二次函數(shù)在給定區(qū)間上的相關(guān)問(wèn)題

bm<nbm<n<-——2ab-——<m<n2a教師：李老師學(xué)生:年級(jí):—科目：數(shù)學(xué)時(shí)間：2012年月日內(nèi)容：二次函數(shù)問(wèn)題一、知識(shí)方法1、二次函數(shù)的三種表示方法：(1)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(2)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+m)2+n(3)兩根式y(tǒng)=a(x-x)(x-x)2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^0)有如下性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)，b4ac-b2；對(duì)稱軸b；(-1,)x=—-2a4a2a(2)若a>0,且△=b2-4acW0,那么f(x)三0,__b_時(shí)，4ac-b2；x=-2a"?mJ~^0~(3)若a>0,且f(x)三0,那么△★?；(4)若a>0,且存在x￡(-8,+8),使得f(x)W0,那么△三0;若a<0,有與性質(zhì)2、3、4類似的性質(zhì)03、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系。(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x,xO判別式A>0O對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a=0)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為(x,0),(x0)￡對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a=0)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x,x；22)一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x=xO判別式A=0O對(duì)應(yīng)的二次2函數(shù)y=ax2+bx+c(a=0)的圖象與x軸有唯一的交點(diǎn)為(x,0)O對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a=0)有兩個(gè)相同零點(diǎn)x=x；x'=x'=c=0'a>01(3)一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根o判別式A<00對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a=0)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)o對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a=0)沒(méi)有零點(diǎn).4、二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題。設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a>0),則二次函數(shù)在閉區(qū)間Im,n］上的最大、最小值有如下的分布情況：,bbJ]m<-——<n即-——eIm,nJ

2a2af(xf(x)=max{f(n)f(m)}maxf(x)=f(n)maxf(x)=f(m)minf(x)=f(m)maxf(x)=f(n)min對(duì)于開口向下的情況，討論類似.其實(shí)無(wú)論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論:

min⑵若-2a電maxm,n],則f(x)=min⑵若-2a電max二max{f(m)f(n)},f(x)二min{f(m)f(n)}min另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大；反過(guò)來(lái)，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí)，自變量的取值離開對(duì)稱軸軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小.5、二次函數(shù)的圖象與二次方程根的分布(一).一元二次方程根的基本分布一一零分布所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)

根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說(shuō)，這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)。且xWx。設(shè)一元二次方程ax2且xWx。(1)xi>0,x2>0(1)xi>0,x2>0O△=b2—4ac三0x+x=b>012ac1*/2=占〉0△=b2—4acN0a>0f(0)=c>0〔b<0或1△=b2—4acN0a<0f(0)=c<0〔b>0上述推論結(jié)合二次函數(shù)圖象不難得到。上述推論結(jié)合二次函數(shù)圖象不難得到。(2)x<0,x<0△=b(2)x<0,x<0△=b2—4ac三0x+x=—b<012ac1*/2=占〉0△=b2—4acN0a>0f(0)=c>0〔b>0或|△=b2—4acN0a<0f(0)=c<0〔b<0由二次函數(shù)圖象易知它的正確性。由二次函數(shù)圖象易知它的正確性。,、c，、(3)x<0<xO—<0Oaf(0)>0(4)①x=0,x>00c=0且°<0；②x<0,x=00c=0且P>0。i2ai2a（二）.一元二次方程根的非零分布—-k分布元二次方程設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）的兩實(shí)根為x,x,且xWx。k為常數(shù)。則元二次方程根的k分布（即x1、x2相對(duì)于k的位置）有以下若干結(jié)論。1x1Wxx1Wx2<k△=b2-4ac三0(1)k<x1Wx2Jaf(k)>0b2a>k△=b2-4ac三0af(k)>0b-—7；-<k2a特殊地①X]<0<x0（4）有且僅有一個(gè)根ac<0o②x<1<x0a(a+b+c)<0。(或x)<k0f(k)f(k)<0a<0a<0Jf(k)<0或〕f(k1)>0,2、f(p)>0v,1、f(p)<02a>0Jf(k1)>0k<x<kWp<x<p0f(k2)<012122f(p)<0v,1、f(p)>02(6)k1<x1Wx2<k2△=b2-4acN0a>0f(k)>01f(k)>02bkk<

1△=b2—4acN0a<0f(k)<01f(k)<02bl"—”2a<k2由于二次函數(shù)圖象與％軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為二次方程的根，所以我們通?？山柚魏瘮?shù)f（x）=ax2+bx+c（a中0）的圖象來(lái)討論二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)根分布情況。二、例題演練題型一、二次函數(shù)的最值問(wèn)題

歡迎下載例1、求f(%)=%2-2a%-1在區(qū)間［0,2］上的最大值和最小值。［分析］解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是判別函數(shù)的定義域各區(qū)間上的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題。(1)(2)解、f(%)=(%-a)2-1-a2，對(duì)稱軸為%-a.(1)(2)(1)當(dāng)a<0時(shí)，由圖(1)可知，f(%).=f(0)=-1，minf(%)=f(2)=3-4a.max(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，由圖(2)可知，f(%).=f(a)=-1-a2,mmf(%)=f(2)=3-4amax(3)當(dāng)1<a<2時(shí)，由圖(3)可知，f(%).=f(a)=-1-a2，minf(%)=f(0)=-1.max(4)(3)(4)(4)當(dāng)a>2時(shí)，由圖(4)可知，f(%).-f(2)=3-4a，minf(%)=f(0)=-1.max［評(píng)注］(1)利用單調(diào)性求最值或值域應(yīng)先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。(2)求解二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，應(yīng)判斷它的開口方向、對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，若含有字母應(yīng)注意分類討論，解題時(shí)最好結(jié)合圖象解答。例2、已知函數(shù)f(%)-a%2+(2a-1)%-3在區(qū)間［-3,2］上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值。^2分析：這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，若從求最值入手，首先應(yīng)搞清二次項(xiàng)系數(shù)分析：這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，若從求最值入手，首先應(yīng)搞清二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，如果a20,f(%)的最大值與二次函數(shù)系數(shù)a的最大值與二次函數(shù)系數(shù)a的正負(fù)有關(guān)，也與對(duì)稱軸%=U的位置有關(guān)，但f(x)的最大值只可能在02a端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得，解答時(shí)必須用討論法。解、a-0時(shí)，f(%)=-%一3，1-2a

2af(%)在［-1,2］上不能取得1-2a

2af(%)=a%2+(2a-1)%-3(a豐0)的對(duì)稱軸方程為%0⑴令f(-2)=1,解得a=-130，

學(xué)習(xí)必、備歡迎.下■載止匕時(shí)％=-"G［—3,2］，TOC\o"1-5"\h\z0202因?yàn)閍<0，f(%)最大，所以f(--)=1不合適。02(2)令f(2)=1，解得a=3,4止匕時(shí)％=-1g［-3,2］,032因?yàn)閍=3>0,%=-1g［-3,2］，且距右端點(diǎn)2較遠(yuǎn)，所以f⑵最大，合適。4032(3)令f(%)=1，得a=1(-3土2v2)，02驗(yàn)證后知只有a=L-3-2,；2)才合適。2綜上所述，a=3，或a=」(3+2<2).42［評(píng)注］這里函數(shù)f(%)的最大值一是與a的符號(hào)有關(guān)。另外也與對(duì)稱軸和區(qū)間的端-工,2的遠(yuǎn)近有2關(guān)，不分情況討論就無(wú)法確定題型二、一元二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題例3、(1)關(guān)于%的方程%2+2(m+3)%+2m+14=0有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)大于1,一個(gè)小于1,求m的取值范圍；(2)關(guān)于%的方程%2+2(m+3)%+2m+14=0有兩實(shí)根都在［0,4)內(nèi)，求m的取值范圍；⑶關(guān)于x的方程%2+2(m+3)%+2m+14=0有兩實(shí)根在1,31外，求m的取值范圍(4)關(guān)于%的方程m%2+2(m+3)%+2m+14=0有兩實(shí)根，且一個(gè)大于4,一個(gè)小于4,求m的取值范圍.解(1)令f(%)=%2+2(m+3)%+2m+14，：對(duì)應(yīng)拋物線開口向上，，方程有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)大于211,一個(gè)小于1等價(jià)于f(1)<0(思考：需要A>0嗎？)，即m<-.]f(0)之0f(4)之00<-2(m+3)<424(m+3)]f(0)之0f(4)之00<-2(m+3)<424(m+3)2-4(2m+14)>0‘2m+14>016+8(m+3)+2m+14>027='o-——<m<-5.—7<m<-35m<-5,m>1(3)令f(%)=%2+2(m+3)%+2m+14，原命題等價(jià)于學(xué)習(xí)必、備學(xué)習(xí)必、備歡迎.下載學(xué)習(xí)必、備學(xué)習(xí)必、備歡迎.下載f(1)<。日口[1+2(m+3)+2m+14<0,B21即<^得m<一.f(3)<019+6(m+3)+2m+14<04(4)令g(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14,依題得m<0,得-m<0,得-19<m<0,g⑷,013:g(4)<0求解二次方程根的分布問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)圖象，主要考慮三個(gè)方面的問(wèn)題(1)判別式(2)對(duì)稱軸(3)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值題型三、二次函數(shù)的綜合問(wèn)題例4、已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.(1)若a>b>c,且f(1)=0,證明f(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；(2)在(1)的條件下，是否存在m￡R,使得f(m)二一a成立時(shí)，f(m+3)為正數(shù)，若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，說(shuō)明理由；(3)若對(duì)x,xeR,且x<x,f(x)*f(x)，方程f(x)=-[f(x)+f(x)]有2個(gè)不等實(shí)根，121212212證明必有一個(gè)根屬于(x,x)12解：(1)f(1)=a+b+c=0a>b>c,.，.a>0c<0,「.A=b2-4ac>0,f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).f(1)=0,??.1是f(x)=0的一個(gè)根，由韋達(dá)定理知另一根為c,ac??a>0且？<0,「.一<0<1又a>b>c,b=-a-c,ac.一c一一c一一一一TOC\o"1-5"\h\z則a(m——)(m—1)=-a<0.「一<m<1/.m+3>—+3>-2+3=1aaa...f(x)在(1,+8)單調(diào)遞增，.「f(m+3)>f(1)=0,即存在這樣的m使f(m+3)>0(3)令g(x)=f(x)-1[f(x)+f(x)]，則g(x)是二次函數(shù).212f(x)+f(x)f(x)+f(x),1g(x)-g(x)=[f(x)r-L][f(x)r-l]=--[f(x)-f(x)]2<0121222412f(x)豐f(x),g(x)-g(x)<0,,g(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根，且方程g(x)=0的根必有一個(gè)屬于1212(x,x).12例5、(1)已知函數(shù)f(x)=ax2+a-2,若f(x)<0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)已知f(x)=-x2+4x,當(dāng)xe[-1,1]時(shí)，若f(x)>a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：(1)f解：(1)f(x)<0有解，即ax2+a-2<0有解oa(x2+1)<2有解oa<2一一2—有解oa<1I=2.x2+1max所以ae(-8,2).學(xué)習(xí)必、備學(xué)習(xí)必、備歡迎下載學(xué)習(xí)必、備歡迎.下載(2)當(dāng)％g[-1,1]時(shí)，f(%)>a恒成立o[f(%)]>a.又當(dāng)％g[-1,1]時(shí)，[f(%)]=f(—1)=—5，所以TOC\o"1-5"\h\zminminag(-8,-5).【評(píng)注】“有解”與“恒成立”是很容易搞混的兩個(gè)概念。一般地，對(duì)于“有解”與“恒成立”，有下列常用結(jié)論：(1)f(%)>a恒成立o[f(%)]>a；(2)f(%)<a恒成立o[f(%)]<a;(3)f(%)>aminmax有解o[f(%)]>a；(4)f(%)<a有解o[f(%)]<a.maxmin例6:(1)若函數(shù)y=.城4+3%+m?9%在區(qū)間(-8,2]上有意義，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若函數(shù)y=、：Z+3%+m?9%的定義域?yàn)?-8,2]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：(1)由題意知，當(dāng)%g(-8,2]時(shí)，恒有4+3%+m?9%>0，即恒有、3%+411、]m>—---=-[(-)%+4(-)2%].9%33又因?yàn)閒(%)=-[(-)%+4(-)2%]在(-8,2]上單調(diào)遞增，所以m>[f(%)]=f(2)=-13，所以m>-13.33max-，8181(2)由題意知，不等式4+3%+m?9%>0，即4(1)2%+(3)%+m>0的解是%<2，易解得，.1.-1+J1-16m(3)%>8，則%<logT+"-16m=2，解方程log-1+"1-16m=2，得m=-竺.18188133[評(píng)注]“有意義”與“定義域”是兩個(gè)不同的概念。一般地，在某個(gè)條件下函數(shù)“有意義”，是指在該條件下，使得函數(shù)有意義的某個(gè)式子總成立；而若某個(gè)條件為函數(shù)的“定義域”，則是指使得函數(shù)有意義的自變量的范圍就是該條件。小結(jié)：二次函數(shù)是高中知識(shí)與大學(xué)知識(shí)的主要紐帶，函數(shù)綜合題往往以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)的值域、奇偶性、單調(diào)性及二次方程實(shí)根分布問(wèn)題、二次不等式的解集問(wèn)題等，考查形式靈活多樣，考查思想涉及到數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等，高考在此設(shè)計(jì)的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本要求，在學(xué)習(xí)中一方面要加強(qiáng)訓(xùn)練，一方面要提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.習(xí)題.設(shè)b>0，二次函數(shù)y=以2+bx+b-1的圖象為下列之一:則〃則〃的值為（）A.1B.-1.方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2,則m的取值范圍是()A.(-5,-4]B.(-8,-4)C.(-8,-2)D.(—^,-5)■(-5,-4].函數(shù)y=x2+bx+c(xg[0,m))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(A)4、若關(guān)于x的方程2?2-x-1=0在（0,1）內(nèi)恰有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。學(xué)習(xí)必、備歡迎.下載5、已知關(guān)于X的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0，探究a為何值時(shí)(1)方程有一根(2)方程有一正一負(fù)兩根(3)兩根都大于1(4)一根大于1一根小于16、已知二次函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)x=