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3232323222))x)3232323222))x)2)21dy1§2導(dǎo)的本式求法一函的、、、的導(dǎo)則定1如函數(shù)ux及vx)點(diǎn)x具導(dǎo)么們的和、差、積、除分母為零的點(diǎn))在點(diǎn)x具導(dǎo)且(1和差法則[ux(x)](2積法則[u(x)]特別地如果v為數(shù))有)(3商法則
ux)v(x
u()(xv2()
例1解x例2
f(x
4cosff
)2
解
f
)
f
2
例3xy解)(sinx
(sin
(cosx)
cos例4x解
x(sinxxxx)cos2xcos1cosxcos2即x)例5解y
1(1)xx)cosx
cos2x
xtan即
)tan用類似方法可得余切函數(shù)余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公))cotx二反數(shù)求法定2如果函數(shù)xy在區(qū)間I內(nèi)調(diào)、可導(dǎo)且f它反函數(shù)y
()在對(duì)區(qū)間Ix)}也可導(dǎo)且y[f
)]fdy
上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說(shuō)函的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒例6.求函數(shù)arcsinx的導(dǎo)數(shù)
21adydyu3dydu2x2x2x高等數(shù)學(xué)教案21adydyu3dydu2x2x2x解xy
2
]為直接函數(shù)yx是它的反函數(shù)x在區(qū)間(
2
)內(nèi)單調(diào)、可(因此反數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)應(yīng)區(qū)間I類似地(arccosx)
)12
111(siny)cosy121例7.求函數(shù)arctanx的數(shù)解xy
)為接函arctan是的反函數(shù)y在間
2
)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(tan)
y因此反數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)區(qū)間I(t
11(ts12類似地(arccotx)2例求y的數(shù)a解:設(shè)xa為直接函數(shù)y是的函數(shù)在間Ia可導(dǎo)a因此反數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)應(yīng)區(qū)間I)(ay)
1x到目前為止基初等函數(shù)的數(shù)我們都求出來(lái)了么基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢?如函數(shù)lntanx、e、的導(dǎo)數(shù)怎樣求?三復(fù)函的導(dǎo)則定3如x在點(diǎn)導(dǎo)數(shù))在點(diǎn)x可復(fù)函數(shù)g(x在可其數(shù)為dydx
dx例9x
dydx
解:函數(shù)yx
可看作是由y復(fù)而成此dxdx
例12dx解函數(shù)是y復(fù)而成122因此
dydy2(1)x)2xdxdu(12)2(12)212對(duì)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練不再寫(xiě)出中間變例.
dydx
(lnsinx))3x)](13[lncos(x)]ex)))(lnsinx))3x)](13[lncos(x)]ex)))xxx1ln22xnnnnnnnn解
dy1dxsin
高等數(shù)學(xué)教案xx例12y1x
dydx
解
dydx
)
23
3
(1
)
2
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情)dydududvdxdxdv例13e
)
dydx
解
dy1dxcos(x)
)]
1cos(
)
x
)]
)
tan(
)例14
1x
dydx
解
dysinsinsin1dxxxx2例設(shè)冪數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(x)解因?yàn)閤)以(x
)
lnx
)
ln
lnx
四、初函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常用與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公C)x)(3)(sin)(4)(cos)
x(arcsin
2
(5)(tanx)
x)
(7)(sec)xx))ax)xln例16nxx
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