(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件第6章§6.2《等差數(shù)列》(含解析)

第六章考試要求1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.落實主干知識課時精練探究核心題型LUOSHIZHUGANZHISHI落實主干知識1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第

項起，每一項與它的前一項的差都等于

，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母

表示，定義表達(dá)式為_______________________

.(2)等差中項若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝

.2同一個常數(shù)dan－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝

.(2)前n項和公式：Sn＝

或Sn＝

.3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋

(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則

.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為

的等差數(shù)列.a1＋(n－1)d(n－m)dak＋al＝am＋anmd(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，

為等差數(shù)列.常用結(jié)論1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).這里公差d＝2A.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)(2)若一個數(shù)列每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(4)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(

)√√×√√1.已知等差數(shù)列{an}中，a2＝3，前5項和S5＝10，則數(shù)列{an}的公差為設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S5＝5a3＝10，∴a3＝a2＋d＝2，又∵a2＝3，∴d＝－1.2.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a5＝_____.903.已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a3＝2，且S6＝30，則S9＝______.126TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)(多選)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4＝0，a5＝5，則下列選項正確的是A.a2＋a3＝0

B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4)

D.d＝－2√題型一等差數(shù)列基本量的運算√√∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正確；a5＝a1＋4d＝5，

①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，

②∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正確，D錯誤；(2)(2022·內(nèi)蒙古模擬)已知等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，S4＝24，S9＝99，則a7等于A.13 B.14 C.15 D.16√1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3＝5，S4＝24，則a9等于A.－5 B.－7

C.－9 D.－11教師備選∵a3＝5，S4＝24，∴a1＋2d＝5,4a1＋6d＝24，解得a1＝9，d＝－2，∴an＝11－2n，∴a9＝11－2×9＝－7.√∵a1＋a10＝a9，∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，即a1＝－d，思維升華(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”).(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a3＋a6＝24，S6＝48，則下列正確的是A.a1＝－2 B.a1＝2

C.d＝4

D.d＝－4√√(2)(2020·全國Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝______.25設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因為a1＝－2，所以d＝1.例2

(2021·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列

是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.題型二等差數(shù)列的判定與證明①③?②.已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，①②?③.②③?①.所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是關(guān)于n的一次函數(shù)，且a1＝d2滿足上式，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.教師備選(2022·煙臺模擬)已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，記bn＝log2(an＋1).(1)判斷{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；{bn}是等差數(shù)列，理由如下：b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，當(dāng)n≥2時，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)∴{bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的通項公式.由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝

＝2n，∴an＝2n－1.思維升華判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù).(2)等差中項法：對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1.(3)通項公式法：對任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q(p，q為常數(shù)).(4)前n項和公式法：對任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).跟蹤訓(xùn)練2

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；由題意可得a2－2a1＝4，則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.命題點1等差數(shù)列項的性質(zhì)例3

(1)已知數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，則a3＋a4等于A.6 B.7

C.8

D.9√題型三等差數(shù)列的性質(zhì)因為2an＝an－1＋an＋1，所以{an}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＋a4＝3＋4＝7.(2)(2022·寧波模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，則S9等于A.225 B.250

C.270 D.300√等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30，命題點2

等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)例4

(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40等于A.110 B.150

C.210 D.280√因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列.故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因為(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.1.若等差數(shù)列{an}的前15項和S15＝30，則2a5－a6－a10＋a14等于A.2 B.3

C.4

D.5√教師備選∵S15＝30，∴(a1＋a15)＝30，∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.√∴S2023＝2023×2＝4046.思維升華(1)項的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1).②S2n－1＝(2n－1)an.③依次k項和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.√跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2021·北京){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，其中

(1≤k≤5)為常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，則b3等于A.64 B.128 C.256 D.512√設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，KESHIJINGLIAN課時精練1.(2022·蕪湖模擬)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，則{an}的公差為A.－2 B.2 C.－3 D.3基礎(chǔ)保分練√12345678910111213141516設(shè)公差為d，因為a3＋a9＝2a6＝30，2.(2022·莆田模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足a3＋a6＋a8＋a11＝12，則2a9－a11的值為A.－3 B.3 C.－12 D.12√12345678910111213141516由等差中項的性質(zhì)可得，a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，∵a7＋a11＝2a9，∴2a9－a11＝a7＝3.√123456789101112131415163.(2022·鐵嶺模擬)中國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之(等差數(shù)列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給.則第一等人(得金最多者)得金斤數(shù)是12345678910111213141516由題設(shè)知在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝4，a7＋a8＋a9＋a10＝3.4.(2022·山東省實驗中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319，所有偶數(shù)項之和為290，則該數(shù)列的中間項為A.28 B.29

C.30

D.31√設(shè)等差數(shù)列{an}共有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，該數(shù)列的中間項為an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.123456789101112131415165.(多選)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)首項a1和d變化時，a3＋a8＋a13是一個定值，則下列各數(shù)也為定值的有A.a7

B.a8 C.S15 D.S16√12345678910111213141516√由等差中項的性質(zhì)可得a3＋a8＋a13＝3a8為定值，6.(多選)已知Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和，且S8>S9>S7，則下列結(jié)論正確的是A.公差d<0

B.在所有小于0的Sn中，S17最大C.a8>a9

D.滿足Sn>0的n的個數(shù)為15√√12345678910111213141516√12345678910111213141516∵S8>S9，且S9＝S8＋a9，∴S8>S8＋a9，即a9<0，又S8>S7，S8＝S7＋a8，∴S7＋a8>S7，即a8>0，∴d＝a9－a8<0，故A，C中的結(jié)論正確；∵S9>S7，S9＝S7＋a8＋a9，∴S7＋a8＋a9>S7，即a8＋a9>0，又a1＋a16＝a8＋a9，12345678910111213141516故B中的結(jié)論正確，D中的結(jié)論錯誤.123456789101112131415167.(2019·北京)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝___.0設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7，…，該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為_____.8.(2022·鐵嶺模擬)一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐123456789101112131415165112345678910111213141516設(shè)該數(shù)列為{an}，依題意可知，a5，a6，…成等差數(shù)列，且公差為2，a5＝5，解得n＝12(n＝－8舍去).故最下面三層的塔數(shù)之和為a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51.12345678910111213141516(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；12345678910111213141516(2)求{an}的通項公式.1234567891011121314151610.在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，12345678910111213141516∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)設(shè)Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則由(1)可得，由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴當(dāng)n>5時，an<0，則Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；12345678910111213141516當(dāng)n≤5時，an≥0，則Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，11.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于A.3 B.4 C.5 D.612345678910111213141516√技能提升練12345678910111213141516∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項和為Sn，解得m＝5，經(jīng)檢驗為原方程的解.12.(多選)(2022·濟(jì)寧模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn，已知S14>0，S15<0，則下列選項正確的有A.a1>0，d<0

B.a7＋a8>0C.S6與S7均為Sn的最大值

D.a8<012345678910111213141516√√√因為S14>0，S15<0，12345678910111213141516即a7＋a8>0，所以等差數(shù)列{an}的前7項為正數(shù)，從第8項開始為負(fù)數(shù)，則a1>0，d<0，S7為Sn的最大值.13.(2020·新高考全國Ⅰ)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________.123456789101112131415163n2－2n12345678910111213141516方法一

(觀察歸納法)數(shù)列{2n－1}的各項為1,3,5,7,9,11,13，…；數(shù)列{3n－2}的各項為1,4,7,10,13，….觀察歸納可知，兩個數(shù)列的公共項為1,7,13，…，是首項為1，公差為6的等差數(shù)列，則an＝1＋6(n－1)＝6n－5.12345678910111213141516方法二(引入?yún)⒆兞糠?令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，則2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必為奇數(shù).令m＝2t－1，則n＝3t－2(t＝1,2,3，…).at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一.1234567891011121314151614.(2022·東莞模擬)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差為d，前n項和為Sn.若Sn≤S8