典例解析：空間幾何體的表面積和體積1

PAGE13典例解析：空間幾何體的表面積和體積題型1：柱體的體積和表面積例1．一個(gè)長方體全面積是20cm2，所有棱長的和是24解：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為cm、ycm、cm、lcm依題意得：由（2）2得：2y222y2y2=36（3）由（3）－（1）得2y22=16即l2=16所以l=4cm．點(diǎn)評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察．我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系．

例2．如圖1所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；（2）求這個(gè)平行六面體的體積。

圖1圖2解析：（1）如圖2，連結(jié)A1O，則A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N．由三垂線定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD．∵∠A1AM=∠A1∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N從而OM=ON．∴點(diǎn)O在∠BAD的平分線上．（2）∵AM=AA1cos=3×=∴AO==．又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，∴A1O=，平行六面體的體積為．

題型2：柱體的表面積、體積綜合問題例3．一個(gè)長方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長方體對角線的長是（）A．2 B．3 C．6 D．解析：設(shè)長方體共一頂點(diǎn)的三邊長分別為a=1，b＝，c＝，則對角線l的長為l=；答案D．點(diǎn)評：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長．例4．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1∶V2=解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1V2＝Sh．∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴S△AEF=S,V1=hSS=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5．點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系．最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。

題型3：錐體的體積和表面積22側(cè)左視圖22222側(cè)左視圖222正主視圖【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為答案:C【命題立意】:本題考查了立體幾何中的空間想象能力,由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能準(zhǔn)確地計(jì)算出幾何體的體積

練習(xí)1：如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是（）ABC直線∥D直線所成的角為45°【答案】D【解析】∵AD與是OA的中點(diǎn)，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C．若圓C的面積等于，則球O的表面積等于答案：8π解析：本題考查立體幾何球面知識(shí)，注意結(jié)合平面幾何知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，由

例6某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖4所示,墩的上半部分是正四棱錐EE中,由于ME=1,—ABCD又—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC多面體ABCDEF的體積為VE—ABCD＋VE—BCF=

例10．（1）如圖，在長方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過點(diǎn)作，為垂足．設(shè)，則的取值范圍是．

答案：【解析】此題的破解可采用二個(gè)極端位置法，即對于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)，，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是

例11．若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是．【命題意圖】此題主要是考查了幾何體的三視圖，通過三視圖的考查充分體現(xiàn)了幾何體直觀的考查要求，與表面積和體積結(jié)合的考查方法．【解析】該幾何體是由二個(gè)長方體組成，下面體積為，上面的長方體體積為，因此其幾何體的體積為18例12．直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于．解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為

例13．已知過球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，，∴，∴，∴．點(diǎn)評：正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系．

例14．如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積．

解析：如圖，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d．在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′．由正弦定理，得=2r,∴r=a．又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共線，球的半徑R=．又PO′===a，∴OO′=R－a=d=,R－a2=R2–a2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2．點(diǎn)評：本題也可用補(bǔ)形法求解．將P—ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對角線，易得球半徑R=a,下略．題型9：球的面積、體積綜合問題

例15．（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積．（2）正四面體ABCD的棱長為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積．解：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長為，

則作軸截面如圖，，，又∵，∴，∴，∴，∴（2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H

由題設(shè)∵△AOF∽△AEG∴，得∵△AO1H∽△AOF∴，得∴

點(diǎn)評：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等．

題型4：球的經(jīng)緯度、球面距離問題例19．（1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等于多少（地球半徑大約為）

（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，，求球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離．解：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，∴，設(shè)是北緯的緯線長，∵，∴

答：北緯緯線長約等于．（2）解：設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的截面為⊙，設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，∵，∴，所以，球心到截面距離為．例16．在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離．解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，，∴，∴，∴，∴，∴中，，所以，兩點(diǎn)的球面距離等于．點(diǎn)評：