復(fù)變函數(shù)課件：第六章 6-4 幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的映射(精簡(jiǎn))

§6.4幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的映射一、冪函數(shù)二、指數(shù)函數(shù)三、綜合舉例1一、冪函數(shù)(

整數(shù)

)則有令1.映射特點(diǎn)即冪函數(shù)

擴(kuò)大頂點(diǎn)在原點(diǎn)的角形域(

或扇形域

)。特點(diǎn)

類似地，根式函數(shù)作為冪函數(shù)的逆映射，其映射

特點(diǎn)是縮小頂點(diǎn)在原點(diǎn)的角形域(

或扇形域

)。2一、冪函數(shù)(

整數(shù)

)則有令1.映射特點(diǎn)即結(jié)論

在角形域

上，如果則冪函數(shù)是共形映射。3解令則如圖，所求的像區(qū)域G為：求區(qū)域例在映射下的像區(qū)域。41.映射特點(diǎn)指數(shù)函數(shù)

將水平帶形域變?yōu)榻切斡颉Ｌ攸c(diǎn)特別地

二、指數(shù)函數(shù)

在水平帶形域上，如果則指數(shù)函數(shù)是共形映射。

5如圖，所求的像區(qū)域G為：解令則求區(qū)域例下的在映射象區(qū)域。6三、綜合舉例(1)預(yù)處理（通過構(gòu)造分式映射）使區(qū)域的邊界至多由兩段圓弧(或直線段)構(gòu)成。(2)將區(qū)域映射為角形域(

或者帶形域

)

另一個(gè)(交)點(diǎn)映射為

0。z2

[]主要步驟(一般)

方法將區(qū)域邊界的一個(gè)交點(diǎn)

映射為z1

工具公式從上半單位圓域到第一象限的映射為如果在構(gòu)造共形映射的過程中，左式是作為中間步驟，則可直接設(shè)為1.注：若區(qū)域邊界只有一個(gè)交點(diǎn)，則將唯一交點(diǎn)映射為7(4)將上半平面映射為單位圓域工具(

對(duì)于角形域

)

(

對(duì)于帶形域

)

工具(

無附加條件

)

(3)將角形域(

或者帶形域

)映射為上半平面三、綜合舉例主要步驟(一般)

(

由附加條件確定

)

8注從上半單位圓域到上半平面的映射為

解P161例6.18設(shè)區(qū)域例映射成求一共形映射將單位圓域。公式9解共形映射將

D

映射成單位圓域。例設(shè)區(qū)域

D

由兩個(gè)圓弧圍成(如圖所示)，其中求一P160例6.1710解P159例6.16設(shè)區(qū)域例映射成求一共形映射將單位圓域。11解設(shè)區(qū)域例映射成求一共形映射將單位圓域。12解設(shè)區(qū)域例映射成求一共形映射將單位圓域。13

求區(qū)域（曲線）在分式線性映射下的像區(qū)域（曲線）第六章小結(jié)常用方法：A.利用保圓性，選三點(diǎn)定圓（選取點(diǎn)時(shí)常常首選端點(diǎn)、交點(diǎn)、0或者）B.綜合利用保圓性和保角性適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可考慮給定區(qū)域（曲線）中的“特殊點(diǎn)（同A）”、“特殊曲線（如坐標(biāo)軸）”對(duì)應(yīng)的像的位置。14

求一共形映射將給定區(qū)域D映射成單位圓域第六章小結(jié)(1)使區(qū)域的邊界至多由兩段圓弧(或直線段)構(gòu)成。(2)將區(qū)域映射為角形域(

或者帶形域

)

另一個(gè)(交)點(diǎn)映射為

0。z2

[]方法將區(qū)域邊界的一個(gè)交點(diǎn)

映射為z1

工具主要步驟(一般)

如果在構(gòu)造共形映射的過程中，左式是作為中間步驟，則可直接設(shè)為1.公式從上半單位圓域到第一象限的映射為注：若區(qū)域邊界只有一個(gè)交點(diǎn)，則將唯一交點(diǎn)映射為15(4)將上半平面映射為單位圓域工具(

對(duì)于角形域

)

(

對(duì)于帶形域

)

工具(

無附加條件

)

(3)將角形域(

或者帶形域