(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專(zhuān)題8.7《立體幾何中的向量方法》(解析版)

專(zhuān)題8.7立體幾何中的向量方法新課程考試要求1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).4．會(huì)用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問(wèn)題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等.考向預(yù)測(cè)（1）以幾何體為載體，綜合考查平行或垂直關(guān)系證明，以及角與距離的計(jì)算.（2）利用幾何法證明平行、垂直關(guān)系，利用空間向量方法求角或距離.（3）利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點(diǎn)，內(nèi)容以解答題中的一問(wèn)為主，主要圍繞考查空間直角坐標(biāo)系的建立、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算能力和分析解決問(wèn)題的能力命制試題，以多面體為載體、證明線面(面面)的平行(垂直)關(guān)系是主要命題方向．空間的角與距離的計(jì)算（特別是角的計(jì)算）是高考熱點(diǎn)，一般以大題的條件或一小問(wèn)形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體幾何問(wèn)題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)計(jì)算解決立體幾何問(wèn)題．距離問(wèn)題往往在與有關(guān)面積、體積的計(jì)算中加以考查．此類(lèi)問(wèn)題往往屬于“證算并重”題，即第一問(wèn)用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問(wèn)則通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法進(jìn)一步求角或距離.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1．利用空間向量證明平行問(wèn)題1.直線的方向向量與平面的法向量的確定①直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱(chēng)eq\o(AB,\s\up6(→))為直線l的方向向量，與eq\o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直線l的方向向量．②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))2.用向量證明空間中的平行關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.②設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2.③設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.④設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.知識(shí)點(diǎn)2．利用空間向量證明垂直問(wèn)題1.用向量證明空間中的垂直關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.②設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.③設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.2.共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．知識(shí)點(diǎn)3．異面直線所成的角1.兩條異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角．②范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是．③向量求法：設(shè)直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為φ，則有.知識(shí)點(diǎn)4．直線與平面所成角1．直線和平面所成角的求法：如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).知識(shí)點(diǎn)5．二面角1．求二面角的大小(1)如圖1，AB、CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如圖2、3，分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小(或)．知識(shí)點(diǎn)6．利用向量求空間距離1．空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．(3)模、夾角和距離公式設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則.2.點(diǎn)面距的求法如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).【考點(diǎn)分類(lèi)剖析】考點(diǎn)一：利用空間向量證明平行問(wèn)題【典例1】(湖北高考真題)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.當(dāng)時(shí)，證明：直線平面.【答案】直線平面.【解析】以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系，由已知得，所以，，，（1）證明：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，即，而平面，且平面，故直線平面.【規(guī)律方法】利用空間向量證明平行的方法【變式探究】（選自天津高考真題）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（Ⅰ）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因?yàn)槠矫鍮DE，所以MN//平面BDE.【總結(jié)提升】證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后說(shuō)明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了數(shù)量的計(jì)算問(wèn)題．考點(diǎn)二：利用空間向量證明垂直問(wèn)題【典例2】（2021·浙江高二期末）已知正方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則在棱SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量法確定線線平行與垂直，由向量與平行法向量的平行與垂直確定線面的平行與垂直．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不可能平行，即SKIPIF1<0不可能平行，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0可以垂直，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能垂直．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不可能平行，因此SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不可能垂直，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不可能垂直，因此SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不可能平行，故選：B．【規(guī)律方法】用空間向量證明垂直問(wèn)題的方法【變式探究】在邊長(zhǎng)是2的正方體-中，分別為的中點(diǎn).應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題.xzyxzy(1)求EF的長(zhǎng)(2)證明：平面；(3)證明:平面.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系xzxzy4分（2）而平面8分（3）又平面.【總結(jié)提升】1.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明．2.要證明兩線垂直，需轉(zhuǎn)化為兩線對(duì)應(yīng)的向量垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明兩向量的數(shù)量積為零，這是證明兩線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎(chǔ)．3.證明線面垂直，可利用判定定理．如本題解法．4.用向量證明兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量，把證明面面垂直轉(zhuǎn)化為法向量垂直．考點(diǎn)三：異面直線所成的角【典例3】（2021·天津高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且CG＝SKIPIF1<0CD.（1）求證：EF⊥B1C；（2）求EF與C1G所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用空間向量證明，（2）利用空間向量求解【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.則E（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，（2）由（1）知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)EF與C1G所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故EF與C1G所成角的余弦值為SKIPIF1<0【特別提醒】提醒：兩異面直線所成角θ的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是這兩條異面直線所成的角；當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是兩異面直線所成的角．【變式探究】（2021·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高一月考）由兩塊直角三角形拼成如圖所示的空間立體圖形，其中SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0四點(diǎn)外接球的體積為_(kāi)_________；異面直線SKIPIF1<0所成角的余弦為_(kāi)_________.【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【解析】求得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得點(diǎn)SKIPIF1<0是四面體SKIPIF1<0外接球的球心，外接球半徑SKIPIF1<0，進(jìn)而可得外接球的體積；證得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，建系如圖，由空間向量的夾角公式可得結(jié)果.【詳解】依題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0是四面體SKIPIF1<0外接球的球心，外接球半徑SKIPIF1<0，故外接球的體積SKIPIF1<0.依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.【總結(jié)提升】向量法求兩異面直線所成角的步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求出兩直線的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．考點(diǎn)四：直線與平面所成角【典例4】（2021·浙江高考真題）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，M，N分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）要證SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0，由題意可得，SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，從而得證；（2）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，根據(jù)題意可知，SKIPIF1<0兩兩垂直，所以以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由題意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0兩兩垂直，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.由（1）得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0從而直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．【規(guī)律方法】利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.【變式探究】（2020·北京高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則..因此，直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)五：二面角【典例5】（江蘇省揚(yáng)州市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).（1）求證;SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;（2）若SKIPIF1<0，求銳二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，分別連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0后可得線面平行；（2）以SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳解】（1）證明：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，分別連接SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）解：由題意SKIPIF1<0三條直線兩兩相互垂直.以SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，因?yàn)樵谒倪呅蜸KIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的垂直平分線上.又因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以有點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0易知平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以銳二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大?。⒁饨Y(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小．【變式探究】（2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足為H．因?yàn)镋H平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H–xyz，則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小為30°．考點(diǎn)六：利用向量求空間距離【典例6】（2021·北京高二期末）如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（3）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【解析】（1）推導(dǎo)出SKIPIF1<0，由此能證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．（3）由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用向量法能求出直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離．【詳解】解：（1）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．所以SKIPIF1<0．在矩形SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（3）由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離為點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0．【總結(jié)提升】利用法向量求解空間線面角、面面角、距離等問(wèn)題，關(guān)鍵在于“四破”：①破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；④破“應(yīng)用公式關(guān)”．【變式探究】（2019·安徽高三期末（文））如圖，在四棱錐中，交于點(diǎn)，，，底面．求證：底面；若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）【解析】證明：在四棱錐中，交于點(diǎn)O，，，底面ABCD．，又，平面PBD．以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，交于點(diǎn)O，，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，，0，，0，，，0，，0，，0，，，設(shè)平面PBC的法向量y，，則，取，得，點(diǎn)到平面PBC的距離.專(zhuān)題8.7立體幾何中的向量方法練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（2020·陜西省商丹高新學(xué)校期末（理））兩不重合平面的法向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交不垂直 C．垂直 D．以上都不對(duì)【答案】A由已知，兩不重合平面的法向量分別為SKIPIF1<0（1，0，﹣1），SKIPIF1<0（﹣2，0，2），所以SKIPIF1<0，所以?xún)刹恢睾掀矫娴姆ㄏ蛄科叫?，所以這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是平行；故選：A．2．（2020·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)不重合的平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0，若平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0、平面SKIPIF1<0相交但不垂直 D．以上均有可能【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0也為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，又平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不重合，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行，故選：A.3．（2020·江西新余·高二其他）如圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是底面正方形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直【答案】C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置關(guān)系是異面垂直.故選:C4．（2020·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0.有圖知SKIPIF1<0，由題得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C.5．（2021·江蘇高三三模）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0；（2）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影SKIPIF1<0的坐標(biāo).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，根據(jù)線面平行的判定可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，再由線面平行的性質(zhì)可證SKIPIF1<0；（2）構(gòu)建以D為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為x、y、z軸的正方向構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而求面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0并寫(xiě)出平面所在的方程，由SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0的坐標(biāo).【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得證.（2）由題意，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故構(gòu)建以D為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為x、y、z軸的正方向構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴面SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為過(guò)SKIPIF1<0方向向量為SKIPIF1<0的直線與面PBC的交點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.6.【多選題】（2021·全國(guó)高考真題）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【解析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將SKIPIF1<0點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解SKIPIF1<0點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解SKIPIF1<0點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即此時(shí)SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故此時(shí)SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡為線段SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡為線段SKIPIF1<0，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡為線段SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，故D正確．故選：BD．7.（2021·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)高二月考（理））如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E?F分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0.（1）求證：BE⊥平面ACF；（2）求點(diǎn)E到平面ACF的距離.【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由SKIPIF1<0證得結(jié)論成立.（2）利用點(diǎn)面距公式計(jì)算出SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量.SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.8．（2020·海安市曲塘中學(xué)高二期中）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝4，CC1＝2SKIPIF1<0，∠ACB＝90°，點(diǎn)M在線段A1B1上．（1）若A1M＝3MB1，求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；（2）若直線AM與平面ABC1所成角為30°，試確定點(diǎn)M的位置．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）M為A1B1的中點(diǎn)．【解析】先證明CC1⊥CA，CC1⊥CB，CA⊥CB，以{SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0}這組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.（1）用向量法求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；（2）設(shè)SKIPIF1<0＝λSKIPIF1<0，λ∈[0，1]，用向量法表示出直線AM與平面ABC1所成角，解出λ，即可確定M的位置.【詳解】解：（1）因?yàn)锳BC-A1B1C1為直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又CA、CB平面ABC，所以CC1⊥CA，CC1⊥CB；因?yàn)椤螦CB＝90°，所以CA⊥CB；以{SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0}這組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，所以A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(4，0，2SKIPIF1<0)，B1(0，4，2SKIPIF1<0)，C1(0，0，2SKIPIF1<0)；因?yàn)锳1M＝3MB1，所以M(1，3，2SKIPIF1<0)；因?yàn)镾KIPIF1<0＝(－3，3，2SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0＝(－4，0，－2SKIPIF1<0)，所以cos<SKIPIF1<0，SKIPIF1<0>＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，所以異面直線AM和A1C所成角的余弦值為SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0＝λSKIPIF1<0，λ∈[0，1]，所以M(4－4λ，4λ，2SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0＝(－4λ，4λ，2SKIPIF1<0)；設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量SKIPIF1<0＝(x，y，z)，由SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0得，SKIPIF1<0，其一組解為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0＝(1，1，SKIPIF1<0)；因?yàn)橹本€AM與平面ABC1所成角為30°，所以│cos<SKIPIF1<0，SKIPIF1<0>│＝│SKIPIF1<0│＝SKIPIF1<0＝sin30°，得λ＝SKIPIF1<0(負(fù)舍)，即M為A1B1的中點(diǎn)．9.（2021·陜西高三其他模擬（文））如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為4的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn).（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0為等邊三角形，求三棱錐SKIPIF1<0的體積.【答案】（）見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，得SKIPIF1<0，再由線面平行的判定定理即可證明所證；（2）如圖建系，利用向量法求出點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，從而得出答案.【詳解】解：（1）證明：連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如圖以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，過(guò)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.10.（2020·江蘇江都·邵伯高級(jí)中學(xué)月考）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0為一直角梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．（1）求證：SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】設(shè)SKIPIF1<0，建立如圖的空間坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0；平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·江蘇高二期末）在平行六面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱SKIPIF1<0的長(zhǎng)為2，且SKIPIF1<0．（1）求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值；（2）求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）用SKIPIF1<0為基底表示SKIPIF1<0，由向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得夾角余弦值；（2）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，然后由棱錐體積公式計(jì)算體積．【詳解】解：（1）由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<02.（2021·江蘇高二期末）如圖，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折起，使點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，滿足SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1