對數在物理中的應用

1對數在物理中的應用物理學是一門精確的科學，與數學有著密切的關系。在應用物理知識解決實際問題時，一般來說都要涉及數學運算、數學推理，處理的問題愈復雜，應用的數學知識一般也愈高深。物理學中運用的數學方法最常見的有比例法、方程（組）法、數列法、函數法、幾何（圖形輔助）法、圖象法等。有一類物理情景為周期性的多過程問題，涉及的相關物理量間關系的遞推式為指數或密函數，這類問題的求解一般來說必須借助對數知識。還有，一些物理實驗的結果處理或誤差分析也常常要利用對數知識。1.應用對數知識求解指數方程有些問題的相關物理量間成指數函數或密函數，例如a一擴或“一擴，其中a、b為常數，x為未知，為求解x則必須取對數。例1〕在原子反應堆中，用石墨（碳）作減速劑使中子減速。已知碳核的質量是中子的12倍，假設中子與碳核的碰撞是彈性正碰，而且碰前的碳核都是靜止的。設碰撞前中子的動能為E0,問至少經過多少次碰撞，中子的動能才能小于10一‘E0(1913=1?114,1911=1.041)?解析:設中子的質量為m.

碳核的質量為M。碰撞前中子的速度為v0,碰撞后中子的速度為v,碳核的速度為V。根據動量守恒和機械能守恒m跳一mv+MV1碰撞一次?中子動能損失經覽一次碰撞.中子剩余的動能Ei=g■礦=*圈(器￥=(II嚴E=*尸遲經朮次樓楚后沖子剩余的動能：￡=為曲=曙產&令Eh=1Q_6Eq,即有:(|^)2Xff=10^上式為關于碰撞次數n的指數方程，取對數得：加1小-加—6解得:n一41.1所以至少要碰撞42次，10—6E0。中子的動能才小于［例2〕容積為V0一SL的容器內盛有理想氣體。若用最大容積為AV—。.11,的活塞式抽氣筒抽氣，在溫度保持不變的情況下抽氣多少次，容器內剩余氣體質量是原來的一半?(192一0.3010，195=0.6989，195.1=0.7075)解析:設容器中原有氣體的質量為倆，壓強P0，抽氣一次，整個氣體分成V0、AV兩部分，壓強由P0變到PI,以容器中原有的氣體為研究

RV■嚴如譏+0幾俵=(￡會滬匕同理，第兀次抽氣,婦 譏+△!/>譏=(卄矽)農根據克竝珀龍方程m根據克竝珀龍方程m=5?T曾得：瓷=￡=它缶將瓷=+及￡=5L3=0?1L代入上式可緡(V)B=2取對數得:n<lg5.1-Ig5)=lg2解得沖=352.應用對數知識進行非線性變換物理學中經常會遇到非線性函數關系，通過適當的坐標變換就有可能改為線性關系，其中，通過取對數的方法就是常用的一種實現非線性到線性變換的手段。例如①y?a獷，其中a、b為常數，物理量y是物理量x的密函數，在y一x坐標系中函數圖象為曲線，當我們對①取對數后可得:lgy—bl歲十lga、這樣lgy為lgx的線性函數，在lgy一lgx坐標系下，圖象為一直線，其斜率為b，縱截距為lga;又如②y?abx,其中a、b為常數，物理量y是物理量x的指數函數，在y—x坐標系中函數圖象為曲線，當我們對②取對數后可得：lgy—(lgb)x十lga，這樣lgy為x的線性函數，在lgy一x坐標系下，圖象為一直線，其斜率為lgb，縱截距為lga。［例3〕太陽系中的8大行星的軌道均可以近似看成圓軌道。下列4幅圖是用來描述這些行星運動所遵從的某一規(guī)律的圖像。圖中坐標系的橫軸是19(T/To),縱軸是19(R/Ro);這里T和R分別是行星繞太陽運行的周期和相應的圓軌道半徑，幾和R。分別是水星繞太陽運行的周期和相應的圓軌道半徑。下列4幅圖中正確的是()

解析:行星繞太陽作勻速圓周運動，由太陽施加的萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有歲'T“解:粘=鑒=常數（即開普勒第三定律兒煦以有:竟:一（壬幾取對數得：31g（^）=21g（^）,或者寫成以爐二芻1煜幾顯然也（乎）—蟲（壬）圖象為遙過坐標原點的直線，其斜率為2/3,因此，本題正確逸頊為血「例4］在“利用單擺測重力加速度”的實驗中:多次改變擺長使單擺做小角度擺動，測量擺長L及相應的周期T。然后，分別取L和丁的對數，所得到的lgT一IgL圖象為_ （填“直線”“對數曲線”或“指數曲線”）;讀得圖線與縱軸交點的縱坐標為。，由此得到該地的重力加速度g=解析:根據單擺作小角度擺動周期公式畀2江誥.取對數得唧=卻亂+址務式中兀和召為常數,故lgT故lgT-IgL瀏踐為直歩，其縱截距為尸也3.應用對數知識進行大尺度問題的壓縮我們知道，噪聲的強度用分貝作單位，而聲強的單位處理中就是典型的大尺度問題的壓縮。人類能聽到的聲強范圍很廣。例如，剛好能聽見的1000Hz聲音的聲強約W叭?而能引起耳膜壓迫痛感的聲強高達10W/m2,兩者相差1013倍。比較相差這樣多的聲強很不便,于是引人聲強級。取的聲強為標準聲強，記作I。，聲強I與標準聲強I。之比的對數稱作聲強I的聲強級，記作L: ，：l0聲強級L的單位名稱為貝［爾〕，符號為B。通常用分貝(dB)為單位，IB—10dB。這樣聲強級的公式可寫成「例別《三國演義》中有張飛喝斷當陽橋的故事。設張飛大喝一聲聲強級為140dB，如果一個士兵的喝聲聲強級為90dB，則張飛一喝相當于多少士兵同時大喝一聲?力此得：/-=100W/md,對一個士兵：90=1創(chuàng)陰:,由業(yè)得』占由業(yè)得』占AW/n/,故張飛一喝相當于10萬士兵同時大喝一聲。最后還要說明的是，本文的討論僅限中學