《三角函數(shù)的周期性函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質》-完整版課件

3.4.1

三角函數(shù)的周期性3.4.2

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(一)1．理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，會求三角函數(shù)的最小

正周期．2．了解y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義．3．理解y＝sinx的圖象與y＝Asinωx的圖象之間的變換關系．4．掌握參數(shù)A、ω對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響．自學導引函數(shù)的周期性(1)一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在__________，使得當x取定義域內的_________時x±T都有意義，_____________，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(2)一般地，如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的___________．(3)2π是y＝sinx，y＝cosx的最小正周期，π是y＝tanx的最小正周期．自學導引1．非零常數(shù)T每一個值f(x±T)＝f(x)最小正周期2.圖象的伸縮變換(1)一般地，對任意A>0，A≠1，函數(shù)y＝Asinx，x∈R的圖象可以由y＝sinx的圖象上每一點的橫坐標不變、縱坐標乘以A得到．y＝Asinx的周期仍是2π，值域為[－A，A]，最大值和最小值分別為A和－A.3．函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否為周期函數(shù)？如果是，它的最小正周期是多少？自主探究1．答案

C預習測評y＝|cosx|的周期是 (

)．2．解析由函數(shù)y＝|cosx|的圖象可知，它的周期T＝π.答案

B把y＝sinx的圖象上每個點的橫坐標縮短到原來的得到函數(shù)________的圖象 (

)．3.答案

A4.答案

D對函數(shù)周期的理解(1)定義應對定義域中的每一個x值來說，只有個別的x值滿足f(x±T)＝f(x)不能說T是f(x)的周期．例如：名師點睛1.(3)對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，今后提到的三角函數(shù)的周期，如未特別指明，一般都是指它的最小正周期．(4)并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期．例如，常數(shù)函數(shù)f(x)＝C(C為常數(shù))，x∈R，當x為定義域內的任何值時，函數(shù)值都是C，即對于函數(shù)f(x)的定義域內的每一個值x，都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函數(shù)，由于T可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小者，所以f(x)沒有最小正周期．(5)周期函數(shù)的周期不止一個，若T是周期，則kT(k∈Z，且k≠0)一定是函數(shù)的周期．(6)在周期函數(shù)中，T是周期，若x是定義域內的一個值，則x＋kT(k∈Z，且k≠0)也一定屬于定義域，因此周期函數(shù)的定義域一定是無限集．(1)這種y＝sinx與y＝Asinx(A>0)之間的圖象變換實質上是縱向的伸縮．(2)對于函數(shù)y＝sinx與y＝sinωx(ω>0)之間的圖象變換實質上是橫向的伸縮．2．求下列函數(shù)的周期．題型一三角函數(shù)的周期性【例1】典例剖析(2)作出y＝|sin2x|的圖象．(2)求函數(shù)的最小正周期的常用方法有：①定義法，即觀察出周期，再用定義來驗證；也可由函數(shù)所具有的某些性質(如本例中sin(x＋2kπ)＝sinx)，進而推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T即可．②圖象法，即作出y＝f(x)的圖象，觀察圖象便可求出T.③結論法，即利用上述結論求形如y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．【變式1】如何由y＝sinx的圖象得到函數(shù)y＝3sin2x的圖象？題型二圖象的伸縮變換【例2】把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)，所得函數(shù)圖象所對應的解析式為_______．【變式2】判斷函數(shù)f(x)＝tan|x|的周期性．錯解當x＞0時，f(x)＝tan|x|化為y＝tanx，它是周期函數(shù)，周期為π；當x＜0時，f(x)＝tan|x|化為y＝－tanx，它也是周期函數(shù)，周期為π.故函數(shù)f(x)＝tan|x|是周期函數(shù)，周期為π.錯因分析函數(shù)的周期性是對整個定義域而言的，而這種錯誤解法把一個應整體考慮的問題人為地分割成x＞0和x＜0兩部分，使得函數(shù)表面看起來是周期函數(shù)，其實不然．誤區(qū)警示未透徹理解周期函數(shù)的定義而出錯【示例】糾錯心得判斷一個函數(shù)是周期函數(shù)，需要按照定義進行證明．指出一個函數(shù)不是周期函數(shù)，則只須舉一反例即可．本例也可以通過畫出其圖象來說明它不是周期函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝tan|x|化為f(x)＝tanx，它的圖象是可知的，再將這部分圖象以y軸為對稱軸作出其在y軸左側的圖象，整個圖象如圖，即可知道它不是周期函數(shù)．周期性是三角函數(shù)的重要性質之一，周期的求法有定義法、公式法、圖象法等．伸縮變換y＝af(x)(a>0)的圖象，可將y＝f(x)的圖象上每點的縱坐標伸長(a>1)或縮短(0<