2022版?zhèn)鋺?zhàn)老高考一輪復(fù)習(xí)理科文科數(shù)學(xué)第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 教案

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例[最新考綱]1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題．1．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]．2．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))eq\O([常用結(jié)論])1．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量． ()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量． ()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0. ()(4)(a·b)c＝a(b·c)． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材改編1．已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|為()A．12 B．6C．3eq\r(3) D．3B[a·b＝|a||b|cos135°＝－12eq\r(2)，所以|b|＝eq\f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))＝6.]2．已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為．－2[由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]3．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6eq\r(3)，則a與b的夾角θ＝.eq\f(5π,6)[cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－6\r(3),2×6)＝－eq\f(\r(3),2).又因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝eq\f(5π,6).]4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝.8[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解．(1)(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝1，則eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝()A．－3B．－2C．2D．3(2)[一題多解](2019·天津高考)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq\r(3)，AD＝5，∠A＝30°，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且AE＝BE，則eq\o(BD,\s\up12(→))·eq\o(AE,\s\up12(→))＝.(1)C(2)－1[(1)∵eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝(1，t－3)，∴|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝eq\r(12＋t－32)＝1，∴t＝3，∴eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝(2,3)·(1,0)＝2.(2)法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，在△EAB中，AB＝2eq\r(3)，∴EA＝EB＝2.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．則A(0,0)，D(5,0)，E(1，eq\r(3))，B(3，eq\r(3))，∴eq\o(BD,\s\up12(→))＝(2，－eq\r(3))，eq\o(AE,\s\up12(→))＝(1，eq\r(3))，∴eq\o(BD,\s\up12(→))·eq\o(AE,\s\up12(→))＝(2，－eq\r(3))·(1，eq\r(3))＝－1.法二：同法一，求出EB＝EA＝2，以eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))為一組基底，則eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(2,5)eq\o(AD,\s\up12(→))，∴eq\o(BD,\s\up12(→))·eq\o(AE,\s\up12(→))＝(eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up12(→))－\f(2,5)\o(AD,\s\up12(→))))＝eq\o(AD,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))2＋eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\f(2,5)eq\o(AD,\s\up12(→))2＝eq\f(7,5)×5×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)－12－eq\f(2,5)×25＝－1.][逆向問(wèn)題]已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABD＝30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若eq\o(AE,\s\up12(→))·eq\o(BF,\s\up12(→))＝－9，則λ的值為()A．2B．3C．4D．5B[依題意得eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(BA,\s\up12(→))，因此eq\o(AE,\s\up12(→))·eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BC,\s\up12(→))－\o(BA,\s\up12(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up12(→))＋\f(1,λ)\o(BA,\s\up12(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))2－eq\f(1,λ)eq\o(BA,\s\up12(→))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2λ)－1))eq\o(BC,\s\up12(→))·eq\o(BA,\s\up12(→))，于是有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,λ)))×62＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2λ)－1))×62×cos60°＝－9，由此解得λ＝3，故選B.]解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算常有兩種思路：一是定義法，二是坐標(biāo)法，定義法可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算，但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)；坐標(biāo)法要建立合適的坐標(biāo)系．1.(2019·昆明模擬)在?ABCD中，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝8，|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝6，N為DC的中點(diǎn)，eq\o(BM,\s\up12(→))＝2eq\o(MC,\s\up12(→))，則eq\o(AM,\s\up12(→))·eq\o(NM,\s\up12(→))＝.24[法一：(定義法)eq\o(AM,\s\up12(→))·eq\o(NM,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BM,\s\up12(→)))·(eq\o(NC,\s\up12(→))＋eq\o(CM,\s\up12(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up12(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up12(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up12(→))－\f(1,3)\o(AD,\s\up12(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up12(→))2＝eq\f(1,2)×82－eq\f(2,9)×62＝24.法二：(特例圖形)：若?ABCD為矩形，建立如圖所示坐標(biāo)系，則N(4,6)，M(8,4)．所以eq\o(AM,\s\up12(→))＝(8,4)，eq\o(NM,\s\up12(→))＝(4，－2)所以eq\o(AM,\s\up12(→))·eq\o(NM,\s\up12(→))＝(8,4)·(4，－2)＝32－8＝24.]2．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝eq\f(π,2)，D是AC的中點(diǎn)，E在BC上，且AE⊥BD，則eq\o(AE,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝()A．16B．12C．8 D．－4A[建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．設(shè)E(0，b)，因?yàn)锳E⊥BD，所以eq\o(AE,\s\up12(→))·eq\o(BD,\s\up12(→))＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，所以b＝eq\f(8,3)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,3)))，eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(8,3)))，所以eq\o(AE,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝16，故選A.]考點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量的模求向量模的方法利用數(shù)量積求模是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問(wèn)題的處理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)；(2)|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).(1)[一題多解](2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，則|a－b|＝()A.eq\r(2)B．2C．5eq\r(2) D．50(2)已知平面向量a，b的夾角為eq\f(π,6)，且|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝2a＋2b，eq\o(AC,\s\up12(→))＝2a－6b，D為BC中點(diǎn)，則|eq\o(AD,\s\up12(→))|等于()A．2 B．4C．6 D．8(3)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|eq\o(PA,\s\up12(→))＋3eq\o(PB,\s\up12(→))|的最小值為．(1)A(2)A(3)5[(1)法一：∵a＝(2,3)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－1,1)，∴|a－b|＝eq\r(－12＋12)＝eq\r(2)，故選A.法二：∵a＝(2,3)，b＝(3,2)，∴|a|2＝13，|b|2＝13，a·b＝12，則|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(13－2×12＋13)＝eq\r(2).故選A.(2)因?yàn)閑q\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|eq\o(AD,\s\up12(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2×2×\r(3)×cos\f(π,6)＋4))＝4，則|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝2.(3)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2,0)，設(shè)P(0，y)，C(0，b)，則B(1，b)，則eq\o(PA,\s\up12(→))＋3eq\o(PB,\s\up12(→))＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|eq\o(PA,\s\up12(→))＋3eq\o(PB,\s\up12(→))|＝eq\r(25＋3b－4y2)(0≤y≤b)．當(dāng)y＝eq\f(3,4)b時(shí)，|eq\o(PA,\s\up12(→))＋3eq\o(PB,\s\up12(→))|min＝5.]在求解與向量的模有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)涉及“平方”技巧，注意對(duì)結(jié)論(a±b)2＝|a|2＋|b|2±2a·b，(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)的靈活運(yùn)用．另外，向量作為工具性的知識(shí)，具備代數(shù)和幾何兩種特征，求解此類問(wèn)題時(shí)可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，從而加快解題速度．平面向量的夾角求向量夾角問(wèn)題的方法(1)定義法：當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)坐標(biāo)法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．(3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解．(1)(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)(2)(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq\r(5)b，則cos〈a，c〉＝.(1)B(2)eq\f(2,3)[(1)法一：因?yàn)?a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因?yàn)閨a|＝2|b|，所以2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3)，故選B.法二：如圖，令eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝a－b，因?yàn)?a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，即〈a，b〉＝eq\f(π,3).故選B.(2)法一：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，∴a·c＝a·(2a－eq\r(5)b)＝2a2－eq\r(5)a·b＝2，|c|＝|2a－eq\r(5)b|＝eq\r(2a－\r(5)b2)＝eq\r(4a2＋5b2－4\r(5)a·b)＝3.∴cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(2,3).法二：不妨設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，則c＝2(1,0)－eq\r(5)(0,1)＝(2，－eq\r(5))，∴cos〈a，c〉＝eq\f(2,1×3)＝eq\f(2,3).][逆向問(wèn)題]若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3))[因?yàn)?a－3b與c的夾角為鈍角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，所以4k－6－6＜0，所以k＜3.若2a－3b與c反向共線，則eq\f(2k－3,2)＝－6，解得k＝－eq\f(9,2)，此時(shí)夾角不是鈍角，綜上所述，k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3)).](1)研究向量的夾角應(yīng)注意“共起點(diǎn)”；兩個(gè)非零共線向量的夾角可能是0°或180°；求角時(shí)，注意向量夾角的取值范圍是[0°，180°]；若題目給出向量的坐標(biāo)表示，可直接利用公式cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))求解．(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為鈍角．如本例的[逆向問(wèn)題]．兩向量垂直問(wèn)題a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.已知向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))，且eq\o(AP,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為．eq\f(7,12)[因?yàn)閑q\o(AP,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→))，所以eq\o(AP,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝0.又eq\o(AP,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))，所以(λeq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))·(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝0，即(λ－1)eq\o(AC,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))－λeq\o(AB,\s\up12(→))2＋eq\o(AC,\s\up12(→))2＝0，所以(λ－1)|eq\o(AC,\s\up12(→))||eq\o(AB,\s\up12(→))|cos120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－9λ＋4＝0.解得λ＝eq\f(7,12).]1.利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．1.(2019·南寧模擬)已知平面向量a，b的夾角為eq\f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝eq\f(1,2)，則a＋2b與b的夾角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)A[因?yàn)閨a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×eq\f(1,2)×coseq\f(π,3)＝3，所以|a＋2b|＝eq\r(3).又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1×eq\f(1,2)×coseq\f(π,3)＋2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以cos〈a＋2b，b〉＝eq\f(a＋2b·b,|a＋2b||b|)＝eq\f(\f(3,4),\r(3)×\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，所以a＋2b與b的夾角為eq\f(π,6).故選A.]2．(2019·青島模擬)已知向量|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up12(→))＝meq\o(OA,\s\up12(→))＋neq\o(OB,\s\up12(→))，若eq\o(OA,\s\up12(→))與eq\o(OB,\s\up12(→))的夾角為60°，且eq\o(OC,\s\up12(→))⊥eq\o(AB,\s\up12(→))，則實(shí)數(shù)eq\f(m,n)的值為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C．6 D．4A[因?yàn)橄蛄縷eq\o(OA,\s\up12(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up12(→))＝meq\o(OA,\s\up12(→))＋neq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OA,\s\up12(→))與eq\o(OB,\s\up12(→))夾角為60°，所以eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＝3×2×cos60°＝3，所以eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(OC,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))·(meq\o(OA,\s\up12(→))＋neq\o(OB,\s\up12(→)))＝(m－n)eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))－m|eq\o(OA,\s\up12(→))|2＋n|eq\o(OB,\s\up12(→))|2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq\f(m,n)＝eq\f(1,6)，故選A.]3．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，則|a＋2b|＝.4eq\r(2)[因?yàn)閨a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，所以(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋9＋2a·b＝9，所以a·b＝－2，所以|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(|a|2＋4a·b＋4|b|2)＝eq\r(4－8＋36)＝4eq\r(2).]考點(diǎn)3平面向量的應(yīng)用平面向量是有“數(shù)”與“形”的雙重身份，溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，所以平面向量的應(yīng)用非常廣泛，主要體現(xiàn)在平面向量與平面幾何、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積、模、夾角等問(wèn)題，進(jìn)而利用向量方法求解．(1)在△ABC中，已知向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,2)，|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝2，eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝－4，則△ABC的面積為()A．4 B．5C．2 D．3(2)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up12(→))·(eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→)))的最小值是()A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1(1)C(2)B[(1)∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,2)，∴|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝2eq\r(2)，∴eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝|eq\o(AB,\s\up12(→))||eq\o(AC,\s\up12(→))|cosA＝2eq\r(2)×2cosA＝－4，∴cosA＝－eq\f(\r(2),2)，又A∈(0，π)，∴sinA＝eq\f(\r(2),2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up12(→))||eq\o(AC,\s\up12(→))|sinA＝2，故選C.(2)建立坐標(biāo)系如圖所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，eq\r(3))，B(－1,0)，C(1,0)．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(PA,\s\up12(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up12(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up12(→))＝(1－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up12(→))·(eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－eq\r(3)y)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2－\f(3,4)))≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(3,2).當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，eq\o(PA,\s\up12(→))·(eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→)))取得最小值，最小值為－eq\f(3,2).故選B.]用向量法解決平面(解析)幾何問(wèn)題的兩種方法(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知，?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、