最新附帶答案精析高考沖刺空間幾何體

空間幾何體1．有以下說法：①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線交于一點；②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交直線；③幾何體在平行投影和中心投影下有不同的表現(xiàn)形式，其中正確命題有〔〕A．0個B．1個C．2個D．3個2．〔2006?湖南〕棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，假設(shè)過該球球心的一個截面如圖，那么圖中三角形〔正四面體的截面〕的面積是〔〕A．B．C．D．3．球O的半徑為，球面上有A、B、C三點，如果AB=AC=2，BC=，那么三棱錐O﹣ABC的體積為〔〕A．B．C．1D．4．三棱錐A﹣BCO，OA、OB、OC兩兩垂直且長度均為6，長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動，另一個端點N在△BCO內(nèi)運動〔含邊界〕，那么MN的中點P的軌跡與三棱錐的面所圍成的幾何體的體積為〔〕A．B．或36+C．36﹣D或36﹣5．ABCD﹣A1B1C1D1為單位正方體，黑白兩個螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段〞，白螞蟻爬行的路線是AA1→A1D1→…，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→…，它們都遵循如下規(guī)那么：所爬行的第i+2與第i段所在直線必須是異面直線〔其中i是自然數(shù)〕，設(shè)白，黑螞蟻都走完2023段后各停止在正方體的某個頂點處，這時黑，白兩螞蟻的距離是〔〕A．1B．C．D．06．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，M在△ABC內(nèi)，∠MPA=60°，∠MPB=45°，那么∠MPC的度數(shù)為〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°7．球O的外表積為20π，SC是球O的直徑，A、B兩點在球面上，且AB=BC=2，，那么三棱錐S﹣AOB的高為〔〕A．B．C．D．18．四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，假設(shè)四面體P﹣ABC的體積為，那么該球的體積為〔〕A．B．2πC．D．9．在△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一點P到三頂點A，B，C的距離都是14，那么P到平面ABC的距離是〔〕A．6B．7C．9D．1310．以下正確命題個數(shù)是〔〕①梯形的直觀圖可能是平行四邊形；②三棱錐中，四個面都可以是直角三角形；③如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，這個棱錐不可能是六棱錐；④底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；⑤底面是矩形的平行六面體是長方體．A．1B．2C．3D．411．三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足：，那么三棱錐P﹣ABC的側(cè)面積的最大值為〔〕A．2B．1C．D．12．一個斜三棱柱，底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，一條側(cè)棱與底面三角形兩邊所成的角都是60°，那么這個斜三棱柱的側(cè)面積是〔〕A．40B．20〔1+〕C．30〔1+〕D．3013．正方形ABCD的邊長為4，中心為M，球O與正方形ABCD所在的平面相切于M點，過點M的球的直徑另一端點為N，線段NA與球O的球面的交點為E，且E恰為線段NA的中點，那么球O的外表積為〔〕A．B．C．4πD．8π14．一個圓柱底面直徑與高相等，其體積與一個球的體積之比是3：2，那么這個圓柱的外表積與這個球的外表積之比為〔〕A．1：1B．1：C．：D．3：215．圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，假設(shè)圓柱的側(cè)面積最大，那么此圓柱的上底面將圓錐的體積分成小、大兩局部的比是〔〕A．1：1B．1：2C．1：8D．1：716．正三棱錐P﹣ABC的外接球O的半徑為1，且滿足++=，那么正三棱錐P﹣ABC的體積為〔〕17．在半徑為r的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點恰好都在同一個大圓上，一個動點從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動，經(jīng)過其余三點后返回，那么經(jīng)過的最短路程是〔〕A．2πrB．C．D．18．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a，那么三棱錐D﹣ABC的體積為〔〕A．B．C．D．19．在正三棱錐S﹣ABC中，側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直，且側(cè)棱SA=，那么正三棱S﹣ABC外接球的外表積為〔〕A．12πB．32πC．36πD．48π20．直角梯形的一個內(nèi)角為45°，下底長為上底長的，這個梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的全面積為〔5+〕π，那么旋轉(zhuǎn)體的體積為〔〕A．2πB．C．D．21．如下圖，在平行四邊形ABCD中，，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，那么三棱錐A﹣BCD的外接球的外表積是〔〕A．B．C．D．空間幾何體1．棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，那么這些球的最大半徑為〔〕A．B．C．D．2．假設(shè)三個棱長均為整數(shù)〔單位：cm〕的正方體的外表積之和為564cm2，那么這三個正方體的體積之和為〔〕A．764cm3或586cm3B．764cm3C．586cm3或564cm3D．586cm33．如圖，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，線段B′D′上有兩個動點E，F(xiàn)且，那么以下結(jié)論中錯誤的是〔〕A．AC⊥BEB．三棱錐A﹣BEF的體積為定值C．EF∥平面ABCDD．異面直線AE，BF所成的角為定值4．有以下命題：①在空間中，假設(shè)OA∥O'A'，OB∥O'B'，那么∠AOB=∠A'O'B'；②直角梯形是平面圖形；③{長方體}?{正四棱柱}?{直平行六面體}；④假設(shè)a、b是兩條異面直線，a?平面α，a∥平面β，b∥平面α，那么α∥β；⑤在四面體P﹣ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，那么點A在面PBC內(nèi)的射影為△PBC的垂心，其中真命題的個數(shù)是〔〕A．1B．2C．3D．45．一個幾何體的三視圖如下圖，其中正視圖是一個正三角形，那么這個幾何體的〔〕A．外接球的半徑為B．外表積為C．體積為D．外接球的外表積為4π6．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是AA1和B1B的中點，那么D1F與CE所成角的余弦值為〔〕A．B．C．D．7．m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，以下4個命題中正確的個數(shù)為〔〕①假設(shè)m∥α，n?α，那么m∥n②假設(shè)α⊥β，m⊥α，n⊥β，那么m⊥n③假設(shè)m?α，n?β且m⊥n，那么α⊥β④假設(shè)m，n是異面直線，m?α，n?β，m∥β，那么n∥αA．1B．2C．3D．48．在半徑為r的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點恰好都在同一個大圓上，一個動點從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動，經(jīng)過其余三點后返回，那么經(jīng)過的最短路程是〔〕A．2πrB．C．D．9．〔2004?福建〕如圖，A、B、C是外表積為48π的球面上三點，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O為球心，那么直線OA與截面ABC所成的角是〔〕A．a(chǎn)rcsinB．a(chǎn)rccosC．a(chǎn)rcsinD．a(chǎn)rccos10．正三棱錐S﹣ABC，假設(shè)點P是底面ABC內(nèi)一點，且P到三棱錐S﹣ABC的側(cè)面SAB、側(cè)面SBC、側(cè)面SAC的距離依次成等差數(shù)列，那么點P的軌跡是〔〕A．一條直線的一局部B．橢圓的一局部C．圓的一局部D．拋物線的一局部11．設(shè)α、β表示平面，l表示不在α內(nèi)也不在β內(nèi)的直線，給出以下命題：①假設(shè)l⊥α，l∥β，那么α⊥β；②假設(shè)l∥β，α⊥β，那么l⊥α；③假設(shè)l⊥α，α⊥β，那么l∥β．其中正確的命題是〔〕A．①③B．①②C．②③D.①②③12．在三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AC、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面積分別為、、，那么該三棱錐外接球的外表積為〔〕A．2πB．4πC．6πD．24π13．對于不重合的兩個平面α與β，那么“存在異面直線l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β〞是“α∥β〞的〔〕A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件14．一個四棱錐的正視圖和側(cè)視圖為兩個完全相同的等腰直角三角形〔如圖示〕，腰長為1，那么該四棱錐的體積為〔〕A．B．C．D．15．如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=2，點G與E分別為線段A1B1和C1C的中點，點D與F分別為線段AC和AB上的動點．假設(shè)GD⊥EF，那么線段DF長度的最小值是〔〕A．B．1C．D．16．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與直線AD、B1C、A1C1都相交的直線〔〕A．有且僅有一條B．有且僅有兩條C．有且僅有三條D．有無數(shù)條17．半徑為5的球O被互相垂直的兩個平面所截，得到的兩個圓的公共弦為4，假設(shè)其中的一圓的半徑為4，那么另一圓的半徑為〔〕A．B．C．D．18．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，E為AB上一個動點，那么D1E+CE的最小值為〔〕A．B．C．D．x≤y19．a(chǎn)，b是不同的直線，α，β是不同的平面，假設(shè)①a⊥b，b⊥α；②a∥b，b∥α；③a?α，a∥β，β∥α；④a⊥β，β⊥α，那么其中能使a∥α的充分條件的個數(shù)為〔〕A．0個B．1個C．2個D．3個20．假設(shè)a，b是異面直線，那么以下結(jié)論中不正確的為〔〕A．一定存在平面α與a、b都平行B．一定存在平面α與a、b都垂直C．一定存在平面α與a、b所成角都相等D．一定存在平面α與a、b的距離都相等1參考答案與試題解析1．專題：常規(guī)題型．分析：此題考查平行投影和中心投影的關(guān)系，從投影線開始，兩者的投影線是有區(qū)別的，平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線交于一點，幾何體在兩種投影下的表現(xiàn)形式有時也不同．解答：解：平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線交于一點，故①正確，空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交直線，②錯誤，幾何體在平行投影和中心投影下有不同的表現(xiàn)形式，③正確，綜上可知有2個說法是正確的．應選C．點評：此題考查平行投影及平行投影的作圖法，考查中心投影及中心投影的作圖法，是一個根底題，教材中對于這兩種投影說的比擬少，可以翻閱其他資料補充．2．專題：計算題．分析：做此題時，需要將原圖形在心中復原出來，最好可以做出圖形，利用圖形關(guān)系，就可以求解了．解答：解：棱長為2的正四面體ABCD的四個頂點都在同一個球面上，假設(shè)過該球球心的一個截面如圖為△ABF，那么圖中AB=2，E為AB中點，那么EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面積是，應選C．點評：此題考查學生的空間想象能力，以及學生對幾何體的認識，是中檔題．3．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：確定小圓中三角形ABC的特征，作出三棱錐O﹣ABC的高，然后解三角形求出三棱錐O﹣ABC的底面面積及三棱錐O﹣ABC的高，即可得到三棱錐O﹣ABC的體積．解答：解：因為AB=AC=2，BC=，所以∠BAC=90°，BC為小圓的直徑，那么平面OBC⊥平面ABC，D為小圓的圓心，所以O(shè)D⊥平面ABC，OD就是三棱錐O﹣ABC的高，∵OD==∴三棱錐O﹣ABC的體積為V=××AB×AC×OD=××2×2×=應選D．點評：此題考查三棱錐O﹣ABC的體積，解題的關(guān)鍵是確定小圓中三角形ABC的特征，屬于中檔題．4．專題：綜合題．分析：由于長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動，另一個端點N在△BCO內(nèi)運動〔含邊界〕，有空間想象能力可知MN的中點P的軌跡為以O(shè)為球心，以1為半徑的球體，故MN的中點P的軌跡與三棱錐的面所圍成的幾何體的體積，利用體積分割及球體的體積公式即可．解答：解：因為長為2的線段MN的一個端點M在棱OA上運動，另一個端點N在△BCO內(nèi)運動〔含邊界〕，有空間想象能力可知MN的中點P的軌跡為以O(shè)為球心，以1為半徑的球體，那么MN的中點P的軌跡與三棱錐的面所圍成的幾何體可能為該球體的或該三棱錐減去此球體的，即：或．應選D點評：此題考查了學生的空間想象能力，還考查了球體，三棱錐的體積公式即計算能力．5.專題：綜合題．分析：根據(jù)規(guī)那么，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點，得到每爬6步回到起點，周期為6．計算黑螞蟻爬完2023段后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2023段后實質(zhì)是到達哪個點，即可計算出它們的距離．解答：解：由題意，白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過6段后又回到起點，可以看作以6為周期，同理，黑螞蟻也是過6段后又回到起點．所以黑螞蟻爬完201B段后回到A點，同理，白螞蟻爬完2023段后到回到D點；所以它們此時的距離為1．應選A．點評：此題以一個創(chuàng)新例子為載體，考查歸納推理的能力、空間想象能力、異面直線的定義等相關(guān)知識，屬于中檔題目．6．專題：計算題；空間角．分析：過M做平面PBC的垂線，交平面PBC于Q，連接PQ，由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=，從而可得cos∠QPC=，再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，即可求∠MPC．解答：解：過M做平面PBC的垂線，交平面PBC于Q，連接PQ．∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°﹣60°=30°．由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=∵∠QPC是∠QPB的余角，所以cos∠QPC=再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，得到cos∠MPC=∴∠MPC=60°應選C．點評：此題考查空間角，考查學生分析解決問題的能力，利用好公式是關(guān)鍵．7．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：將三棱錐S﹣AOB的高，轉(zhuǎn)化為C到平面AOB的距離，利用等體積法，即可求得結(jié)論．解答：解：∵球O的外表積為20π，∴球O的半徑為，∵SC是球O的直徑，∴三棱錐S﹣AOB的高等于C到平面AOB的距離，設(shè)為h∵AB=BC=2，，∴cosA==∴sinA=∴△ABC外接圓半徑為=2∴O到平面ABC的距離為1∵，∴∴h=應選C．點評：此題考查三棱錐的高，考查三棱錐的體積公式，考查學生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．8．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：設(shè)該球的半徑為R，那么AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，由此能求出球的體積．解答：解：設(shè)該球的半徑為R，那么AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R，所以Rt△ABC面積S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面體P﹣ABC的體積為，∴VP﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的體積V球=×πR3=×π×3=4π．應選D．點評：此題考查四面體的外接球的體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．9．專題：綜合題．分析：作出P到平面ABC的高，判斷垂足是外心，然后解三角形ABC的外接圓半徑，最后求得P到平面ABC的距離．解答：解：作PO⊥平面ABC，交平面于O點，∵PA=PB=PC，OA=OB=OC，斜線相等，射影也相等．O點為三角形ABC外心，在三角形ABC中，據(jù)余弦定理，BC=21，再據(jù)正弦定理，〔R為外接圓半徑〕R=7，BO=7，在Rt△AOP中OP2=PA2﹣OA2，解之OP=7．應選B．點評：此題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查正弦定理、余弦定理，是中檔題．10．以下正確命題個數(shù)是〔〕①梯形的直觀圖可能是平行四邊形；②三棱錐中，四個面都可以是直角三角形；③如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，這個棱錐不可能是六棱錐；④底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；⑤底面是矩形的平行六面體是長方體．A．1B．2C．3D．4考點：平面圖形的直觀圖；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．2360998專題：綜合題．分析：由直觀圖判斷①的正誤；三棱錐的結(jié)構(gòu)特征判定②③④的正誤；棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷⑤，即可得到正確選項．解答：解：①梯形的直觀圖可能是平行四邊形；不正確，因為平行x軸的線段長度不變；②三棱錐中，四個面都可以是直角三角形；正確，一條棱長垂直底面直角三角形的一個銳角，即可滿足題意．③如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，這個棱錐不可能是六棱錐；錯誤，兩個正四面體的兩個底面重合即可．④底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；正確．⑤底面是矩形的平行六面體是長方體．棱長不垂直底面，不正確．應選B．點評：此題考查平面圖形的直觀圖，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查根本知識掌握情況，是根底題．11．專題：計算題．分析：由，三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為的球面上，且滿足：，那么在P點處PA，PB，PC兩兩垂直，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，由根本不等式易得到三棱錐P﹣ABC的側(cè)面積的最大值．解答：解：∵，∴PA，PB，PC兩兩垂直，又∵三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，∴以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑．∴4=PA2+PB2+PC2，那么由根本不等式可得PA2+PB2≥2PA?PB，PA2+PC2≥2PA?PC，PB2+PC2≥2PB?PC，即4=PA2+PB2+PC2≥PA?PB+PB?PC+PA?PC那么三棱錐P﹣ABC的側(cè)面積S=〔PA?PB+PB?PC+PA?PC〕≤2，那么三棱錐P﹣ABC的側(cè)面積的最大值為2，應選A點評：此題考查的知識點是棱錐的側(cè)面積，根本不等式，棱柱的外接球，其中根據(jù)條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，是解答此題的關(guān)鍵．12．專題：計算題．分析：此題考查的是斜三棱柱的側(cè)面積求解問題．在解答時，應先結(jié)合所給信息“底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，一條側(cè)棱與底面三角形兩邊所成的角都是60°〞分析側(cè)面圖形的特點，注意從側(cè)棱與底面三角形兩邊所成的角出發(fā)利用線面垂直的判定即可獲得側(cè)棱與底面邊長的關(guān)系進而問題即可獲得解答．解答：解：如圖：∵AA1與A1B1、A1C1成60°角，過A作AO⊥底面，連接A10并延長．∵AA1與A1B1、A1C1夾角相等，∴O點在∠B1A1C1的平分線上．∵A0⊥底面A1B1C1∴AO⊥B1C1，又∵A1O⊥B1C1∴B1C1⊥面A0A1∴B1C1⊥AA1，BB1，CC1所以四邊形BCC1B1是矩形，其余兩個是相等平行四邊形．∴斜三棱柱的側(cè)面積=4×5+2×〔4×5×sin60°〕=20+20．應選B．點評：此題考查的是斜三棱柱的側(cè)面積求解問題．在解答的過程當中充分表達了位置關(guān)系的判斷、面積公示的應用以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學們體會反思．13．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由題意判斷直角三角形為等腰直角三角形，求出球的直徑，然后求出半徑，即可求解球的外表積．解答：解：因為正方形ABCD的邊長為4，中心為M，球O與正方形ABCD所在的平面相切于M點，過點M的球的直徑另一端點為N，所以MN⊥平面ABCD，且O∈MN，線段NA與球O的球面的交點為E，且E恰為線段NA的中點，所以∠MEN=90°，并且EN=EM，所以AM=MN，因為正方形ABCD的邊長為4，所以AM=MN=2所以球的直徑為2∴球的半徑為：∴球的外表積為4π×2=8π應選D．點評：此題考查球的外表積的求法，考查空間想象能力，計算能力，確定球的半徑是關(guān)鍵．14．專題：計算題．分析：根據(jù)圓柱體積與球的體積之比是3：2，確定其半徑之比，進而可得圓柱的外表積與球的外表積之比．解答：解：設(shè)圓柱底面直徑為2R1，球的半徑為R2，那么圓柱的體積為2π，球的體積為∵圓柱體積與球的體積之比是3：2∴2π：=3：2∴R1：R2=1：1∵圓柱的外表積為=6，球的外表積4∴圓柱的外表積與球的外表積之比為6：4=3：2應選D．點評：此題考查圓柱與球的體積與外表積的計算，正確運用公式是關(guān)鍵，屬于根底題．15．專題：計算題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想．分析：先設(shè)圓柱高與半徑分別為x、y．圓錐底面半徑為m，圓錐高為n，將要求的兩個體積進行相比．然后利用圓錐截面的三角形相似，化簡，側(cè)面積最大，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題，解答即可．解答：解：設(shè)圓柱高與半徑分別為x、y，圓錐底面半徑為m，圓錐高為n，…①圓錐截面的三角形相似…②S柱側(cè)=2xyπ…③，由①②③得，S柱側(cè)=從這個式子可以看出．當一個錐體給定后，圓柱的只與圓柱的高有關(guān)．所以x=，圓柱的側(cè)面積最大．此時圓柱的上底面將圓錐的體積分成小、大兩局部的比是1：7應選D．點評：此題考查棱錐的體積，解題中：相似等腰三角形中，求得小、大三角形的高的比為1：2，由此可見，小的與全體體積之比為1：8，從而得出小、大兩局部之比〔特別提醒：小、大之比并非高之比的立方〕．16．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由題意++=，知球心在三棱錐的底面中心，推出球的半徑，求出正三棱錐的高，底面面積，即可得到球的體積．解答：解：∵正三棱錐P﹣ABC的外接球心為O，且滿足++=，∴球心在三棱錐的底面中心，∵球的半徑為1，∴正三棱錐的高為：1，∴正三棱錐的底面邊長為：2=，∴底面面積S=×〔〕2×sin60°=，∴正三棱錐的體積V==．應選B．點評：此題是中檔題，確定球的球心的位置是解題的關(guān)鍵，注意正三棱錐的體積的求法，正三角形的面積的應用，考查計算能力，空間想象能力．17．專題：計算題．分析：球面上兩點之間最短的路徑是大圓〔圓心為球心〕的劣弧的弧長，因此最短的路徑分別是經(jīng)過的各段弧長的和，利用內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點恰好同在一個大圓上，一個動點從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動，經(jīng)過其余三點后返回，經(jīng)過的最短路程為：一個半圓一個圓即可解決．解答：解：由題意可知，球面上兩點之間最短的路徑是大圓〔圓心為球心〕的劣弧的弧長，內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點恰好同在一個大圓上，一個動點從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動，經(jīng)過其余三點后返回，例如動點從A到S，再到C，到B回到A，∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，那么經(jīng)過的最短路程為：一個半圓一個圓，即：=應選B．點評：此題考查球的內(nèi)接多面體，球面距離，考查空間想象能力，是中檔題．解答的關(guān)鍵是從整體上考慮球面距離的計算．18．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法．分析：如圖，由正方形的性質(zhì)可以求得其對角線長度是a，折起后的圖形中，DE=BE=a，又知BD=a，由此三角形BDE三邊，求出∠BED，解出三角形BDE的面積，又可證得三棱錐D﹣ABC的體積可看作面BDE為底，高分別為AE，AC的兩個棱錐的體積和解答：解：如圖，由題意知DE=BE=a，BD=a由勾股定理可證得∠BED=90°故三角形BDE面積是a2又正方形的對角線互相垂直，且翻折后，AC與DE，BE仍然垂直，故AE，CE分別是以面BDE為底的兩個三角形的高故三棱錐D﹣ABC的體積為×a×a2=應選D點評：此題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，解題的關(guān)鍵是正確理解圖形，將求幾何體體積變?yōu)榍髢蓚€幾何體的體積，換一個角度求解，使得解題過程變得容易．19．專題：計算題．分析：正三棱錐S﹣ABC的三個側(cè)面兩兩垂直，轉(zhuǎn)化為三條側(cè)棱兩兩互相垂直，該三棱錐的各個頂點均為棱長為2的正方體的頂點，通過正方體的對角線的長度，求出外接球半徑，即可求解球的外表積．解答：解：在正三棱錐S﹣ABC中，側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直，所以正三棱錐S﹣ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且SA=2，正三棱錐S﹣ABC的外接球即為棱長為2的正方體的外接球．那么外接球的直徑2R=2?=6，所以外接球的半徑為：3．故正三棱錐S﹣ABC的外接球的外表積S=4?πR2=36．．應選C．點評：此題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的外表積，其中根據(jù)結(jié)合正方體的幾何特征，得到該正三棱錐是正方體的一局部，并將問題轉(zhuǎn)化為求正方體外接球外表積，是解答此題的關(guān)鍵．20．專題：計算題．分析：由題意可知，這個幾何體的面積是圓柱中一個圓加一個長方形加一個扇形的面積，而這個幾何體的體積是一個圓錐加一個同底圓柱的體積．再根據(jù)題目中的條件求解即可．解答：解：這個幾何體的面積是圓柱中一個圓加一個長方形加一個扇形的面積，圓的面積，直角腰為半徑，長方形的面積，圓的周長為長，上底為寬，扇形的面積，圓的周長為弧長，另一腰那么為扇形的半徑．設(shè)上底為x，那么下底為，直角腰為，另一腰為整個面積式子為，解得x=±2，因為x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而這個幾何體的體積是一個圓錐加一個同底圓柱的體積，圓錐的高，下底減上底得圓錐的高為1，圓柱體積=Sh=h=π×12×2=2π，圓錐體積=π所以整個幾何體的體積為．應選D．點評：此題考查學生的空間想象能力，和邏輯思維能力，等量之間的轉(zhuǎn)換，是中檔題．21．考點：球的體積和外表積；球內(nèi)接多面體．2360998專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)數(shù)量積為零，得∠ABD=∠CBD=90°，故AC的中點O為外接球的球心，AC就是球的直徑．由面面垂直的性質(zhì)和勾股定理，算出AC2的值，結(jié)合球的外表積公式，可得外接球的外表積．解答：解：根據(jù)題意，可知折疊后的三棱錐如右圖所示．∵，∴∠ABD=∠CBD=90°，由此可得AC的中點O即為外接球的球心又∵二面角A﹣BD﹣C是直二面角，即平面ABD⊥平面BCD，且AB⊥BD∴AB⊥平面BCD，可得△ABC是以AC為斜邊的直角三角形∵∴Rt△ABC中，=從而三棱錐A﹣BCD的外接球的外表積S=4π?〔〕=π?AC2=故答案為：D點評：此題將平行四邊折疊，求折成三棱錐的外接球外表積，著重考查了面面垂直的性質(zhì)、球外表積公式和球內(nèi)接多面體的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．【高考沖刺】空間幾何體參考答案與試題解析一、專題：計算題；轉(zhuǎn)化思想．分析：棱長為的正四面體內(nèi)切一球，那么球O與此正四面體的四個面相切，即球心到四個面的距離都是半徑，由等體積法求出球的半徑，求出上面三棱錐的高，利用相似比求出上部空隙處放入一個小球，求出這球的最大半徑．解答：解：由題意，此時的球與正四面體相切，由于棱長為的正四面體，故四個面的面積都是=3又頂點A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G點到底面三個頂點的距離都是高的倍，又高為=3，故底面中心G到底面頂點的距離都是2由此知頂點A到底面BCD的距離是=2此正四面體的體積是×2×3=2，又此正四面體的體積是×r×3×4，故有r==．上面的三棱錐的高為，原正四面體的高為2，所以空隙處放入一個小球，那么這球的最大半徑為a，，∴a=．應選C．點評：此題考查球的體積和外表積，用等體積法求出球的半徑，熟練掌握正四面體的體積公式及球的外表積公式是正確解題的知識保證．相似比求解球的半徑是解題的關(guān)鍵．2．專題：計算題；分析法．分析：由題意知，假設(shè)設(shè)這三個正方體的棱長分別為a，b，c，〔a＜b＜c〕可得a，b，c滿足關(guān)系式a2+b2+c2=94．進而可得a，b，c的范圍，又由3c2≥a2+b2+c2=94，那么6≤c＜10，即c只能取9，8，7，6．逐個驗證即得a，b，c的值，進而得到這三個正方體的體積之和．解答：解：設(shè)這三個正方體的棱長分別為a，b，c，由題意知，6〔a2+b2+c2〕=564，即a2+b2+c2=94，不妨設(shè)1≤a≤b≤c＜10，從而3c2≥a2+b2+c2=94，即c2＞31．故6≤c＜10．c只能取9，8，7，6．①假設(shè)c=9，那么a2+b2=94﹣92=13，易知a=2，b=3，得一組解〔a，b，c〕=〔2，3，9〕；②假設(shè)c=8，那么a2+b2=94﹣64=30，顯然b≤5．但2b2≥30，b≥4，從而b=4或5．假設(shè)b=5，那么a2=5無解，假設(shè)b=4，那么a2=14無解．此時無解；③假設(shè)c=7，那么a2+b2=94﹣49=45，有唯一解a=3，b=6；⑤假設(shè)c=6，那么a2+b2=94﹣36=58，此時2b2≥a2+b2=58，b2≥29．故b≥6，但b≤c=6，故b=6，此時a2=58﹣36=22無解．綜上，共有兩組解或體積為cm3或cm3．故答案為：A．點評：本小題主要考查正方體的外表積、體積，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．3．專題：計算題；證明題；綜合題．分析：根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，得到A項不錯；根據(jù)點A到平面BEF的距離不變，以及三角形BEF面積不變，得到三棱錐A﹣BEF的體積為定值，得B項不錯；根據(jù)面面平行的性質(zhì)，得到C項不錯；根據(jù)異面直線所成角的定義，可得D項是錯的．解答：解：對于A，可得出AC⊥平面BB'D'D，而BE是平面BB'D'D內(nèi)的直線，因此AC⊥BE成立，故A項不錯；對于B，點A到平面BEF的距離也是點A到平面BB'D'D的距離，等于正方體面對角線的一半，而三角形BEF的邊，且EF到B點距離為1，所以其面積S=?1=為定值，故VA﹣BEF=?=，故B項不錯；對于C，因為平面A'B'C'D'∥平面ABCD，EF?平面A'B'C'D'，所以EF∥平面ABCD，故C不錯；對于D，當EF變化時，異面直線AE、BF所成的角顯然不是一個定值，故D項錯誤．應選D點評：此題以正方體為例，要求我們判斷直線與平面、直線與直線的位置關(guān)系，以及求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)和錐體體積公式等知識點，屬于中檔題．4．專題：常規(guī)題型；證明題．分析：根據(jù)空間兩條平行線的性質(zhì)，結(jié)合等角定理及其推論，可得①不正確；根據(jù)平面的根本性質(zhì)，得到②正確；根據(jù)四棱柱的分類，得到{長方體}?{正四棱柱}，③不正確；根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)和面面平行的判定定理，假設(shè)在④中加上“b?平面β〞這個前提，就是真命題，少了這一條④就不正確；根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，可以證明出⑤是真命題．由此得到正確答案．解答：解：對于①在空間中，假設(shè)OA∥O'A'，OB∥O'B'，那么∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°，故①不正確；對于②，因為直角梯形的上下底所在直線是兩條平行線，故直角梯形是平面圖形，所以②正確；對于③，長方體是底面為矩形的直四棱柱，不一定是正四棱柱，故{長方體}?{正四棱柱}，③不正確；對于④，a、b是兩條異面直線，假設(shè)a?平面α，a∥平面β，b?平面β，b∥平面α，那么α∥β．但題設(shè)中沒有“b?平面β〞這個前提，就不能得到平面α∥β，故④不正確；對于⑤，在四面體P﹣ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，設(shè)點A在面PBC內(nèi)的射影為H，連接AH、PH，那么∵AH⊥面PBC，BC?面PBC，∴BC⊥AH∵PA⊥BC，AH、PA是平面PAH內(nèi)的相交直線，∴BC⊥面PAH，結(jié)合PH?面PAH，可得PH⊥BC同樣的方法，可以證出CH⊥PB，從而得到△PBC的垂心，故⑤正確．綜上所述，正確的命題是②⑤，共2個應選B點評：此題結(jié)合空間中的幾個命題真假的判斷，考查了線面平行和線面垂直、面面平行等空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的知識點，屬于根底題．5．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：確定直觀圖的形狀，計算外接球的半徑，即可得到結(jié)論．解答：解：由三視圖可知，這是側(cè)面ACD⊥ABC，高的三棱錐，AC=2，OB=1，所以三棱錐的體積為，設(shè)外接球的圓心為0，半徑為x，那么，在直角三角形OEC中，OE2+CE2=OE2，即，整理得，解得半徑，所以外接球的外表積為，所以A，C，D都不正確，應選B．點評：此題考查三視圖，考查直觀圖，確定直觀圖的形狀，計算外接球的半徑是關(guān)鍵．6．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：建立空間直角坐標系，分別寫出相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標，再利用向量數(shù)量積運算的夾角公式計算兩直線方向向量的夾角余弦值，即可得到結(jié)論．解答：解：以D為原點，DA、DC、DD1為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的邊長為2那么C〔0，2，0〕，E〔2，0，1〕，F(xiàn)〔2，2，1〕，D1〔0，0，2〕∴=〔2，﹣2，1〕，=〔2，2，﹣1〕∴D1F與CE所成角的余弦值為||=||=應選A．點評：此題考查了空間異面直線所成的角的求法，考查向量數(shù)量積運算及夾角公式的運用，屬于中檔題．7．m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，以下4個命題中正確的個數(shù)為〔〕①假設(shè)m∥α，n?α，那么m∥n②假設(shè)α⊥β，m⊥α，n⊥β，那么m⊥n③假設(shè)m?α，n?β且m⊥n，那么α⊥β④假設(shè)m，n是異面直線，m?α，n?β，m∥β，那么n∥αA．1B．2C．3D．4考點：平面與平面垂直的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定．2361006分析：根據(jù)空間中直線與直線位置關(guān)系的定義，我們可以判斷①的對錯；根據(jù)面面垂直，線面垂直的性質(zhì)及線線垂直的定義，我們可以判斷②的對錯；根據(jù)面面垂直的判定方法我們能判斷③的正誤；根據(jù)線面平行的判定方法我們可以判斷④的真假，進而得到答案．解答：解：假設(shè)m∥α，n?α，那么m與n可能平行也可能異面，故①錯誤；假設(shè)α⊥β，m⊥α，那么m∥β或m?β，又由n⊥β，那么m⊥n，故②正確；假設(shè)m?α，n?β且m⊥n，那么α與β可能平行也可能相交，故③錯誤；假設(shè)m，n是異面直線，m?α，n?β，m∥β，那么n與α可能平行也可能相交，故④錯誤；應選A點評：此題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間線面關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)，建立良好的空間想像能力是解答此類問題的關(guān)鍵．8．專題：計算題．分析：球面上兩點之間最短的路徑是大圓〔圓心為球心〕的劣弧的弧長，因此最短的路徑分別是經(jīng)過的各段弧長的和，利用內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點恰好同在一個大圓上，一個動點從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動，經(jīng)過其余三點后返回，經(jīng)過的最短路程為：一個半圓一個圓即可解決．解答：解：由題意可知，球面上兩點之間最短的路徑是大圓〔圓心為球心〕的劣弧的弧長，內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點恰好同在一個大圓上，一個動點從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動，經(jīng)過其余三點后返回，例如動點從A到S，再到C，到B回到A，∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，那么經(jīng)過的最短路程為：一個半圓一個圓，即：=應選B．點評：此題考查球的內(nèi)接多面體，球面距離，考查空間想象能力，是中檔題．解答的關(guān)鍵是從整體上考慮球面距離的計算．9．專題：計算題；證明題．分析：先求球的半徑，確定小圓中ABC的特征，作出直線OA與截面ABC所成的角，然后解三角形求出直線OA與截面ABC所成的角，即可．解答：解：外表積為48π的球面，它的半徑是R，那么48π=4πR2，R=2，因為AB=2，BC=4，∠ABC=60°，所以∠BAC=90°，BC為小圓的直徑，那么平面OBC⊥平面ABC，D為小圓的圓心，所以O(shè)D⊥平面ABC，∠OAD就是直線OA與截面ABC所成的角，OD=，∴AD=2，cos∠OAD=，應選D．點評：此題考查球的有關(guān)計算問題，直線與平面所成的角，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．10．專題：轉(zhuǎn)化思想．分析：根據(jù)正三棱錐的體積為定值，可知P到三棱錐S﹣ABC的側(cè)面SAB、側(cè)面SBC、側(cè)面SAC的距離和為定值，又P到三棱錐S﹣ABC的側(cè)面SAB、側(cè)面SBC、側(cè)面SAC的距離依次成等差數(shù)列，故P到側(cè)面SBC的距離為定值，從而得解．解答：解：設(shè)點P到三個面的距離分別是d1，d2，d3，因為正三棱錐的體積為定值，所以d1+d2+d3為定值，因為d1，d2，d3成等差數(shù)列，所以d2為定值，所以點P的軌跡是平行BC的線段．應選A．點評：此題以等差數(shù)列為載體，考查正三棱錐中的軌跡問題，關(guān)鍵是分析得出P到側(cè)面SBC的距離為定值．11．專題：綜合題．分析：對于①，可以用線面垂直的判定定理及線面平行的性質(zhì)定理判斷；對于②，由線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理可以判斷；對于③，由線面垂直的性質(zhì)定理可以判斷；解答：解：①，由l∥β，可以知道過l的平面與β相交，設(shè)交線為m，那么l∥m，又l⊥α，所以m⊥α，m?β，故α⊥β，正確；②，由l∥β，α⊥β，那么l與α可以平行、相交垂直，故錯誤；③，l⊥α，α⊥β，那么l與β平行或在β內(nèi)，而條件是l表示不在α內(nèi)也不在β內(nèi)的直線，故只有l(wèi)∥β，正確．應選A．點評：此題考查線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，解答時要注意判定定理與性質(zhì)定理的應用．12．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，求出長方體的三度，轉(zhuǎn)化為對角線長，即可求三棱錐外接球的外表積．解答：解：三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，∵側(cè)棱AC、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面積分別為、、，∴AB?AC=，AD?AC=，AB?AD=∴AB=，AC=1，AD=∴球的直徑為：∴半徑為∴三棱錐外接球的外表積為=6π應選C．點評：此題考查三棱錐外接球的外表積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，兩者的外接球是同一個，以及長方體的對角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在．13．專題：綜合題．分析：將兩異面直線平移到空間一點O，使l′∥l，m′∥m，l'與m'確定一平面γ，根據(jù)面面平行的判定定理可知α∥γ，β∥γ，從而α∥β，反之成立，最后根據(jù)“假設(shè)p?q為真命題且q?p為真命題，那么命題p是命題q的充要條件〞進行判定即可．解答：解：存在異面直線l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β過空間一點O，作l′∥l，m′∥m兩異面直線平移到空間一點時，兩直線相交，l'與m'確定一平面γ∵l∥α，l∥β，m∥α，m∥β∴l(xiāng)'∥α，l'∥β，m'∥α，m'∥β∴α∥γ，β∥γ∴α∥β反之也成立∴“存在異面直線l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β〞是“α∥β〞的充要條件應選C點評：此題主要考查了平面與平面平行的判定，以及必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于中檔題．14．專題：計算題．分析：判斷幾何體是一個正四棱錐，四棱錐的底面是一個邊長為正方形，側(cè)視圖是一個斜邊長為的