計(jì)算方法課后答案：第八章習(xí)題答案修改稿

PAGE第八章習(xí)題答案1.用Euler格式計(jì)算初值問題的解函數(shù)在時(shí)的近似值（取步長保留到小數(shù)點(diǎn)后4位）。解：將代人Euler格式，注意到則有：據(jù)可得計(jì)算結(jié)果如下即2.證明隱式Euler格式是一階方法；而Euler兩步格式是二階方法，并給出其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。證明：對于隱式Euler格式，若假定則有（1）依Taylor公式有代人式（1）右端，則有另一方面，故隱式Euler格式的局部截?cái)嗾`差為可見隱式Euler格式是一階方法。證明：對于Euler兩步格式：，考察局部截?cái)嗾`差，仍設(shè)則有注意到于是而因此有即Euler兩步格式是二階方法。且其主項(xiàng)系數(shù)是2。注：關(guān)于精度分析也可采用代數(shù)精度的概念來討論：定義：稱某個(gè)差分格式具有階精度，如果它的近似關(guān)系式對于次數(shù)的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立，而對于次式不能準(zhǔn)確成立。譬如，考察Euler格式，其對應(yīng)的近似關(guān)系式為檢驗(yàn)它所具有的代數(shù)精度，當(dāng)時(shí)，左端＝右端＝1；當(dāng)時(shí)，左端＝右端＝而當(dāng)時(shí)，左端＝右端＝，所以Euler格式僅有一階精度。3.證明梯形公式是二階方法，并給出其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。證明：將梯形公式寫成：假定則在處的Taylor展式為于是。另一方面，依Taylor公式因此有所以梯形公式是二階方法，且其主項(xiàng)系數(shù)為。注：也可用代數(shù)精度來檢驗(yàn)差分格式的精度與梯形公式對應(yīng)的近似關(guān)系式為（#）為簡化處理手續(xù)，可引進(jìn)變換，而不妨令節(jié)點(diǎn)，步長，從而將近似關(guān)系式化簡。這時(shí)，梯形格式的近似關(guān)系式（#）簡化為易知它對均能準(zhǔn)確成立，而當(dāng)時(shí)左端＝1，右端＝，因而梯形格式具有二階精度。4.已知初值問題有精確解試導(dǎo)出近似解的Euler格式，并證明用改進(jìn)的Euler格式能準(zhǔn)確地求出這一初值問題的解。將此題作如下改動：已知初值問題的精確解證明：用Euler格式以為步長所求得的近似解的整體截?cái)嗾`差為解：（原題的解）Euler格式為將代人得由得，于是就是所求的Euler格式。如果用改進(jìn)的Euler格式求這一初值問題，則可得到準(zhǔn)確解。其中，由條件可得，而精確解為，由此可知所以用改進(jìn)的Euler格式能準(zhǔn)確求出這一初值問題的解。改動后的解：解：Euler格式為將代人得由得，于是所以整體誤差為5.用梯形格式求解初值問題取計(jì)算，要求小數(shù)點(diǎn)后保留5位數(shù)字。解：，梯形公式為整理得顯格式為，由可得6.用改進(jìn)的Euler格式計(jì)算積分在時(shí)的近似值（保留到小數(shù)點(diǎn)后6位）。解：此積分問題可轉(zhuǎn)化為微分問題，即將上式兩端對求導(dǎo)，得，并且取步長。然后利用改進(jìn)的Euler格式代人，有當(dāng)時(shí)可計(jì)算得，7.用梯形格式求解初值問題證明其近似解為，并證明當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解證明：將代人梯形格式得經(jīng)整理得從而因，故證明：即當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解8.取用四階經(jīng)典Runge-Kutta格式求解下列初值問題：解：利用四階經(jīng)典Runge-Kutta格式：得此問題的四階經(jīng)典Runge-Kutta格式為（）：計(jì)算結(jié)果如下表所示：00111.21.221.44110.21.2428001.4428001.6870801.7115081.9851021.24280620.41.5836361.9836362.2820002.3118362.6460031.58364930.62.0442132.6442133.0086343.0450763.4532282.04423840.82.6510423.4510423.8961463.9406574.4391732.65108251.03.4365033.436564解：現(xiàn)取步長利用四階經(jīng)典Runge-Kutta格式來計(jì)算，則分別為化簡為計(jì)算結(jié)果如下表所示：0013.00003.54553.69423.3471110.21.69424.23554.88715.03795.78941.728020.42.69005.76446.53296.68667.55122.744030.64.01527.52848.41428.57059.54884.096040.85.71689.527910.530910.689311.78205.832051.07.84188.00009.分別用二階Adams顯式和隱式格式解下列初值問題：取計(jì)算并與準(zhǔn)確解相比較。解：二階Adams顯式格式為，將代人得，二階Adams隱式格式（即梯形格式）為，將代人得，計(jì)算結(jié)果如下表所示：二階Adams顯式二階Adams隱式精確解0000010.20.1810.181818182040.32670.3305785130.32968995430.60.446790.4522915110.45118836440.80.5454230.5518748720.55067103651.00.62647510.6333521680.63212055910.證明解的下列計(jì)算格式是二階的，并求出局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。解：設(shè)則有將右端項(xiàng)在處Taylor展開：代人中得到在處的Taylor展開式為在處Taylor展開有則其局部截?cái)嗾`差因此，上述計(jì)算格式是二階的，局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。其主項(xiàng)系數(shù)為。11.用Taylor展開法證明，存在某個(gè)常數(shù)使下列