2022版?zhèn)鋺?zhàn)老高考一輪復習理科數(shù)學課后限時集訓35 等比數(shù)列及其前n項和 作業(yè)

等比數(shù)列及其前n項和建議用時：45分鐘一、選擇題1．等比數(shù)列x，3x＋3，6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．24A[由x，3x＋3，6x＋6成等比數(shù)列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比數(shù)列的前三項為－3，－6，－12.故第四項為－24，選A.]2．(2019·日照一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝eq\f(5,2)，且a2＋a4＝eq\f(5,4)，則eq\f(Sn,an)＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2nD[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q2）＝\f(5,2),a1q（1＋q2）＝\f(5,4)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2,q＝\f(1,2)))，∴eq\f(Sn,an)＝eq\f(\f(a1（1－qn）,1－q),a1qn－1)＝eq\f(\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2)),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up8(n－1))＝2n－1.故選D.]3．(2019·湖南湘東五校聯(lián)考)已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項之和S3＝21，則公比q的值是()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)C[當q＝1時，a3＝7，S3＝21，符合題意；當q≠1時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝7，,\f(a1（1－q3）,1－q)＝21，))得q＝－eq\f(1,2).綜上，q的值是1或－eq\f(1,2)，故選C.]4．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)B[當n＝1時，a1＝S1＝3＋r，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝eq\f(8,3)·9n－1，所以3＋r＝eq\f(8,3)，即r＝－eq\f(1,3)，故選B.]5．(2019·鄂爾多斯模擬)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”．其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”．則該人第五天走的路程為()A．6里 B．12里C．24里 D．48里B[記每天走的路程里數(shù)為{an}，由題意知{an}是公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，由S6＝378，得S6＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×eq\f(1,24)＝12(里)．故選B.]二、填空題6．已知1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a2,b2)的值________．eq\f(5,2)[由題意得a1＋a2＝5，beq\o\al(2,2)＝4，又b2與第一項的符號相同，所以b2＝2.所以eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).]7．在14與eq\f(7,8)之間插入n個數(shù)組成等比數(shù)列，若各項之和為eq\f(77,8)，則此數(shù)列的項數(shù)為________．5[設(shè)此等比數(shù)列為{am}，公比為q，則該數(shù)列共有n＋2項．∵14≠eq\f(7,8)，∴q≠1.由等比數(shù)列的前n項和公式，得eq\f(77,8)＝eq\f(14－\f(7,8)q,1－q)，解得q＝－eq\f(1,2)，∴an＋2＝14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up8(n＋2－1)＝eq\f(7,8)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up8(n＋1)＝eq\f(1,16)，解得n＝3，∴該數(shù)列共有5項．]8．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n＝________．30[由題意知公比大于0，由等比數(shù)列性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列．設(shè)S2n＝x，則2，x－2，14－x成等比數(shù)列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.]三、解答題9．(2019·全國卷Ⅱ)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和．[解](1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通項公式為an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項和為1＋3＋…＋2n－1＝n2.10．(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項公式．[解](1)由條件可得an＋1＝eq\f(2（n＋1）,n)an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.1．已知{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，則數(shù)列{bn}的前n項和為()A．3n＋1 B．3n－1C.eq\f(3n2＋n,2) D.eq\f(3n2－n,2)C[∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1又數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴數(shù)列{an}的公比為q＝3，∴bn＋1－bn＝eq\f(an＋1,an)＝3，∴數(shù)列{bn}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，∴數(shù)列{bn}的前n項和為Sn＝2n＋eq\f(n（n－1）,2)×3＝eq\f(3n2＋n,2).故選C.]2．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23，19，37，82}中，則q等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)C[{bn}有連續(xù)四項在{－53，－23，19，37，82}中且bn＝an＋1，即an＝bn－1，則{an}有連續(xù)四項在{－54，－24，18，36，81}中．∵{an}是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負數(shù)項，∴q＜0，且負數(shù)項為相隔兩項，又∵|q|＞1，∴等比數(shù)列各項的絕對值遞增．按絕對值由小到大的順序排列上述數(shù)值18，－24，36，－54，81，相鄰兩項相除eq\f(－24,18)＝－eq\f(4,3)，eq\f(36,－24)＝－eq\f(3,2)，－eq\f(54,36)＝－eq\f(3,2)，eq\f(81,－54)＝－eq\f(3,2)，則可得－24，36，－54，81是{an}中連續(xù)的四項．∴q＝－eq\f(3,2).]3．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________64[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝eq\f(1,2).又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.故a1a2…an＝aeq\o\al(n,1)q1＋2＋…＋(n－1)＝23n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(（n－1）n,2))＝23n－eq\f(n2,2)＋eq\f(n,2)＝2－eq\f(n2,2)＋eq\f(7,2)n.記t＝－eq\f(n2,2)＋eq\f(7n,2)＝－eq\f(1,2)(n2－7n)，結(jié)合n∈N*可知n＝3或4時，t有最大值6.又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64.4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．[解](1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，則an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列．∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n.1.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個樹形圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1023個正方形，且其最大的正方形的邊長為eq\f(\r(2),2)，則其最小正方形的邊長為________．eq\f(1,32)[由題意，得正方形的邊長構(gòu)成以eq\f(\r(2),2)為首項，以eq\f(\r(2),2)為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1023個正方形，則有1＋2＋…＋2n－1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的邊長為eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up8(9)＝eq\f(1,32).]2．在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴展”．將數(shù)列1，2進行“擴展”，第一次得到數(shù)列1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；….設(shè)第n次“擴展”后得到的數(shù)列為1，x1，x2，…，xt，2，并記an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項公式．[解]an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]＝log2(12·xeq\