2.2導(dǎo)數(shù)基本公式與求導(dǎo)法則

3232323222))x)3232323222))x)2)21dy1§2導(dǎo)的本式求法一函的、、、的導(dǎo)則定1如函數(shù)ux及vx)點(diǎn)x具導(dǎo)么們的和、差、積、除分母為零的點(diǎn))在點(diǎn)x具導(dǎo)且（1和差法則[ux(x)]（2積法則[u(x)]特別地如果v為數(shù))有)（3商法則

ux)v(x

u()(xv2()

例1解x例2

f(x

4cosff

)2

解

f

)

f

2

例3xy解)(sinx

(sin

(cosx)

cos例4x解

x(sinxxxx)cos2xcos1cosxcos2即x)例5解y

1(1)xx)cosx

cos2x

xtan即

)tan用類似方法可得余切函數(shù)余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公))cotx二反數(shù)求法定2如果函數(shù)xy在區(qū)間I內(nèi)調(diào)、可導(dǎo)且f它反函數(shù)y

()在對(duì)區(qū)間Ix)}也可導(dǎo)且y[f

)]fdy

上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說(shuō)函的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒例6．求函數(shù)arcsinx的導(dǎo)數(shù)

21adydyu3dydu2x2x2x高等數(shù)學(xué)教案21adydyu3dydu2x2x2x解xy

2

]為直接函數(shù)yx是它的反函數(shù)x在區(qū)間(

2

)內(nèi)單調(diào)、可(因此反數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)應(yīng)區(qū)間I類似地(arccosx)

)12

111(siny)cosy121例7．求函數(shù)arctanx的數(shù)解xy

)為接函arctan是的反函數(shù)y在間

2

)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(tan)

y因此反數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)區(qū)間I(t

11(ts12類似地(arccotx)2例求y的數(shù)a解：設(shè)xa為直接函數(shù)y是的函數(shù)在間Ia可導(dǎo)a因此反數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)應(yīng)區(qū)間I)(ay)

1x到目前為止基初等函數(shù)的數(shù)我們都求出來(lái)了么基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntanx、e、的導(dǎo)數(shù)怎樣求？三復(fù)函的導(dǎo)則定3如x在點(diǎn)導(dǎo)數(shù))在點(diǎn)x可復(fù)函數(shù)g(x在可其數(shù)為dydx

dx例9x

dydx

解：函數(shù)yx

可看作是由y復(fù)而成此dxdx

例12dx解函數(shù)是y復(fù)而成122因此

dydy2(1)x)2xdxdu(12)2(12)212對(duì)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練不再寫(xiě)出中間變例．

dydx

(lnsinx))3x)](13[lncos(x)]ex)))(lnsinx))3x)](13[lncos(x)]ex)))xxx1ln22xnnnnnnnn解

dy1dxsin

高等數(shù)學(xué)教案xx例12y1x

dydx

解

dydx

)

23

3

(1

)

2

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情)dydududvdxdxdv例13e

)

dydx

解

dy1dxcos(x)

)]

1cos(

)

x

)]

)

tan(

)例14

1x

dydx

解

dysinsinsin1dxxxx2例設(shè)冪數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(x)解因?yàn)閤)以(x

)

lnx

)

ln

lnx

四、初函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常用與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公C)x)(3)(sin)(4)(cos)

x(arcsin

2

(5)(tanx)

x)

(7)(sec)xx))ax)xln例16nxx