三角函數(shù)與復(fù)數(shù)專(zhuān)題訓(xùn)練

專(zhuān)題四三角函數(shù)與復(fù)數(shù)【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1：函數(shù)y=Asin(ex+9)(A>0,?>0)的圖象與函數(shù)y=sinx圖象的關(guān)系以及根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的解析式考點(diǎn)2：三角函數(shù)的定義域和值域、最大值和最小值；考點(diǎn)3：三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最小正周期和三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題；考點(diǎn)4：和、差、倍、半、誘導(dǎo)公式、和差化積和積化和差公式、萬(wàn)能公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系式；考點(diǎn)5：三角形中的內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理；【自我檢測(cè)】同角二角函數(shù)基本關(guān)系式：,,誘導(dǎo)公式是指a的三角函數(shù)與一a,180°±a,90°±a,270°±a,360°—a,k360°+a(kuZ)三角函數(shù)之間關(guān)系：奇變偶不變，符號(hào)看象限.TOC\o"1-5"\h\z兩角和與差的三角函數(shù)：sin(a±B)=；cos(a±B)=;tan(a±B)=.二倍角公式：sin2a=;cos2a===tan2a=.a5.半角公式：sin一=a,cos一=a,tan—==2226.萬(wàn)能公式sina=,cosa=__,tana=_7.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：y=sinxy=cosxy=tanx定義域值域圖象單調(diào)性奇偶性周期性【重點(diǎn)?難點(diǎn)?熱點(diǎn)】問(wèn)題1：三角函數(shù)的圖象問(wèn)題關(guān)于三角函數(shù)的圖象問(wèn)題，要掌握函數(shù)圖象的平移變化、壓縮變化，重點(diǎn)要掌握函數(shù)

y=Asin@x+9）（A>0,w>0）的圖象與函數(shù)y=sinx圖象的關(guān)系，注意先平移后伸縮與先伸縮后平移是不同的，要會(huì)根據(jù)三角函數(shù)的圖象寫(xiě)出三角函數(shù)的解析式.例1.（05天津理）要得到y(tǒng)=^2cosx的圖象，只需將函數(shù)y八2sin（2x+-）的圖象上4所有的點(diǎn)的A、橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)-個(gè)單位長(zhǎng)度28B、橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)-個(gè)單位長(zhǎng)度24-C、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)-個(gè)單位長(zhǎng)度8-D、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度4思路點(diǎn)撥：將y=<2sin（2x+）化為y=*2cos（2x-），再進(jìn)行變換.44解答：變換1:先將y=心2cos2x-）的圖象向左平移巴個(gè)單位，得到48——y=*2cos2[（x+）-]="v2cos2x的圖象，再將y=2cos2x的圖象的橫坐標(biāo)縮短84到原來(lái)的2倍得到y(tǒng)八acosx.變換2:先將y=v2cos2x-—）的圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的2倍，得到4y=\：2cosx-）的圖象，再將y=丫2cos（x-）的圖象向左平移一個(gè)單位，得到44y=^'2cosx.由上可得，應(yīng)選C.演變1：函數(shù)y=sin（①演變1：函數(shù)y=sin（①x+9）（xeR,①的部分圖象如圖，則（-=,92-

=，94B.D.-?=—,93-?=—,9=—5-點(diǎn)撥與提示：根據(jù)圖象得出函數(shù)的周期與振幅，再將（1,10坐標(biāo)代入即可.問(wèn)題2：三角函數(shù)的求值問(wèn)題關(guān)干三角函數(shù)的求值問(wèn)題,要注意根據(jù)已知條件,準(zhǔn)確判斷角所在的范圍,合理選擇公式,

正確選擇所求三角函數(shù)值的符號(hào)例2：已知一一<x<0,sinx+cosx2（I）求sinx（I）求sinx—cosx的值;（II）求.x.xxx3sin2—一2sin—cos—+cos2—2222的值.tanx+cotx思路分析：將sinx-cosx=」平方，求出sinxcosx的值，進(jìn)而求出(sinx-cosx)2,然后由角5的范圍確定sinx-cosx的符號(hào).解法I）由sinx解法I）由sinx+cosx1,平方得sin52x+2sinxcosx+cos2x125xxxxxxxxx3sin2--sincos+cos22sin2一sinx+122222108125由①得sinx=-cosx,將其代入②,5整理得25cos2x一5cosx一12=0,即2sinxcos24?（sinx）2=1一2sinxcosx=49x=二一x一cos二2525又???兀'一—<x<0,.?sinx<0,cosx>0,sinx一cosx<0,故sinxcosx=725I）tanx+cotxsinxcosx+cosxsinxTOC\o"1-5"\h\z121=sinxcosx（2一cosx一sinx）=（一）x（2一）2551、，、、+sinx+cosx=—.解法二I）聯(lián)立方程J5解法二sin2+cos2x=1.3sinx=一...cosx=一3或cosx=545兀?/一—<x<0,.2?'54cosx=.5故sinx一cosx75'xxxxx3sin2一sincos+cos22sin2—一sinx+1（II）2-2222—tanx+cotxsinxcosx+cosxsinx108125TOC\o"1-5"\h\z443108125=sinxcosx（2一cosx一sinx）=（一）x—x（2一―+）555點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)在各象限符號(hào)等基本知識(shí)，以及推理和運(yùn)算能力.演變1：已知演變1：已知sin(a--)=410cos2a=,求sina及tan(a+蘭)253點(diǎn)撥與提示：用已知中的角表示所求的角.問(wèn)題3：三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等問(wèn)題有關(guān)三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性等問(wèn)題，通常需要先變形化簡(jiǎn)，然后求解.例3：設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+9)(--＜甲＜0),y=f(x)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x(I)求9；(II)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(III)畫(huà)出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［0,-］上的圖像.-思路點(diǎn)撥：正弦y=sinx的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=k-+—(keZ)，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是使函數(shù)取得最值的x值.——解：(【)?.?x=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸，sin(2x+9)=±1,88——3——+—=k—+—,keZ.?/-—<9<0,9=一.4243—3—(II)由(I)知9=-,因此y=sin(2x一).44由題意得2k—一一<2x一_<2k—+—,keZ.2423——5—所以函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)增區(qū)間為[k—+,k—+],keZ.88x0—3—5—x0—3—5—7——y-1010故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［0,—］上圖像是(III)由y=sin(2x一)知4點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.演變3：已知向量XX兀raXX兀ra=(2cos—,tan(—+一)),b=224(、：2sin(+),tan(一)),令f(x)=a-b.2424求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫(xiě)出f(x)在［0,n］上的單調(diào)區(qū)間.問(wèn)題4：“拆項(xiàng)”與“添項(xiàng)”的問(wèn)題“拆項(xiàng)”與“添項(xiàng)”是指在作三角變換時(shí)，對(duì)角或三角函數(shù)可以分別進(jìn)行面或添項(xiàng)處理.sin7°+cos15°sin8°例4：(1)求的值；cos7°+sin15°sin8°2兀1兀(2)已知：tan(a+卩)=,tan(卩-)=，求：tan(+a)的值.244思路分析：解此題的關(guān)健是能否抓住題中各角之間的內(nèi)在聯(lián)系?如(1)中的含有角7°、15°、8°,發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系是15°=7°+8°,故可將7°拆成15°—8°；同理在第(2)題中一+a4?？梢圆鸪蓛山遣?，即(a+卩)-(卩-).4解：(1)sin7°+cos15°sin8°_sin(15°一8°)+cos15°sin8°_cos8°sin15°

cos7°+sin15°sin8°cos(15°一8°)+sin15°sin8°cos8°解：(1)_tan15°=_tan15°=1一cos30°=2—73sin30°兀cc兀⑵*.*+a=(a+P)一(卩一)44兀tan(4+a)=tan[(兀tan(4+a)=tan[(a+P)一(P兀1)]_4tan(a+P)一tan(P一1+tan(a+P)tan(P211+—X—54322點(diǎn)評(píng)：進(jìn)行三角變換的技巧常常是變角一一注意角的和、差、倍、半、互余、互補(bǔ)關(guān)系,根據(jù)實(shí)際情況，對(duì)角進(jìn)行“拆”或“添”變形，這樣可以大大減少運(yùn)算量.

演變4：求演變4：求2cos10。一sin20的值.cos20。點(diǎn)撥與提示：10°=30°—20°.點(diǎn)撥與提示：利用復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義求解.專(zhuān)題小結(jié)1．三角變換常用的方法技巧有切割化弦法，升冪降冪法、輔助元素法，“1的”代換法等．對(duì)于三角公式要記憶準(zhǔn)確(在理解基礎(chǔ)上)，并要注意公式成立的條件，在應(yīng)用時(shí)，要認(rèn)真分析，合理轉(zhuǎn)化，避免盲目性．2．三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性和有界性是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)．最基本的三角函數(shù)圖象的形狀和位置特征，要準(zhǔn)確掌握，它是利用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵．三角函數(shù)圖象各種變換的實(shí)質(zhì)要熟練掌握，不能從形式上簡(jiǎn)單判斷．3．解三角形時(shí)，要根據(jù)條件正確選擇正、余弦定理以及三角變換式．要充分發(fā)揮圖形的作用，注意三角形外接圓半徑在正弦定理中的轉(zhuǎn)化功能【臨陣磨槍】一、選擇題1.已知f(cosx)=cos3x，則f(sin30°)的值為()3A0B1C-1D-22.(2006年遼寧卷)口ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c設(shè)向量p=(a+c,b)q=(b-a,c-a),若p//q，則角C的大小為T(mén)OC\o"1-5"\h\z兀兀兀2兀(A)(B)(C)(D)3233.(2006年安徽卷)將函數(shù)y=sinrox>0)3.(2006年安徽卷)將函數(shù)y=sinrox>0)的圖象按向量：的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式是(A．兀y=sin(x+—)6B．兀y=sin(x一—)6C．兀y=sin(2x+—)3D．兀y=sin(2x一—)34.把函數(shù)y=彳(cos3x-sin3x)的圖象適當(dāng)變動(dòng)，就可得到y(tǒng)=—sin3x的圖象，這2種變動(dòng)可以是()A沿x軸向右平移B沿x軸向左平移一44163163163163C沿x軸向右平移D沿x軸向左平移三12125.已知復(fù)數(shù)勺，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)TOC\o"1-5"\h\z函數(shù)y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值為()1113AEC7D822一兀在AOAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,cos0),B(sin0,1),0e(0,］，則當(dāng)AOAB的2面積達(dá)最大值時(shí)，0=()A.兀A.兀B.兀64C.兀D.在厶ABC中，若tanB=a—b，其中a,b分別是ZA,ZB的對(duì)邊，則厶ABC2a+b是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形函數(shù)y=y=sin2x-\3cos2x+的最小正周期為()22TOC\o"1-5"\h\z~兀兀A2nBnCD—24二、填空題已知sina=—，aU(三，n)，tan(n—?)=丄，貝I」tan(a—2/)=522設(shè)aU(兀，3兀)，卩U(0，兀)，cos(a一兀)=3，sin(3兀+卩)=5，則44445413sin(a+P)=■14.設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱(chēng)為f(x)在[a,b]兀2*上的面積，已知函數(shù)y=sin(nx)在［0，—］上的面積為一(nUN)，(i)y=sin3xnn2兀冗4兀在［0,］上的面積為；(ii)y=sin(3x—n)+1在［—，］上的面積為.33三、解答題15不查表求值:、：1+cos10°102sin130。+sin100。（115不查表求值:、：1+cos10°10(2006年安徽卷)已知—<a<兀，tana+cota=4(I)求tana的值；8．228．228．228．22aaaa5sin2+8sincos+11cos2—8(II)求2222的值.(冗)a———I2丿四川卷)已知A,B,C是三角形Aaaaa5sin2+8sincos+11cos2—8(II)求2222的值.(冗)a———I2丿四川卷)已知A,B,C是三角形AABC三內(nèi)角，向量cosA,sinA)，且<2sin18．(2006年m=(—1^3),n=((I)求角A;(II)若1+血2B=—3，求tanB.cos2B—sin2B19已知cosa+sinP=v'3,sina+cos0的取值范圍是D,xUD,求函數(shù)y=log'心丄的最小值，并求取得最小值時(shí)x的值4x+102參考答案1．C提示：f(sin30。)=f(cos60。)=cos180。=—12B提示:2cosC=1,p//qn(a+c)(c—a)=b(b—a)nb2+a21兀即cosC=nC=，故選擇答案B?23—c2=ab,利用余弦定理可得3．C提示:將函數(shù)y=sin①x(ro>0)的圖象按向量a—-,0I平移，平移后的圖象I6兀7兀所對(duì)應(yīng)的解析式為y=sinro(x+)，由圖象知，ro(+612兀兀)=—sin[3(x—)]\o"CurrentDocument"4121-1z2—3兀兀-)64．5．6．0<07．提示:y=—sin(3x提示ZAOB=60°,z2|=2|z1|=4，S21AAOB||zIsin60°2=2\：30—3兀

[cos()+isin(2<—，.:argZ=—(0—3兀).222C提示：y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)=3sin(x+20°)+5sin[(x+20°)+60°]提示：z=—2sin2)]..3兀21152311?——sinsin(x+20°)+cos(x+20°)=7sin(x+20。+申)<711?——sin0cos0D提示：S=1一丄sin0-丄cos0一丄(1—cos0)(1—sin0)0cos0AOAB222229．tan—sin20,當(dāng)20=兀4提示：由正弦定理得：A-9．tan—sin20,當(dāng)20=兀4提示：由正弦定理得：A-BA+Bcot,即0=-時(shí)，面積最大.2tantan0或cotsinA一sinBA—B2sinA+Bcossina+sinB2sinA+BA—Bcos.??A=B或A+B=90°10．D提示：y=1sin2210．D提示：y=1sin22xcos2x一22=sin(2x一)，則T=11．提示24>??3兀sin?=,aW(—，處??cosa=——5231貝I」tana=——，又tan(n—Q=可得tan〃=—tan2B=tan2B=1一tan2B11一(一)22tan(a一2tan(a一2B)=tana1+tana-tan2B241256提示兀3兀aU(-,),a-一兀匕(0,-),又cos(a－-)=365444245兀4冗3冗-+卩g(3-3-53-+卩）-12sin(a一)=,卩G(0,)..[,冗).sin(+卩）—■?.cos(———45444413413+卩)=兀3冗-sin(asin[(a-)+(+B)一]442兀3冗c-3冗B)+sin(a一-3--+B)=一cos['a—一)+(+B)]=一cos(a-—)-cos(—+)-sin(—444444312455656=一—X(一一)+—X—=—.即sin(a+B)=—5135136565313.1-i提示：設(shè)z=a+bi,由(3+2i)(a+bi)=3(a+bi)+3+2i，得3a-2b=3a+3,2a+3b=3b+2,2.??a=1,b=-①.

14．42,+兀332兀提示：由題意得:y=sin3x在［0,］14．42,+兀332兀提示：由題意得:y=sin3x在［0,］上的面積為324x2=33y=sin(3x—n)+1在[，-]3315答案216.解：(I)由tana+cotatana=—3或tana=1——,又32為一個(gè)半周期結(jié)合圖象分析其面積為-+K3=—得3tan2a+10tana+3=0，即3竺-<a<兀，所以tana=-—為所求.43(II)aaaa5sin2+8sincos+11cos2—82222<2sin1-cosa1+cosa5+4sina+11—822—\''2cosa=5—5cosa+8sina+11+11cosa—16=8sina+6cosacosacosa8tana+617.解：原方程化簡(jiǎn)為zI2+(z+z)i=1—i,設(shè)z=x+yi(x、yUR)，代入上述方程得x2+y2+2xi=1—i,/.x2+y2=1且2x=—1,解得x=—丄且2y=±-2???原方程的解是z=-丄土i.2218.解：(I)：°m-n=1y=±-2???原方程的解是z=-丄土i.2218.解：(I)：°m-n=1A,sinA)=1即空'3sinA—cosA=1r掲1、rn、2sinA?一cosA=1,sinA—_22丿I6丿(—1,后)?(cos丄2..兀兀5兀*.*0<A<n,—一<A——<-666nnA—=—661+2sinBcosB(II)由題知=-3，整理得sin2B—sinBcosB—2cos2B=0cos2B—sin2B??cosB工0??tan2B—tanB—2=0.tanB=2或tanB=—1而tanB=—1使cos2B—sin2B=0??tanC=tann—(A+B)]=—tan(A+B)=舍去.tanB=2tanA+tanB1—tanAtanB19解設(shè)u=sina+cos0則u2+(3)2=(sina+cos0)2+(cosa+sin)B)2=2+2sin(a+0)W411.?.u2Wl,—lWuWl即D=[—1,1],設(shè)t=\：2x+3,丁一1WxW1,1WtW、5x+10212+4當(dāng)且僅當(dāng)21=即t=^2時(shí),M

tmaxy=logM在M>0時(shí)是減函數(shù),0.5.ymin2'log=log2—log0.580.50.5此時(shí)t八2,*2x+3八‘‘2,x【挑戰(zhàn)自我】設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)21=即t=^2時(shí),M

tmaxy=logM在M>0時(shí)是減函數(shù),0.5.ymin2'log=log2—log0.580.50.5此時(shí)t八2,*2x+3八‘‘2,x【挑戰(zhàn)自我】設(shè)a,b,cABC的三邊，aWbWc，R是厶ABC的外接圓半徑，令f=a+b—2R-8Rsin—sin—sin—，試用C的大小來(lái)判定f的符號(hào)222A解：f2R(sinA+sinB—1—4sinsin2BC、—sin一22=2R[2sincosB+A—1+2(cos2_仆B—A—4Rcos(sinB——4Rcos2=2R(cos—-2(sinsinC)(2cos2由aWbWc,得AWBWC,B—Acos>cos故當(dāng)f>0時(shí),cos2C—>2當(dāng)f—0時(shí)，cos當(dāng)fvo時(shí)，cos2C一<2C

sin—)—2C

sin)—22R2RCcos—24RcosB—ACcos)sin——]2C2?！狢sin4Rsin2C一sin——)2所以O(shè)VB—AVB+A，因此cossin￡，所以2cos>2C

sin—2Csinsincos2C

一+2cosC

sin—2兀，則0VCV—2兀則c=兀則c>—2答案及點(diǎn)撥】演變1由圖得—=2,T=8,由T=4——,得①=，在y=sin(巴x+9)中令x=1,y=1,得4兀?！?9=2k兀+—42,9=2k兀+—，得9=~,選(C)演變1由圖得—=2,T=8,由T=4——,得①=，在y=sin(巴x+9)中令x=1,y=1,得4兀?！?9=2k兀+—42,9=2k兀+—，得9=~,選(C)44演變2：（解法一）由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得7<2兀2=sin(a——)=