有限元法的理論基礎(chǔ)

關(guān)于有限元法的理論基礎(chǔ)第1頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五預(yù)備知識(shí)第一章有限單元法的理論基礎(chǔ)

1.1微分方程的等效積分形式

1.2加權(quán)余量法

1.3變分原理主要內(nèi)容第2頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五彈性力學(xué)的基本假設(shè)預(yù)備知識(shí)第3頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五一、連續(xù)性假設(shè)彈性理論同其他宏觀物理學(xué)一樣，不考慮實(shí)際工程材料細(xì)觀粒子結(jié)構(gòu)。1.物體抽象成連續(xù)密實(shí)的空間幾何體，位移、應(yīng)變、應(yīng)力、能量等物理量作為空間點(diǎn)位置的函數(shù)定義在這個(gè)幾何體上。2.物體在整個(gè)變形過(guò)程中始終保持連續(xù)，即：定義在該連續(xù)介質(zhì)上的物理性質(zhì)和物理量除了在某些孤立的點(diǎn)、線、面上可能奇異或間斷外，在變形過(guò)程中始終保持為空間點(diǎn)位的連續(xù)函數(shù)。預(yù)備知識(shí)第4頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五二、彈性假設(shè)彈性體的變形與載荷在整個(gè)加載和卸載過(guò)程中存在一一對(duì)應(yīng)的單值函數(shù)關(guān)系，且載荷卸去后變形完全消失。應(yīng)力小于彈性極限時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的。服從虎克定律。小變形情況下，應(yīng)變和位移導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系是線性的。預(yù)備知識(shí)第5頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五三、均勻性假設(shè)物體在各點(diǎn)處的彈性性質(zhì)都相同。四、自然狀態(tài)假設(shè)假設(shè)物體不受外力作用和溫度的影響，物體便沒(méi)有應(yīng)力和變形，即不考慮由于制造工藝引起的殘余應(yīng)力和裝配應(yīng)力。預(yù)備知識(shí)第6頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五彈性力學(xué)問(wèn)題的矩陣表示預(yù)備知識(shí)第7頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五一、基本物理量位移：應(yīng)變：應(yīng)力：

預(yù)備知識(shí)第8頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五一、場(chǎng)方程幾何方程：預(yù)備知識(shí)第9頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五預(yù)備知識(shí)第10頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五物理方程：這里假設(shè)材料是各向同性的。預(yù)備知識(shí)第11頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五注：

表示工程切應(yīng)變，它們與張量切應(yīng)變的關(guān)系為：預(yù)備知識(shí)第12頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五在平面問(wèn)題中的彈性矩陣：平面應(yīng)力問(wèn)題：平面應(yīng)變問(wèn)題：預(yù)備知識(shí)第13頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五平衡方程：預(yù)備知識(shí)第14頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五邊界條件：力邊界：位移邊界：預(yù)備知識(shí)第15頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五本章重點(diǎn)和應(yīng)掌握的內(nèi)容本章重點(diǎn)和應(yīng)掌握的內(nèi)容微分方程的等效積分形式及其“弱”形式的實(shí)質(zhì)和構(gòu)造方法，任意函數(shù)和場(chǎng)函數(shù)應(yīng)滿足的條件。不同形式加權(quán)余量法中權(quán)函數(shù)的形式和近似解的求解步驟，以及Galerkin法的特點(diǎn)。線性自伴隨微分方程的變分原理的構(gòu)造方法和泛函的性質(zhì)，以及自然邊界條件和強(qiáng)制邊界條件的區(qū)別。第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第16頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五經(jīng)典Ritz方法的求解步驟、收斂條件及其局限性兩種形式虛功原理（虛位移原理和虛應(yīng)力原理）的實(shí)質(zhì)和構(gòu)造方法。從虛功原理導(dǎo)出最小位能原理和最小余能原理的途徑，各自的性質(zhì)以及場(chǎng)函數(shù)事先應(yīng)滿足的條件第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第17頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五本章含蓋三節(jié)內(nèi)容：1.1微分方程的等效積分形式1.2加權(quán)余量法1.3變分原理第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第18頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1微分方程的等效積分形式第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第19頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1微分方程的等效積分形式微分方程：微分方程是聯(lián)系自變量x，未知函數(shù)u(x)和它的某些階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式：第20頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1微分方程的等效積分形式求解微分方程的方法有：解析法；半解析法；數(shù)值法；第21頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1微分方程的等效積分形式數(shù)值法主要包括：有限差分法——將微分方程化為差分形式，求近似解；加權(quán)余量法——將~轉(zhuǎn)化為加權(quán)積分形式，求近似解；有限元法——將~轉(zhuǎn)化為能量取駐值問(wèn)題，并采用分片插值；邊界元法——在邊界上進(jìn)行離散；無(wú)網(wǎng)格法——近似函數(shù)建立在離散點(diǎn)上，不需網(wǎng)格。第22頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式一、連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題微分方程的一般表達(dá)式且滿足邊界條件：

表示對(duì)獨(dú)立變量(時(shí)間，空間)的微分算子。1.1微分方程的等效積分形式第23頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第24頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第25頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第26頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第27頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第28頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第29頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第30頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第31頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第32頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第33頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第34頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五微分方程的等效積分形式例：圖1：u為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，滿足C0連續(xù)圖2：有一個(gè)一階不連續(xù)點(diǎn)，但一階導(dǎo)可積。圖3：二階導(dǎo)數(shù)在Δ區(qū)域內(nèi)趨于無(wú)窮，使積分不能進(jìn)行。第35頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式一、構(gòu)造“～弱形式”目的降低對(duì)未知函數(shù)的連續(xù)性的要求假設(shè)：微分方程中，微分算子的最高階導(dǎo)數(shù)為2m；第36頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式第37頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式第38頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式3)代價(jià)是提高對(duì)任意函數(shù)和的連續(xù)性要求。4)在物理上更符合實(shí)際問(wèn)題對(duì)連續(xù)性的要求。5)若和取特定函數(shù)，則為加權(quán)余量法

的不同格式。第39頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式例：簡(jiǎn)支梁的彎曲問(wèn)題微分方程和邊界條件第40頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式微分方程的等效積分形式如下：對(duì)該等效積分形式要求在域內(nèi)，w為三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，很難實(shí)現(xiàn)。第41頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式等效積分弱形式：對(duì)等效積分弱形式要求在域內(nèi)，w一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)即可。第42頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式方程的分類：1）穩(wěn)態(tài)問(wèn)題（平衡邊值問(wèn)題）場(chǎng)函數(shù)解只與位置坐標(biāo)有關(guān)第43頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式方程的分類：1）瞬態(tài)問(wèn)題（傳播問(wèn)題，初邊值問(wèn)題）場(chǎng)函數(shù)為空間與時(shí)間的函數(shù)Г、Ω可以理解為時(shí)-空域，t為開(kāi)域（0，∞）t=0可以認(rèn)為是初值條件第44頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式方程的分類：1）特征值問(wèn)題若要有非零解某些參數(shù)取特定值取決于問(wèn)題的物理、幾何特性第45頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第46頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法加權(quán)余量法的基本思想加權(quán)余量法是：

基于等效積分形式或等效積分弱形式的近似方法。第47頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法設(shè)：定解問(wèn)題第48頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法1.構(gòu)造近似解第49頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法那么，當(dāng)n有限時(shí)，方程存在偏差（余量）即：在域Ω內(nèi)在邊界Г上第50頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法等效積分形式：第51頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法2.以加權(quán)意義上為零，形成求解方程組（等效積分的解析式）即：或：為權(quán)函數(shù)，（預(yù)先設(shè)定）線性無(wú)關(guān)。作用：強(qiáng)迫余量在某種平均意義上等于零第52頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法第53頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法3.加權(quán)余量法的關(guān)鍵(兩種函數(shù)的選擇)1）與等效積分形式不同：一個(gè)是精確解，而加權(quán)余量法得到的為是近似解。a.近似表達(dá)式為有限項(xiàng)。b.對(duì)某些特定的權(quán)函數(shù)（非任意）2）試函數(shù)：如能滿足一定的域內(nèi)條件或邊界條件，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，且有一定的精確度。3）權(quán)函數(shù)：不同的權(quán)函數(shù)，涉及不同的計(jì)算格式。例如：第54頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法采用使余量的加權(quán)積分為零的等效積分的“弱”形式，來(lái)求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。它是求微分方程近似解的一種有效方法。第55頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法加權(quán)余量法常用的幾種常用方案為了討論方便，不失一般性，認(rèn)為已滿足邊界條件，因此僅剩域內(nèi)積分項(xiàng)；為線性微分算子，可用表示。第56頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法取:則有:注：第57頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法第58頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法第59頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法第60頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法第61頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法這種方法相當(dāng)于簡(jiǎn)單地強(qiáng)迫若干個(gè)在域內(nèi)的點(diǎn)上余量等于零。說(shuō)明：Kij

非對(duì)稱，不用求積分。第62頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法最小二乘法是加權(quán)余量法的一種。標(biāo)準(zhǔn)最小二乘法是：要使域Ω內(nèi)每一點(diǎn)的殘數(shù)（或誤差）的平方和最小，或平方的積分最小。第63頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法第64頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法第65頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法第66頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法第67頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法可見(jiàn)：矩陣對(duì)稱，但需要數(shù)值積分第68頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法非對(duì)稱，系數(shù)矩陣含積分運(yùn)算。若自伴隨問(wèn)題利用格林公式可以構(gòu)造有限元格式第69頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法說(shuō)明：<1>如果要形成有限元格式，則希望得到對(duì)稱系數(shù)矩陣，同時(shí)希望積分中的微分階數(shù)降低。<2>Galerkin加權(quán)余量法（見(jiàn)后）第70頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法第71頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法如果L為二階微分算子，則C、D均為一階。如果L為四階微分算子，則C、D均為二階。如果L為自伴隨算子，第一項(xiàng)將得到對(duì)稱系數(shù)矩陣。第72頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程（Galerkin格式）第73頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法第74頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法第75頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法第76頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法利用格林公式分部積分第77頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法不考慮溫度邊界條件，上式整理得：其中：第78頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五1.2加權(quán)余量法說(shuō)明：（1）由Galerkin法得到與變分法相一致的方程形式，與有限元格式類似。（2）如離散后采用上法，即可得到有限元格式。（3）如果一個(gè)問(wèn)題存在變分泛函，則采用加權(quán)余量法Galerlin格式與變分方法可得相同結(jié)果的方程。第79頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五變分原理自然變分原理修正泛函的變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)

第80頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五線性、自伴隨微分算子如果微分方程具有線性、自伴隨的性質(zhì)，則：不僅可以建立它的等效積分形式，并可利用加權(quán)余量法求其近似解；

還可建立與之相等效的變分原理，基于它的另一種近似求解方法——Ritz法自然變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第81頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五線性、自伴隨微分方程的定義：微分方程：為微分算子若具有性質(zhì)：則稱為線性微分算子。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第82頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第83頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五泛函的構(gòu)造

設(shè)有微分方程：

有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第84頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第85頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第86頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五自然變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第87頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五變分原理是針對(duì)以下積分形式定義的標(biāo)量泛函而言，有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第88頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五原問(wèn)題微分方程和邊界條件的等效積分Galerkin提法等效于泛函取駐值。反之泛函取駐值則等效于微分方程和邊界條件。這里泛函可以通過(guò)等效積分的Galerkin提法得到。這種變分原理稱為自然變分原理。例如，彈性力學(xué)中的最小位能原理、粘性流體中最小能力耗散原理，稱為自然變分原理。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第89頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第90頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五最小位能原理：真實(shí)位移使體系總位能取極小值，即：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第91頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第92頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五自然變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第93頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五Ritz（里茲）法——基于變分原理的近似解法求解步驟假設(shè)近似解：為待定參數(shù)，滿足強(qiáng)制邊界條件。將代入泛函的極值問(wèn)題（求函數(shù)u），轉(zhuǎn)化為求多元（）函數(shù)的極值問(wèn)題。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第94頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五求解線性方程組有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第95頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五解的收斂性1)

連續(xù)性要求滿足Cm-1

階連續(xù)性2)完備性要求取自完備的函數(shù)序列有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第96頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五

特點(diǎn)1)

近似解對(duì)全域而言2)試探函數(shù)要求滿足一定的邊界條件，近似解

的精度與試探函數(shù)的選擇有密切關(guān)系。3)待定系數(shù)不表示特定的物理意義。4)如果我們對(duì)問(wèn)題了解比較清楚，能找到合適的試函數(shù)，可以說(shuō)事半功倍，但缺乏一般性。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第97頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五提示經(jīng)典意義上的泛函變分理論只適應(yīng)于線性自伴隨微分方程。2)收斂性有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)（泛函分析）。3)事先滿足強(qiáng)制邊界條件，則解有明確的上下界性質(zhì)。如不事先滿足，需要進(jìn)行處理(約束變分原理)。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第98頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

關(guān)于強(qiáng)制邊界條件與自然邊界條件若微分算子是線性自伴隨的，Galerkin法的等效積分形式問(wèn)題泛函近似場(chǎng)函數(shù)應(yīng)滿足強(qiáng)制邊界條件第99頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五假如微分算子是2m階0至m-1階導(dǎo)的邊界條件稱為強(qiáng)制邊界條件m至2m-1階導(dǎo)的邊界條件稱為自然邊界條件未知場(chǎng)函數(shù)無(wú)需事先滿足自然邊界條件有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第100頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五關(guān)于泛函取極值根據(jù)Galerkin格式或變分原理，微分算子線性自伴隨：假設(shè)微分算子L的最高階導(dǎo)數(shù)是2m偶數(shù)階，則：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第101頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第102頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五關(guān)于解的下限性：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第103頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第104頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第105頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五最小余能原理：真實(shí)解使得系統(tǒng)的總余能最小?？紤]平衡方程：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第106頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第107頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第108頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第109頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五最小勢(shì)能原理解的下限性：由能量守恒定理知：變形過(guò)程中的功等于彈性體變形后的應(yīng)變能。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第110頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第111頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第112頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五同樣的分析得到：由最小余能原理得到的近似應(yīng)力場(chǎng)，總體偏大。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第113頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五修正泛函變分原理

建立了自然變分原理后,問(wèn)題的解為泛函Π取駐值。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理第114頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五但是未知函數(shù)往往還需要服從一些附加條件，

約束條件把這些變分原理稱之為：

“具有附加條件的變分原理”。修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第115頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五解決的辦法

可以將附加條件引入泛函，重新構(gòu)造一個(gè)“修正泛函”，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值問(wèn)題。常用方法：Lagrange乘子法，罰函數(shù)法。修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第116頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第117頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）第118頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）第119頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五修正泛函（約束）變分原理2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第120頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）第121頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五討論（放松約束條件的代價(jià)）：1)很明顯方程的階數(shù)增加了。2)方程的系數(shù)矩陣主元（對(duì)角元素）出現(xiàn)零元素，對(duì)求

解方程增加了困難。（不能用一般的消元法）3)一般的物理問(wèn)題中得到的自然變分問(wèn)題是一極值問(wèn)題。

而對(duì)修正的泛函，由于附加項(xiàng)的積分性質(zhì)不清，一般

為駐值問(wèn)題。（不再有極值性質(zhì)）4)利用乘子法，可以得到彈性力學(xué)各種λ變分原理的轉(zhuǎn)換。修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第122頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五3.罰函數(shù)對(duì)Π為極小值問(wèn)題，α取正數(shù)；α值越大，約束條件滿足的越好。(近似性越好)這種方法好處很明顯，不增加任何未知函數(shù)。(α是事先給定的)有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理第123頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五例：極值問(wèn)題（函數(shù)極值問(wèn)題）有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第124頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第125頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五討論：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理第126頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

討論：第127頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五關(guān)鍵概念：等效積分形式等效積分“弱”形式加權(quán)余量法Galerkin方法線性自伴隨算子泛函和變分原理強(qiáng)制邊界條件自然邊界條件泛函的駐值和極值Ritz方法

虛位移原理虛應(yīng)力原理最小位能原理最小余能原理有限元法的理論基礎(chǔ)

第128頁(yè)，共143頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)20分，星期五有限元法的理論基礎(chǔ)-課后作業(yè)

等效積分形式和等效積分“弱”形式的區(qū)別何在？為何后者在數(shù)值分析中得到更多的應(yīng)用？不同形式的加權(quán)余量法之間的區(qū)別，你能提出其它形式的加權(quán)余量法嗎？加權(quán)余量法的Galerkin方法特點(diǎn)，自然邊界條件和強(qiáng)制邊界條件的區(qū)別里茲法的特點(diǎn)及優(yōu)缺點(diǎn)，與Galerkin方法的異同虛功原理有哪兩種不同形式，和彈性力學(xué)中的何方程等效，最小勢(shì)能原理與最小余能原理