專題06＋導(dǎo)數(shù)的幾何意義靈活應(yīng)用（理）

PAGE9專題06導(dǎo)數(shù)的幾何意義靈活應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．2．理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義．3．能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝CC為常數(shù)，y＝，y＝2，y＝3，y＝eq\f1,，y＝eq\r的導(dǎo)數(shù)．4．能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)的求導(dǎo)．【知識要點(diǎn)】1．平均變化率及瞬時(shí)變化率1函數(shù)y＝f從1到2的平均變化率用________表示，且eq\fΔy,Δ＝eq\ff（2）－f（1）,2－12函數(shù)y＝f在＝0處的瞬時(shí)變化率是：eq^\olim,\s\do4Δ→0eq\fΔy,Δ＝eq^\olim,\s\do4Δ→0eq\ff（0＋Δ）－f（0）,Δ2．導(dǎo)數(shù)的概念1函數(shù)y＝f在＝0處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y＝f在＝0處的瞬時(shí)變化率，記作f′0或y′|＝0，即f′0＝eq^\olim,\s\do4Δ→0eq\ff（0＋Δ）－f（0）,Δ2函數(shù)y＝f在＝0處的導(dǎo)數(shù)f′0是一個(gè)確定的數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，f′是的一個(gè)函數(shù)，稱f′為f的導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)，即f′＝eq^\olim,\s\do4Δ→0eq\ff（＋Δ）－f（）,Δ3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義幾何意義：函數(shù)y＝f在＝0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y＝f上_____________________的斜率，即＝_______；切線方程為______________________．物理意義：若物體位移隨時(shí)間變化的關(guān)系為s＝ft，則f′t0是物體運(yùn)動(dòng)在t＝t0時(shí)刻的___________4．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①C′＝________C為常數(shù);②′＝________；③2′＝________；④eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,′＝________；⑤eq\r′＝________．2初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式①n′＝________；②sin′＝__________；③cos′＝________；④e′＝________；⑤a′＝___________；⑥ln′＝________；⑦loga′＝__________．5．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1[f±g]′＝________________________；2[f·g]′＝_________________________；3eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1\ff（）,g（）′＝____________________________．6．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1對于兩個(gè)函數(shù)y＝fu和u＝g，如果通過變量u，y可以表示成的函數(shù)，那么稱這兩個(gè)函數(shù)函數(shù)y＝fu和u＝g的復(fù)合函數(shù)為y＝fg．2復(fù)合函數(shù)y＝fg的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝fu，u＝g的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為___________________，即y對的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對的導(dǎo)數(shù)的乘積．

1變化率例1【河南2022名校模擬】已知：函數(shù)，、為其圖像上任意兩點(diǎn)，則直線的斜率的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，而，易得，在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，故,故選B練習(xí)1．設(shè)在可導(dǎo)，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題得==4，故選A練習(xí)2．設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，，故，即，故選：A．2導(dǎo)數(shù)的定義例2．【山西2022聯(lián)考】設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且，求的值（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得到=,即可得到答案【詳解】根據(jù)極限的運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的定義得到：=故答案為：B【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)的定義，，，湊出分子是y的變化量，分母是的變化量即可練習(xí)1．設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵函數(shù)在處可導(dǎo)，∴，∴．選B．練習(xí)2．已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則A．B．C．D．【答案】B

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算3求傾斜角例3．【福建省莆田第六中學(xué)2022第一次模擬】將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（），得到曲線，若對于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，曲線都仍然是一個(gè)函數(shù)的圖象，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)其任意切線的傾斜角小于等于時(shí)，其圖象都依然是一個(gè)函數(shù)圖象，因?yàn)槭鞘堑臏p函數(shù)，且,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故在函數(shù)的圖象的切線中，處的切線傾斜角最大，其值為，由此可知，故選D練習(xí)1．設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在直線y=2上，則PQ的最小值為（）A．2B．1C．D．【答案】D【解析】在曲線上求一點(diǎn)，使得過這點(diǎn)的切線與直線平行，再用兩條平行線間的距離公式，可求得的最小值【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線和直線間的最短距離，它的主要思想方法是通過將直線平移到曲線上，使得平行直線和曲線相切，這個(gè)時(shí)候，兩條平行線間的距離，就是曲線上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)的距離的最小值在求切線的過程中，要把握住切點(diǎn)和斜率兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)屬于中檔題練習(xí)2．若函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)切線的斜率為，其傾斜角是θ，求出函數(shù)f（）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得＝f′（1），即tanθ，結(jié)合θ的范圍，分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)切線的斜率為，其傾斜角是θ，f（）ln﹣，則f′（）21，則有＝f′（1），則tanθ，又由0≤θ＜π，則θ，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析切線的方程，關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．練習(xí)3．曲線在處的切線的傾斜角為，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出曲線在處切線斜率，從而可得進(jìn)而得到【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，時(shí)，，即且為銳角，則故選A4曲線上某點(diǎn)處的斜率例4．【陜西省彬州市2022-2022學(xué)年上學(xué)期高2022屆】已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線為，則切線的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，求得，得到，得出切線為的斜率為，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解?！驹斀狻坑深}意，函數(shù)，則，所以，即在點(diǎn)處的切線為的斜率為，所以切線的方程為，即，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在某點(diǎn)處的切線方程，其中解答中正確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。練習(xí)1．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（）A．2B．C．D．-2【答案】A【解析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在＝2處的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值等于求得實(shí)數(shù)a的值．【詳解】由f（）＝，得，則．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及但點(diǎn)到直線的距離公式的綜合運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究和刻畫函數(shù)的單調(diào)性和極值等的重要工具,也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn)和高考命題的重要內(nèi)容和考點(diǎn)本題以所滿足等式條件為背景,考查的是函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的靈活運(yùn)用求解時(shí)先運(yùn)用求導(dǎo)法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,然后依據(jù)題設(shè)求出切線與直線平行時(shí),切點(diǎn)到