高考數(shù)學(xué)專題立體幾何初步《異面直線》第二課時(shí)突破解析

第2課時(shí)異面直線必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線與長(zhǎng)方體的棱所組成的異面直線有()A.2對(duì) B.3對(duì) C.6對(duì) D.12對(duì)答案C解析如圖所示,在長(zhǎng)方體中沒有與體對(duì)角線平行的棱,要找與長(zhǎng)方體體對(duì)角線AC1異面的棱所在的直線,只要去掉與AC1相交的六條棱,其余的都與體對(duì)角線異面,所以與AC1異面的棱有BB1,A1D1,A1B1,BC,CD,DD1,∴長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線與長(zhǎng)方體的棱所組成的異面直線有6對(duì),故選C.2.設(shè)P是直線l外一定點(diǎn),過點(diǎn)P且與l成30°角的異面直線()A.有無數(shù)條 B.有兩條C.至多有兩條 D.有一條答案A解析如圖所示,過點(diǎn)P作直線l'∥l,以l'為軸,與l'成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角.3.點(diǎn)E,F分別是三棱錐P-ABC的棱AP,BC的中點(diǎn),AB=6,PC=8,EF=5,則異面直線AB與PC所成的角的大小為()A.90° B.45° C.30° D.60°答案A解析如圖,取PB的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則EG∥AB且EG=12AB,GF∥PC且GF=12PC,則∠EGF(或其補(bǔ)角)即為AB與PC所成的角,在△EFG中,EG=12AB=3,FG=12PC=4,EF=5,所以∠EGF=90°.所以異面直線AB與PC4.在如圖所示的正方體中,M,N分別為棱BC和CC1的中點(diǎn),則異面直線AC和MN所成的角的大小為()A.30° B.45° C.90° D.60°答案D解析連接AD1,D1C,BC1(圖略),因?yàn)镸,N分別為BC和CC1的中點(diǎn),所以C1B∥MN.又C1B∥AD1,所以AD1∥MN,所以∠D1AC即為異面直線AC和MN所成的角.又△D1AC是等邊三角形,所以∠D1AC=60°,即異面直線AC和MN所成的角為60°.5.從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條,使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線,則k的最大值是.

答案4解析正方體共有8個(gè)頂點(diǎn),若選出的k條線兩兩異面,則不能共頂點(diǎn),即至多可選出4條,所以k的最大值為4.6.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與B1D1所成的角的大小為,AC與D1C1所成的角的大小為.

答案90°45°解析B1D1與AC是異面直線,連接BD(圖略),交AC于點(diǎn)O,易知BD∥B1D1,所以∠DOC或其補(bǔ)角為B1D1與AC所成的角.因?yàn)锽D⊥AC,所以∠DOC=90°,所以B1D1與AC所成的角是90°.因?yàn)镈C∥D1C1,所以∠ACD是AC與D1C1所成的角,又∠ACD=45°,所以AC與D1C1所成的角是45°.7.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中,AB=AD=23,AE=2.(1)求直線BC和EG所成的角的大小;(2)求直線AE和BG所成的角的大小.解(1)連接AC(圖略).∵EG∥AC,∴∠ACB即是BC和EG所成的角.∵在長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中,AB=AD=23,∴∠ACB=45°,∴直線BC和EG所成的角是45°.(2)∵AE∥BF,∴∠FBG即是AE和BG所成的角.易知tan∠FBG=3,∴∠FBG=60°,∴直線AE和BG所成的角是60°.關(guān)鍵能力提升練8.在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AC,BD的中點(diǎn),若CD=2AB,EF⊥AB,則EF與CD所成的角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°答案A解析取AD的中點(diǎn)H,連接FH,EH,則HE=12CD,HF=12AB,HE∥CD,HF∥AB,所以∠FEH(或其補(bǔ)角)即為EF與CD所成的角,在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,從而∠FEH=309.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng),則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A.0,π3 B.0,π3C.0,π3 D.0,π3答案D解析如圖,連接CD1,AC,因?yàn)镃D1∥BA1,所以CP與BA1所成的角就是CP與CD1所成的角,即θ=∠D1CP.當(dāng)點(diǎn)P從D1向A運(yùn)動(dòng)時(shí),∠D1CP從0°增大到60°,但當(dāng)點(diǎn)P與D1重合時(shí),CP∥BA1,與CP與BA1為異面直線矛盾,所以異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是0,π3.10.(多選)一個(gè)正方體紙盒展開后如圖,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論,其中正確的是()A.AB與EF是異面直線B.AB與CM所成的角為60°C.EF與MN是異面直線D.MN∥CD答案AC解析把正方體平面展開圖還原到原來的正方體,如圖所示,AB與EF是異面直線,EF與MN是異面直線,AB∥CM,MN與CD是異面直線,故A,C正確.11.(多選)(2021山東濟(jì)南歷下期中)如圖是正方體的展開圖,則在這個(gè)正方體中,下列說法正確的是()A.AF與CN平行B.BM與AN是異面直線C.AF與BM是異面直線D.BN與DE是異面直線答案CD解析把正方體的平面展開圖還原為正方體如圖,由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知,AF與CN異面垂直,故A錯(cuò)誤;BM與AN平行,故B錯(cuò)誤;BM?平面BCMF,F∈平面BCMF,A?平面BCMF,F?BM,由異面直線定義可得,AF與BM是異面直線,故C正確;DE?平面ADNE,N∈平面ADNE,B?平面ADNE,N?DE,由異面直線定義可得,BN與DE是異面直線,故D正確.12.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成的角的大小是.

答案90°解析如圖,過點(diǎn)M作ME∥DN交CC1于點(diǎn)E,連接A1E,則∠A1ME(或其補(bǔ)角)為異面直線A1M與DN所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則A1M=32a,ME=54a,A1E=41所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即異面直線A1M與DN所成的角為90°.13.已知在正四面體A-BCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成的角的余弦值為.

答案3解析如圖,取AD的中點(diǎn)F,連接EF,CF,因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),則EF∥BD,∠CEF(或其補(bǔ)角)就是異面直線CE與BD所成的角,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,則CE=CF=32,EF=12,取EF的中點(diǎn)O,連接CO,則CO⊥EF,所以在△CEO中,cos∠CEF=14.如圖所示,圓錐的底面直徑AB=4,高OC=22,D為底面圓周上的一點(diǎn),且∠AOD=120°,則直線AD與BC所成的角的大小為.

答案60°解析如圖,延長(zhǎng)DO交底面圓于點(diǎn)E,連接BE,CE,由AB,DE均為圓的直徑知AD∥BE,且AD=BE,所以∠CBE即為異面直線AD與BC所成的角(或其補(bǔ)角).在△AOD中,AD=2OA·sin60°=23,在△CBE中,CB=CE=BE=23,所以△CBE為正三角形,所以∠CBE=60°.15.如圖,已知圓柱的上底面圓心為O,高和底面圓的半徑相等,AB是底面圓的一條直徑,點(diǎn)C為底面圓周上一點(diǎn),且∠ABC=45°,則異面直線AC與OB所成角的余弦值為.

答案1解析如圖,設(shè)下底面圓心為O',則OO'⊥O'B,過點(diǎn)B作BD∥AC,交圓O'于D,連接OD,AD,則∠OBD即為直線AC與OB所成角,設(shè)底面圓半徑為1,由圓柱高和底面圓的半徑相等,得圓柱高為1,在Rt△OO'B中,OB=2,∵∠ABC=45°,∴AC=BC=2,由圓的對(duì)稱性可知BD=AC=2,OB=OD=2,∴△OBD為等邊三角形,則∠OBD=π3,故直線AC與OB所成角的余弦值為116.如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn).求異面直線AN,CM所成角的余弦值.解如圖,連接ND,取ND的中點(diǎn)E,連接ME,則ME∥AN,∴∠EMC是異面直線AN,CM所成的角.∵AN=22,∴ME=2=EN,MC=22.又EN⊥NC,∴EC=EN∴cos∠EMC=EM∴異面直線AN,CM所成的角的余弦值為78學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=23,∠ABC=120°,若A1B⊥AD1,求AA1的長(zhǎng).解如圖所示,連接CD1,AC.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC=23,∴四邊形A1BCD