定積分練習題0001

一、選擇題.設連續(xù)函數(shù)f（X）>0,則當a<b時，定積分/f（x）d%的符號（）a一定是正的一定是負的C.當0<a<b時是正的，當a<b<0時是負的D.以上結論都不對解析： 由/f（x）dx的幾何意義及f（x）>0,可知/f（x）dx表示x=a,x=b,y=0與aay=f（（x）圍成的曲邊梯形的面積.???/fx）dx>0.a答案■A：.若a=J2x2dx,b=J2x3dx,c=J2sinxdx，則a,b'c的大小關系是（）0 0 0A.a<c<bB.a<b<c C.c<b<aD.c<a<b1 8,1解析：a=3x3g=3，b_4x4g=4，c--cosx10=1-cos2，=c<a<b.答案：D.求曲線y=x2與y=x所圍成圖形的面積，其中正確的是（）S=C1S=C1(x2—x)dx

0C.S=S=C1(x—x2)dx

0D.S=J1(y—Jy)dy［答案］B［解析］兩函數(shù)圖象的交點坐標是（0,0）,（1,1），故積分上限是1,下限是0，由于在[0,1]上,x2x2,故函數(shù)y-x2與y-x所圍成圖形的面積S-J1(x-x2)dx.J0.i1(sinx+1)dx的值為()-1A.2 B,0C.2+2cos1D.2-2cos1【答案】A【解析】【解析】=(-cos1+1)-[-cos(-1)-1]=2.由曲線y=x2+2x與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為（A.B.A.B.C.D..W3),二.W3),二7890(m)..??Vs=Z|02=263(m/s).【答案】A【解析】在直角坐標系內，畫出曲線和直線圍成的封閉圖形，如圖所示，由x2+2x=x,解得兩個交點坐標為(-1,0)和(0,0)，利用微積分的幾何含義可得封閉圖形的面積為二、填空題.已知/(x)=f：(2t-4)dt，則當x引-1,3]時，/(x)的最小值為；解析：f(x)=f：(2t-4)d-4t)10=x2-4x=(x-2)2-4(-1Wx???當x=2時，fx*『一4.答案：一4.一物體以v(t)=12-3t+8(m/s)的速度運動，在前30s內的平均速度為13解析：由定積分的物理意義有：s-J30(t2-3t+8)dt=(313-212+81)1000答案：263m/s三、解答題.求下列定積分:—x2+-xdx；(2)』0(cosx+ex)dx；-n21卜口d21卜口dx=「xdx-Px2dx+f21dxJ4 00x2 x3 37I=q4—y,L x⑶f9\；x(1+yx)dx；(4),L x⑶f9\；x(1+yx)dx；(4)fncos23dx.(2)J0(cosx+ex)dx=J0cosxdx+J0exdx=sinx-n -n -n+x)dx=(3)f9g(1+\天)dx二—九Ixl+lx210=1」一兀en2 32 3.1 149=3X92-3X42+2X92-2X42"1454(4)fncos23dx-1+cosx1 1 _n'n 2 dx-2x10n+^sinx10n=2.09.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象如圖:直線y=0在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面27積為不，求/(%). f解：由/(0)=0得。=0,f(x)=3x2+2ax+b.由/，(0)=0得匕=0,「於)二冷+ax2=x2(x+a),由/°小-/(%)］改=苧得。=-3.10.已知人工)為二次函數(shù)，且八一1)=2,/(0)=0,I，x)dx=—2.(1)求“￥)的確軍析式；⑵求人九)在［—1,1］上的最大值與最小值.解析：(1)設/(x)=ax2+bx+c(qWO),則/(x)=2ax+b.由/(-1)=2,/(0)=0,得『馬+。=2，即〃=0 b=0Vl[ax2-\-(2—a)]dxo1 | l[ax2-\-(2—a)]dxo1 | N=/￥3+?2-[—2—^a—??ci--6??c~~4.從而“x)=6x2—4.(2),.?危)=6%2—4, [—1,1],所以當x=0時，?min=-4;當尸±1時，?ma=2.B卷：5+2+2一、選擇題.已知“X)為偶函數(shù)且J =L則J6 等于( )0 2-6B.4A.2

B.4TOC\o"1-5"\h\zC.1 D.-1\o"CurrentDocument"解析：二了⑴為偶函數(shù)，「」6/(x)dxJ。f(x)dx=-,???卜f(x)dx=2i6f(x)dx=l.0 -6 2 -6 0生室■c1=1 L.（改編題）已知/（幻=2一工，則廣/（%）公=（ ）-1A.3 B.4C.3.5D.4.5【答案】C【解析】f(x)=2-\x\=<2f(x)dxJ。f(x)=2-\x\=<2f(x)dxJ。(2+x)d?x+f2-1-1Y2 jr2(2-x)tZx=(2x+—)lo+(2x-—)k2-i2o3=-+2=3.5.29.已知函數(shù)尸起與尸質（心>0）的圖象所圍成的陰影部分的面積為亍則k等于()B.1D.4A.2B.1D.4C.3答案：Cy二舉解析：由消去）得必一左了=0,[y=kx所以X=0或X二左，則陰影部分的面積為§(kX—X2)d%=§(kX—X2)d%=1I9即彳上3一5左3=彳，解得左=3.Iio.一物體在力尸（x）=\一°“ （單位：N）的作用下沿與力尸相同的方[3x十4?x>2?TOC\o"1-5"\h\z向，從x=0處運動到x=4（單位：m）處，則力尸（x）作的功為（ ）A.44 B.46C.48 D.50解析：W=f4F（x）dx=f210d%+f4（3x+4）dx=10x^+1x2+4x，=46.0 0 2 kz7答案：B.函數(shù)fQ）滿足f6）=0，其導函數(shù)尸Q）的圖象如下圖，則fQ）的圖象與x軸所圍成的封閉圖形1 4 8A. - B. - C.2D.一3 3 3【答案】B【解析】由導函數(shù)f,Q）的圖像可知，函數(shù)fQ）為二次函數(shù)，且對稱軸為x=-1,開口方向向上，設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),Qf(0)=0,二.c=0.fr(x)=2ax+b,因過點(-1,0)與(0,2)，則有2ax(—1)+b=0,2ax0+b=2,，a=1,b=2.「.f(x)=x2+2x，則fQ)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為0 1 1, 4S=1(—x2—2x)dx=(—3x3—x2)|0=—x(-2)3+(-2)2=—.-2二、填空題lgx,x>0.(改編題)設f(x)=< ,°, 八,若f(f(1))=1,則a為 。x+1a3t2dt,x<0I0【答案】1【解析】Qf(1)=lg1=0,「.f(f(1))=f(0)=0+1a3t2dt=13|a=a3=1,/.a=1.0 07.已知函數(shù)f(x尸一x3+ax2+bx(a,b￡R)的圖象如圖所示，它與x軸在原點處相, _ 、一一，1 切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為p，則a的值為JL乙 .［答案］T［解析］f, (x) =- 3x2+2ax+b，..f‘(0)=0，「.b-0,^f(x)=- x3 + ax2，令f(x)=0,得x=0或x-a(a<0).

S陰影11=-J0(-x§+ax2)dx=12S陰影11=-J0(-x§+ax2)dx=12a4-12a，.二a=-1.三.解答題2 , ，.(改編題)畫出曲線y=—與直線y=x-1及x=4所圍成的封閉圖形，并且其面積.x解析:如圖所示，封閉圖形的區(qū)域為ABC.2由y=-與y=x-1聯(lián)立可得c(2,1),x, 2 1由y 與x-4聯(lián)立可得B(4,),x2由y=x-1與x-4聯(lián)立可得A(4,3).所求封閉圖形ABC的面積：=8-4-2+2-2ln4+2ln2=4-2ln2.在曲線y=x2(x，0)上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為112.⑴求切點A的坐標.⑵求過切點A的切線方程.解析：設切點A(x0,y0),由y/=2x，過點A的切線方程為y-y0=2x0(x-x0)，即y=2x0x-x02.令y=0,得x=^^.即c(3,0).設由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形面積為S,1S曲邊△AOBj"0x2dx=—x3Ix0=§x03，0 3 01-2114x03F「?x0=1，從而切點A(1,1)，切線方程為y=2x-1.C卷：2+2+1

一、選擇題1.如圖所示，在一個邊長為1的正方形AOBC內，曲線y=X2和曲線y=vX圍成一個葉形圖(陰影部分)，向正方形AOBC內隨機投一點(該點落在正方形AOBC內任何一點是等可能的)，則所投的點落在葉形圖內部的概率是A.A.—B.2【答案】D【解析】.=f1(\''X-X2)dx=(―X2--X3)|1=-,S0 3 3 0【解析】.=f1(\''X-X2)dx=(―X2--X3)|1=-,S0 3 3 03正方形OBCAS=1,/.P= 陰——S正方形OBCA2.設函數(shù)f(x)=x-［x］，其中［x］表示不超過x的最大整數(shù)，如［—1.2］=—2,［1.2］x=1,［1］=1.又函數(shù)g(x)=3，f(X)在區(qū)間(0,2)上零點的個數(shù)記為m,f(x)與g(x)的圖象交點的個數(shù)記為n，則/ng(x)dx的值是()A.B.C.D.［答案］A［解析］由題意可得，當0<X<1時，[x]=0,f(x)=x，當1Wx<2時，[X]=1,f(x)，所以當X￡(0,2)時，函數(shù)f(X)有一個零點，由函數(shù)f(X)與g(X)的圖象可知兩個函數(shù)有4個交點，所以m=1,n=4,則cng(x)及二614一52.二.填空題.f2(V4-x2-x)dx=0【答案】冗-2【解析】f2(V4-x2)dx等于圓x2+y2=40在第一象限的面積幾f2(<4一X2-x)dx=f2(V4-x2)dx-f2xdx=k-.如圖，設點P從原點沿曲線y=x2向點A(2,4)移動，記直線。尸、曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為5,S),若品=S2,則點尸的坐標為1.4 i乙解析：設直線直線x=2所圍成的面積分別記為5,S),若品=S2,則點尸的坐標為1.4 i乙解析：設直線OP的方程為y=kxlP點的坐標為。，j),解得/左12—2x3~3-2k— 一小x2，2息24,4 4解得k=%,即直線op的方程為>=5%,所以點尸的坐標為年,2 6416A合案：/yj三.解答題16\~9J5.如圖所示