CE交AB連接BD交AE于M連接于N，BD與CE交點為F，連接AF．（1）如圖1，求證：BDCE；2）如圖1，求證：AF是CFD的均分線；3）如圖2，當(dāng)AC2，BCE15時，求CF的長.BBFEFENNMMCACAD圖1D圖2標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【練2】（2014西城九上期末）已知：△ABC，△DEF都是等邊三角形，M是BC與EF的中點，連接AD，BE.（1）如圖1，當(dāng)EF與BC在同一條直線上時，直接寫出AD與BE的數(shù)量關(guān)系和地址關(guān)系；（2）△ABC固定不動，將圖1中的DEF繞點M順時針旋轉(zhuǎn)（0o≤≤90o）角，如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論可否依舊成立，若成立，請加以證明；若不成立，說明原由；（3）△ABC固定不動，將圖1中的DEF繞點M旋轉(zhuǎn)（0o≤≤90o）角，作DHBC于點H．設(shè)BH＝x，線段AB，BE，ED，DA所圍成的圖形面積為S．當(dāng)AB＝6，DE＝2時，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的x的取值范圍．圖1圖2備用圖標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【練3】（2014年旭日一模24題）在△ABC中，ACBC，在△AED中，ADED，點D、E分別在CA、AB上，（1）圖①，若ACBADE90，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是______________；（2）若ACBADE120，將△AED繞點A旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的地址，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是______________；（3）若ACBADE2(090)，將△AED繞點A旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的地址，研究線段CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（用含的式子表示）標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【練4】（2015年燕山九上期末）小輝遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，BAC＝90，AB＝AC，點，E在邊BC上，DAE＝45．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．CCDFEECDFDDEA圖1BA圖2BA圖3B小輝發(fā)現(xiàn)，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90o，獲取ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及DAE＝45，可證FAE≌DAE，得FE＝DE．解FCE，可求得EF(即DE)的長．請回答：在圖2中，F(xiàn)CE的度數(shù)是__________，DE的長為_______RtABC____．參照小輝思慮問題的方法，解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，B＋D＝180．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且EAF＝1BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系并說明原由．2標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【練5】（11年石景山一模）已知：如圖，正方形ABCD中，AC,BD為對角線，將BAC繞極點A逆時針旋轉(zhuǎn)(045)，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交BD于點P、點Q，交BC,CD于點E、點F，聯(lián)系EF、EQ．（1）在BAC的旋轉(zhuǎn)過程中，AEQ的大小可否改變，若不變寫出它的度數(shù)，若改變，寫出它的變化范圍（直接在答題卡上寫出結(jié)果，不用證明）；2AEF的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明．（）研究APQ與ADQFPBEC標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【練6】（2015年延慶九上期末）已知：△ABC是O的內(nèi)接三角形，ABAC，在BAC所對弧AC上，任取一點D，連接AD，BD，CD，（1）如圖1，BAC，直接寫出ADB的大小（用含的式子表示）；（2）如圖2，若是BAC60，求證：BDCDAD；33BAC120，那么BDCD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是（）如圖，若是什么？寫出猜想并加以證明；（4）若是BAC，直接寫出BDCD與AD之間的數(shù)量關(guān)系.DDBCBOCOAADOBCA圖2圖3圖1標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【練7】（1)如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=1BEFD;BAD．求證：EF2(2)如圖在四邊形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF1，(1)中的結(jié)論可否依舊成立？不用證明．BAD2(3)如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BADC180，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，且1BAD，(1)中的結(jié)論可否依舊成立？EAF2若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．FADAADDFBFBCEECBCE標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【練8】小華遇到這樣一個問題，如圖1,ABC中，ACB30o，BC6，AC5，在ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC，求PAPBPC的最小值．小華是這樣思慮的：要解決這個問題，第一應(yīng)想方法將這三條端點重合于一點的線段分別，爾后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依照“兩點之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后試一試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)能夠解決這個問題．他的做法是，如圖2，將APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60oEDC，連接PD、BE，則BE的長即為所求．，獲取（1）請你寫出圖2中，PAPBPC的最小值為________；（2）參照小華的思慮問題的方法，解決以下問題：①如圖3，菱形ABCD中，60oABCD內(nèi)部有一點P，請在圖3ABC，在菱形中畫出并指明長度等于PAPBPC最小值的線段（保留畫圖印跡，畫出一條即可）；②若①中菱形ABCD的邊長為4，請直接寫出當(dāng)PAPBPC值最小時PB的長．EAADDAPCBBCP圖1BC圖3圖2標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔92014年西城二模）在ABC，BAC為銳角，ABAC，AD均分BAC交BC【練】（于點D．（1）如圖1，若ABC是等腰直角三角形，直接寫出線段AC，CD，AB之間的數(shù)量關(guān)系；（2）BC的垂直均分線交AD延長線于點E，交BC于點F．①如圖2，若ABE60，判斷AC，CE，AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②如圖3，若ACAB3AE，求BAC的度數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔【練10】(2014年1月西城八年級期末試題—附加題)已知：如圖，MAN為銳角，AD平分MAN，點B，點C分別在射線AM和AN上，ABAC.（1）若點E在線段CA上，線段EC的垂直均分線交直線AD于點F，直線BE交直線AD于點G，求證：EBFCAG；2）若（1）中的點E運(yùn)動到線段CA的延長線上，（1）中的其他條件