高中數(shù)學必修四高中數(shù)學必修4公開課教案3.1.3-二倍角的正弦、余弦、正切公式教案課時訓練練習教案

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式整體設計教學分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎上，進一步研究具有“二倍角”關系的正弦、余弦、正切公式的，它既是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又為以后求三角函數(shù)值、化簡、證明提供了非常有用的理論工具、通過對二倍角的推導知道，二倍角的內(nèi)涵是：揭示具有倍數(shù)關系的兩個三角函數(shù)的運算規(guī)律、通過推導還讓學生加深理解了高中數(shù)學由一般到特殊的化歸思想、因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學生運算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.本節(jié)課通過教師提出問題、設置情境及對和角公式中α、β關系的特殊情形α=β時的簡化，讓學生在探究中既感到自然、易于接受，還可清晰知道和角的三角函數(shù)與倍角公式的聯(lián)系，同時也讓學生學會怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律及體會由一般到特殊的化歸思想.這一切教師要引導學生自己去做,因為，《數(shù)學課程標準》提出：“要讓學生在參與特定的數(shù)學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗”.在實際教學過程中不要過多地補充一些高技巧、高難度的練習，更不要再補充一些較為復雜的積化和差或和差化積的恒等變換，否則就違背了新課標在這一章的編寫意圖和新課改精神.三維目標1.通過讓學生探索、發(fā)現(xiàn)并推導二倍角公式,了解它們之間、以及它們與和角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過強化題目的訓練,加深對二倍角公式的理解，培養(yǎng)運算能力及邏輯推理能力,從而提高解決問題的能力.2.通過二倍角的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明.體會化歸這一基本數(shù)學思想在發(fā)現(xiàn)中和求值、化簡、恒等證明中所起的作用.使學生進一步掌握聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學生分析問題、解決問題的能力.3.通過本節(jié)學習，引導學生領悟?qū)ふ覕?shù)學規(guī)律的方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，以及善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的科學精神.重點難點教學重點：二倍角公式推導及其應用.教學難點：如何靈活應用和、差、倍角公式進行三角式化簡、求值、證明恒等式.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.(復習導入)請學生回憶上兩節(jié)共同探討的和角公式、差角公式，并回憶這組公式的來龍去脈，然后讓學生默寫這六個公式.教師引導學生：和角公式與差角公式是可以互相化歸的.當兩角相等時,兩角之和便為此角的二倍,那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢?今天,我們進一步探討一下二倍角的問題，請同學們思考一下，應解決哪些問題呢？由此展開新課.思路2.(問題導入)出示問題，讓學生計算，若sinα=,α∈(,π),求sin2α，cos2α的值.學生會很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展開新課，并由此展開聯(lián)想推出其他公式.推進新課新知探究提出問題①還記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎？(請學生默寫出來，并由一名學生到黑板默寫)②你寫的這三個公式中角α、β會有特殊關系α=β嗎？此時公式變成什么形式？③在得到的C2α公式中，還有其他表示形式嗎？④細心觀察二倍角公式結構，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含義嗎？思考過公式成立的條件嗎？⑥讓學生填空：老師隨機給出等號一邊括號內(nèi)的角，學生回答等號另一邊括號內(nèi)的角，稍后兩人為一組，做填數(shù)游戲：sin()=2sin()cos()，cos()=cos2()-sin2().⑦思考過公式的逆用嗎？想一想C2α還有哪些變形？⑧請思考以下問題：sin2α=2sinα嗎？cos2α=2cosα嗎？tan2α=2tanα？活動：問題①,學生默寫完后，教師打出課件，然后引導學生觀察正弦、余弦的和角公式，提醒學生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？并鼓勵學生大膽試一試.如果學生想到α,β會有相等這個特殊情況，教師就此進入下一個問題，如果學生沒想到這種特殊情況，教師適當點撥進入問題②，然后找一名學生到黑板進行簡化，其他學生在自己的座位上簡化、教師再與學生一起集體訂正黑板的書寫，最后學生都不難得出以下式子，鼓勵學生嘗試一下，對得出的結論給出解釋.這個過程教師要舍得花時間，充分地讓學生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意義.同時開拓學生的思維空間，為學生將來遇到的3α或3β等角的探究附設類比聯(lián)想的源泉.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα（S2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos2α=cos2α-sin2α(C2α);tan(α+β)=這時教師適時地向?qū)W生指出，我們把這三個公式分別叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指導學生閱讀教科書，確切明了二倍角的含義，以后的“倍角”專指“二倍角”、教師適時提出問題③，點撥學生結合sin2α+cos2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式.這時教師點出，這些公式都叫做倍角公式（用多媒體演示）.倍角公式給出了α的三角函數(shù)與2α的三角函數(shù)之間的關系.問題④,教師指導學生，這組公式用途很廣，并與學生一起觀察公式的特征與記憶，首先公式左邊角是右邊角的2倍；左邊是2α的三角函數(shù)的一次式，右邊是α的三角函數(shù)的二次式，即左到右→升冪縮角，右到左→降冪擴角、二倍角的正弦是單項式，余弦是多項式，正切是分式.問題⑤,因為還沒有應用，對公式中的含義學生可能還理解不到位，教師要引導學生觀察思考并初步感性認識到：(Ⅰ)這里的“倍角”專指“二倍角”,遇到“三倍角”等名詞時,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通過二倍角公式,可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)；(Ⅲ)二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況；(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角α沒有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠kπ+和α≠kπ+(k∈Z)時才成立，這一條件限制要引起學生的注意.但是當α=kπ+,k∈Z時,雖然tanα不存在,此時不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用誘導公式.問題⑥,填空是為了讓學生明了二倍角的相對性，即二倍角公式不僅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,是的二倍,3α是的二倍,是的二倍，-α是-的二倍等,所有這些都可以應用二倍角公式.例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等.問題⑦,本組公式的靈活運用還在于它的逆用以及它的變形用，這點教師更要提醒學生引起足夠的注意.如:sin3αcos3α=sin6α，4sincos=2(2sincos)=2sin,=tan80°，cos22α-sin22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan2α)等等.問題⑧,一般情況下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,則2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此時α=kπ(k∈Z).若cos2α=2cosα,則2cos2α-2cosα-1=0,即cosα=(cosα=舍去).若tan2α=2tanα,則=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k∈Z).解答：①—⑧（略）應用示例思路1例1已知sin2α=,<α<,求sin4α,cos4α,tan4α的值.活動：教師引導學生分析題目中角的關系，觀察所給條件與結論的結構，注意二倍角公式的選用，領悟“倍角”是相對的這一換元思想.讓學生體會“倍”的深刻含義，它是描述兩個數(shù)量之間關系的.本題中的已知條件給出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考慮用倍角公式.本例是直接應用二倍角公式解題，目的是為了讓學生初步熟悉二倍角的應用，理解二倍角的相對性，教師大膽放手，可讓學生自己獨立探究完成.解:由<α<,得<2α<π.又∵sin2α=,∴cos2α==.于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2××()=;cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×()2=;tan4α==(-)×=.點評：學生由問題中條件與結論的結構不難想象出解法，但要提醒學生注意,在解題時注意優(yōu)化問題的解答過程，使問題的解答簡捷、巧妙、規(guī)范，并達到熟練掌握的程度.本節(jié)公式的基本應用是高考的熱點.變式訓練1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式=點評：本題在兩角和與差的學習中已經(jīng)解決過，現(xiàn)用二倍角公式給出另外的解法，讓學生體會它們之間的聯(lián)系，體會數(shù)學變化的魅力.2.(2007年高考海南卷,9)若,則cosα+sinα的值為……()A.B.C.D.答案:C3.(2007年高考重慶卷,6)下列各式中,值為的是()A.2sin15°-cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°答案:B例2證明=tanθ.活動：先讓學生思考一會，鼓勵學生充分發(fā)揮聰明才智，戰(zhàn)勝它，并力爭一題多解.教師可點撥學生想一想，到現(xiàn)在為止，所學的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復雜一端化向簡單一端；兩邊化簡，中間碰頭；化切為弦；還可以利用分析綜合法解決，有時幾種方法會同時使用等.對找不到思考方向的學生，教師點出：可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時引導，前面學習同角三角函數(shù)的基本關系時曾用到“1”的代換，對“1”的妙用大家深有體會，這里可否在“1”上做做文章？待學生探究解決方法后，可找?guī)讉€學生到黑板書寫解答過程，以便對照點評及給學生以啟發(fā).點評時對能夠善于運用所學的新知識解決問題的學生給予贊揚；對暫時找不到思路的學生給予點撥、鼓勵.強調(diào)“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出現(xiàn)，在證明過程中就會起到至關重要的作用，在今后的證題中，萬萬不要忽視它.證明:方法一:左====tanθ=右.所以,原式成立.方法二:左===tanθ=右.方法三:左=====tanθ=右.點評：以上幾種方法大致遵循以下規(guī)律：首先從復雜端化向簡單端；第二，化倍角為單角，這是我們今天剛剛學習的；第三，證題中注意對數(shù)字的處理，尤其“1”的代換的妙用，請同學們在探究中仔細體會這點.在這道題中通常用的幾種方法都用到了，不論用哪一種方法，都要思路清晰，書寫規(guī)范才是.思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活動：本例是一道靈活應用二倍角公式的經(jīng)典例題，有一定難度，但也是訓練學生思維能力的一道好題.本題需要公式的逆用，逆用公式的先決條件是認識公式的本質(zhì)，要善于把表象的東西拿開，正確捕捉公式的本質(zhì)屬性，以便合理運用公式.教學中教師可讓學生充分進行討論探究，不要輕易告訴學生解法，可適時點撥學生需要做怎樣的變化，又需怎樣應用二倍角公式.并點撥學生結合誘導公式思考.學生經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)，如果用誘導公式把10°，30°，50°，70°正弦的積化為20°,40°,60°,80°余弦的積,其中60°是特殊角,很容易發(fā)現(xiàn)40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考慮逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°==點評：二倍角公式是中學數(shù)學中的重要知識點之一，又是解答許多數(shù)學問題的重要模型和工具，具有靈活多變，技巧性強的特點，要注意在訓練中細心體會其變化規(guī)律.例2在△ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.活動：這是本節(jié)課本上最后一個例題，結合三角形，具有一定的綜合性,同時也是和與差公式的應用問題.教師可引導學生注意在三角形的背景下研究問題,會帶來一些隱含的條件,如A+B+C=π,0<A<π,0<B<π,0<C<π,就是其中的一個隱含條件.可先讓學生討論探究，教師適時點撥.學生探究解法時教師進一步啟發(fā)學生思考由條件到結果的函數(shù)及角的聯(lián)系.由于對2A+2B與A,B之間關系的看法不同會產(chǎn)生不同的解題思路,所以學生會產(chǎn)生不同的解法，不過它們都是對倍角公式、和角公式的聯(lián)合運用，本質(zhì)上沒有區(qū)別.不論學生的解答正確與否，教師都不要直接干預.在學生自己嘗試解決問題后,教師可與學生一起比較各種不同的解法，并引導學生進行解題方法的歸納總結.基礎較好的班級還可以把求tan(2A+2B)的值改為求tan2C的值.解：方法一:在△ABC中,由cosA=,0<A<π,得sinA=所以tanA==×=,tan2A=又tanB=2,所以tan2B=于是tan(2A+2B)=方法二:在△ABC中,由cosA=,0<A<π,得sinA=所以tanA=×=.又tanB=2,所以tan(A+B)=于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]=點評：以上兩種方法都是對倍角公式、和角公式的聯(lián)合運用,本質(zhì)上沒有區(qū)別,其目的是為了鼓勵學生用不同的思路去思考,以拓展學生的視野.變式訓練化簡：解：原式＝==cot2α.知能訓練(2007年高考四川卷,17)已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,(1)求tan2α的值;(2)求β.解:(1)由cosα=,0<α<,得sinα==∴tanα===4.于是tan2α=(2)由0<α<β<,得0<α-β<.又∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=由β=α-(α-β),得cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+=.∴β=.點評:本題主要考查三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號,已知三角函數(shù)值求角以及計算能力.作業(yè)課本習題3.1A組15、16、17.課題小結1.先由學生回顧本節(jié)課都學到了什么？有哪些收獲？對前面學過的兩角和公式有什么新的認識？對三角函數(shù)式子的變化有什么新的認識？怎樣用二倍角公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明.2.教師畫龍點睛：本節(jié)課要理解并掌握二倍角公式及其推導，明白從一般到特殊的思想，并要正確熟練地運用二倍角公式解題.在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關系，一個題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問題的途徑，以達到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟，領悟變換思路，強化數(shù)學思想方法之目的.設計感想1.新課改的核心理念是：以學生發(fā)展為本.本節(jié)課的設計流程從回顧→探索→應用，充分體現(xiàn)了“學生主體、主動探索、培養(yǎng)能力”的新課改理念，體現(xiàn)“活動、開放、綜合”的創(chuàng)新教學模式.本節(jié)在學生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在這個活動過程中，由一般化歸為特殊的基本數(shù)學思想方法就深深的留在了學生記憶中.本節(jié)課的教學設計流程還是比較流暢的.2.縱觀本教案的設計，學生發(fā)現(xiàn)二倍角后就是應用，至于如何訓練二倍角公式正用，逆用，變形用倒成了次要的了.而學生從探究活動過程中學會了怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，又發(fā)現(xiàn)了怎樣逆用公式及活用公式，那才是深層的，那才是我們中學數(shù)學教育的最終目的.3.教學矛盾的主要方面是學生的學，學是中心，會學是目的，根據(jù)高中三角函數(shù)的推理特點，本節(jié)主要是教給學生“回顧公式、探索特殊情形、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、推導公式、學習應用”的探索創(chuàng)新式學習方法.這樣做增加了學生溫故知新的空間，增強了學生的參與意識，教給了學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導、獲取新知的途徑，讓學生真正嘗試到探索的喜悅，真正成為教學的主體.學生會體會到數(shù)學的美，產(chǎn)生一種成功感，從而提高了學習數(shù)學的興趣.下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道。”

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應該把水龍頭關上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關就主動關上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關會怎樣做呢？

齊：主動關好。

小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談談好嗎？

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學談談好嗎？

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務先走了，同學們再見！

水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結束。

6.活動效果：

此次活動使學生明白了節(jié)約用水的道理，浪費水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標兵

活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來。”

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學