(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)練習(xí)02《充要條件與量詞》（解析版）

考點(diǎn)02充要條件與量詞【命題解讀】充要條件.高考對命題及其關(guān)系和充分條件、必要條件的考查，主要命題形式是選擇題.由于知識載體豐富，因此題目有一定綜合性，屬于中、低檔題．命題重點(diǎn)主要集中在以函數(shù)、方程、不等式、立體幾何線面關(guān)系、數(shù)列等為背景的充分條件和必要條件的判定．關(guān)于存在性命題與全稱命題，一般考查命題的否定【基礎(chǔ)知識回顧】1、充分條件與必要條件（1）充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p（2）從集合的角度：若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，請寫出集合A，B的其他關(guān)系對應(yīng)的條件p，q的關(guān)系．提示若AB，則p是q的充分不必要條件；若A?B，則p是q的必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件；若A＝B，則p是q的充要條件；若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．2、全稱量詞與全稱命題(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”?在邏輯中通常叫作全稱量詞．(2)全稱命題：含有全稱量詞的命題．(3)全稱命題的符號表示：形如“對M中的任意一個(gè)x，有p(x)成立”的命題，用符號簡記為?x∈M，p(x)．3、存在量詞與特稱命題(1)存在量詞：短語“存在一個(gè)”?“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作存在量詞．(2)特稱命題：含有存在量詞的命題．(3)特稱命題的符號表示：形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命題，用符號簡記為?x0∈M，p(x0)．1、命題“?x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0≤0 B．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＜0C．?x∈R，x2＋x≤0 D．?x∈R，x2＋x＜0【答案】B【解析】由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確．故選B.2、“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B.【解析】選B若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0顯然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2.3、命題“?x∈[0，1]，x2－1≥0”是________命題(選填“真”或“假”)．【答案】真【解析】取x＝1，則x2－1＝0，所以為真命題．4、（江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研）已知SKIPIF1<0,則“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0平行”的____條件．（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)）.【答案】充要【解析】當(dāng)兩直線平行時(shí)SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,但當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),直線重合,故SKIPIF1<0.所以為充要條件.5、(一題兩空)已知p：|x|≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分條件，則m的最大值為________；若p是q的必要條件，則m的最小值為________．【答案】14【解析】由|x|≤m(m>0)，得－m≤x≤m.若p是q的充分條件?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1,m≤4))?0<m≤1.則m的最大值為1.若p是q的必要條件?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≤－1,m≥4))?m≥4.則m的最小值為4.考向一、充要條件、必要條件的判斷例1、已知直線l，m，平面α，m?α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”的________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．【答案】必要不充分【解析】根據(jù)直線與平面垂直的定義：若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個(gè)平面垂直．現(xiàn)在是直線與平面內(nèi)給定的一條直線垂直，而不是任意一條，故由“l(fā)⊥m”推不出“l(fā)⊥α”，但是由定義知“l(fā)⊥α”可推出“l(fā)⊥m”，故填必要不充分．變式1、.設(shè)x∈R，則“1<x<2”是“|x－2|<1”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由|x－2|<1，得1<x<3，所以1<x<2?1<x<3；但1<x<31<x<2.所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要條件.變式2、設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】|a－3b|＝|3a＋b|?(a－3b)2＝(3a＋b)2?a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0?a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要條件.變式3、下列選項(xiàng)中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0；SKIPIF1<0：方程SKIPIF1<0的曲線是橢圓 B．SKIPIF1<0；SKIPIF1<0：對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0恒成立 C．設(shè)SKIPIF1<0是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，SKIPIF1<0：公比小于0；SKIPIF1<0：對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．已知空間向量SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0：向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0：．【解析】SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0的曲線是橢圓，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0的曲線是橢圓”的必要不充分條件；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0恒成立等價(jià)于SKIPIF1<0恒成立，等價(jià)于SKIPIF1<0；SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”是“對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0恒成立”必要不充分條件；SKIPIF1<0是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，滿足SKIPIF1<0，但此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不成立，即充分性不成立，反之若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，即必要性成立，則“SKIPIF1<0”是“對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的必要不充分條件．SKIPIF1<0：空間向量SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故“SKIPIF1<0”是“向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是SKIPIF1<0”的充分不必要條件．方法總結(jié)：充要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷.(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題，考向二充要條件等條件的應(yīng)用例2、設(shè)命題SKIPIF1<0；命題SKIPIF1<0．若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】：設(shè)A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},易知A={x|≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.由p是q的充分不必要條件，即AB，∴故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是［0，］.變式1、已知不等式SKIPIF1<0的解集為條件SKIPIF1<0，關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的解集為條件SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）若SKIPIF1<0的充分不必要條件是SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】條件由，可得，解得，記；條件由，可得，因?yàn)椋?，所以，記．?）若是的充分不必要條件，則，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）若的充分不必要條件是，則，可得，解得，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．變式2、已知p：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－10≤0))))))，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．(1)若m＝1，則p是q的什么條件？(2)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)閜：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－10≤0))))))＝{x|－2≤x≤10}，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}＝{x|0≤x≤2}，顯然{x|0≤x≤2}{x|－2≤x≤10}，所以p是q的必要不充分條件．(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m≥10，,1－m＝－2與1＋m＝10不同時(shí)相等.))解得m≥9，即m∈[9，＋∞)．方法總結(jié)：充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時(shí)需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．考向三含有量詞的命題例3、（1）寫出下列命題的否定，并判斷真假．（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0至少有一個(gè)二次函數(shù)沒有零點(diǎn)；（4）SKIPIF1<0存在一個(gè)角SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．（2）下列四個(gè)命題：①?x∈(0，＋∞)，SKIPIF1<0；②?x∈(0,1)，SKIPIF1<0；③?x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>SKIPIF1<0；④?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<SKIPIF1<0.其中真命題的序號為________．【解析】（1）(1)SKIPIF1<0是全稱命題．SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是真命題．(2)SKIPIF1<0是全稱命題．SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0時(shí)，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，所以SKIPIF1<0是真命題．(3)SKIPIF1<0是存在性命題．SKIPIF1<0：所有二次函數(shù)都有零點(diǎn)，如二次函數(shù)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0是真命題，所以SKIPIF1<0是假命題．(4)SKIPIF1<0是存在性命題．SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，設(shè)任意角SKIPIF1<0終邊與單位圓的交點(diǎn)為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0顯然有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是真命題．（2）②④對于①，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，總有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x成立，故①是假命題；對于②，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，有SKIPIF1<0成立，故②是真命題；對于③，當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時(shí)，SKIPIF1<0>1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，故③是假命題；對于④，?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1<SKIPIF1<0，故④是真命題變式1、設(shè)有一組圓Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四個(gè)命題：A．存在一條定直線與所有的圓均相切；B．存在一條定直線與所有的圓均相交；C．存在一條定直線與所有的圓均不相交；D．所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)．其中為真命題的是（）．【答案】：BD【解析】：圓Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4的圓心坐標(biāo)為(k－1,3k)，則圓心在直線3x－y＋3＝0上，由k＝1,2,3可作圖觀察出所有圓都與y軸相交，即(k－1)2＋(y－3k)2＝2k4關(guān)于y的方程有解；所有圓均不經(jīng)過原點(diǎn)，即關(guān)于k的方程(k－1)2＋9k2＝2k4，即2k4－10k2＋2k－1＝0，沒有正整數(shù)解，因此四個(gè)命題中BD正確．方法總結(jié)：1、判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判定存在性命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x，使p(x)成立．2、全稱(或存在性)命題的否定是將其全稱(或存在)量詞改為存在量詞(或全稱量詞)，并把結(jié)論否定．考向四全稱（存在）量詞命題的綜合應(yīng)用例4、已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是．【解析】：因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，所以SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，所以SKIPIF1<0．若命題成立，只要SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．變式1、若命題“?x∈R，x2－mx－m<0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】[－4,0]【解析】“?x∈R，x2－mx－m<0”是假命題，則“?x∈R，x2－mx－m≥0”是真命題．即Δ＝m2＋4m≤0， ∴－4≤m≤0變式2、若命題“?x0∈R，使得3xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋1<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】：[－eq\r(3)，eq\r(3)]【解析】命題“?x0∈R，使得3xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋1<0”是假命題，即“?x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命題，故Δ＝4a2－12≤0，解得－eq\r(3)≤a≤eq\r(3).變式3、若命題“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”為假命題，則其否定“對任意x∈R，ax2＋4x＋a>0”為真命題，當(dāng)a＝0,4x>0不恒成立，故不成立；當(dāng)a≠0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝16－4a2<0，))解得a>2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞)．方法總結(jié)：應(yīng)用含有量詞的命題求參數(shù)的策略：（1）對于全稱量詞命題SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）為真的問題實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求SKIPIF1<0的最大值（或最小值），即SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．（2）對于存在量詞命題SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）為真的問題實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求SKIPIF1<0的最小值（或最大值），即SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．1、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（）A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)有兩條相交直線都與平行是的充分條件；由面面平行的性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)有兩條相交直線都與平行是的必要條件.故α∥β的充要條件是α內(nèi)有兩條相交直線與β平行.故選B．2、(2018·北京卷)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】|a－3b|＝|3a＋b|?(a－3b)2＝(3a＋b)2?a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0?a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要條件.3、.(2018·浙江卷)已知平面α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件.4、（2020屆山東省泰安市高三上期末）“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】必要性：設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.充分性：取SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立.答案選A5、（江蘇省南通市通州區(qū)2019-2020學(xué)年高三第一次調(diào)研抽測）將函數(shù)SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位，得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象.則“SKIPIF1<0”是“函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)”的________條件，（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中選填一個(gè)）【答案】充分不必要【解析】由題意，將函數(shù)SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位，可得SKIPIF1<0的圖像，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF