對(duì)數(shù)在物理中的應(yīng)用

1對(duì)數(shù)在物理中的應(yīng)用物理學(xué)是一門精確的科學(xué)，與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系。在應(yīng)用物理知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般來(lái)說(shuō)都要涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理，處理的問(wèn)題愈復(fù)雜，應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)一般也愈高深。物理學(xué)中運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法最常見(jiàn)的有比例法、方程（組）法、數(shù)列法、函數(shù)法、幾何（圖形輔助）法、圖象法等。有一類物理情景為周期性的多過(guò)程問(wèn)題，涉及的相關(guān)物理量間關(guān)系的遞推式為指數(shù)或密函數(shù)，這類問(wèn)題的求解一般來(lái)說(shuō)必須借助對(duì)數(shù)知識(shí)。還有，一些物理實(shí)驗(yàn)的結(jié)果處理或誤差分析也常常要利用對(duì)數(shù)知識(shí)。1.應(yīng)用對(duì)數(shù)知識(shí)求解指數(shù)方程有些問(wèn)題的相關(guān)物理量間成指數(shù)函數(shù)或密函數(shù)，例如a一擴(kuò)或“一擴(kuò)，其中a、b為常數(shù)，x為未知，為求解x則必須取對(duì)數(shù)。例1〕在原子反應(yīng)堆中，用石墨（碳）作減速劑使中子減速。已知碳核的質(zhì)量是中子的12倍，假設(shè)中子與碳核的碰撞是彈性正碰，而且碰前的碳核都是靜止的。設(shè)碰撞前中子的動(dòng)能為E0,問(wèn)至少經(jīng)過(guò)多少次碰撞，中子的動(dòng)能才能小于10一‘E0(1913=1?114,1911=1.041)?解析:設(shè)中子的質(zhì)量為m.

碳核的質(zhì)量為M。碰撞前中子的速度為v0,碰撞后中子的速度為v,碳核的速度為V。根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒m跳一mv+MV1碰撞一次?中子動(dòng)能損失經(jīng)覽一次碰撞.中子剩余的動(dòng)能Ei=g■礦=*圈(器￥=(II嚴(yán)E=*尸遲經(jīng)朮次樓楚后沖子剩余的動(dòng)能：￡=為曲=曙產(chǎn)&令Eh=1Q_6Eq,即有:(|^)2Xff=10^上式為關(guān)于碰撞次數(shù)n的指數(shù)方程，取對(duì)數(shù)得：加1小-加—6解得:n一41.1所以至少要碰撞42次，10—6E0。中子的動(dòng)能才小于［例2〕容積為V0一SL的容器內(nèi)盛有理想氣體。若用最大容積為AV—。.11,的活塞式抽氣筒抽氣，在溫度保持不變的情況下抽氣多少次，容器內(nèi)剩余氣體質(zhì)量是原來(lái)的一半?(192一0.3010，195=0.6989，195.1=0.7075)解析:設(shè)容器中原有氣體的質(zhì)量為倆，壓強(qiáng)P0，抽氣一次，整個(gè)氣體分成V0、AV兩部分，壓強(qiáng)由P0變到PI,以容器中原有的氣體為研究

RV■嚴(yán)如譏+0幾俵=(￡會(huì)滬匕同理，第兀次抽氣,婦 譏+△!/>譏=(卄矽)農(nóng)根據(jù)克竝珀龍方程m根據(jù)克竝珀龍方程m=5?T曾得：瓷=￡=它缶將瓷=+及￡=5L3=0?1L代入上式可緡(V)B=2取對(duì)數(shù)得:n<lg5.1-Ig5)=lg2解得沖=352.應(yīng)用對(duì)數(shù)知識(shí)進(jìn)行非線性變換物理學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到非線性函數(shù)關(guān)系，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換就有可能改為線性關(guān)系，其中，通過(guò)取對(duì)數(shù)的方法就是常用的一種實(shí)現(xiàn)非線性到線性變換的手段。例如①y?a獷，其中a、b為常數(shù)，物理量y是物理量x的密函數(shù)，在y一x坐標(biāo)系中函數(shù)圖象為曲線，當(dāng)我們對(duì)①取對(duì)數(shù)后可得:lgy—bl歲十lga、這樣lgy為lgx的線性函數(shù)，在lgy一lgx坐標(biāo)系下，圖象為一直線，其斜率為b，縱截距為lga;又如②y?abx,其中a、b為常數(shù)，物理量y是物理量x的指數(shù)函數(shù)，在y—x坐標(biāo)系中函數(shù)圖象為曲線，當(dāng)我們對(duì)②取對(duì)數(shù)后可得：lgy—(lgb)x十lga，這樣lgy為x的線性函數(shù)，在lgy一x坐標(biāo)系下，圖象為一直線，其斜率為lgb，縱截距為lga。［例3〕太陽(yáng)系中的8大行星的軌道均可以近似看成圓軌道。下列4幅圖是用來(lái)描述這些行星運(yùn)動(dòng)所遵從的某一規(guī)律的圖像。圖中坐標(biāo)系的橫軸是19(T/To),縱軸是19(R/Ro);這里T和R分別是行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑，幾和R。分別是水星繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑。下列4幅圖中正確的是()

解析:行星繞太陽(yáng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由太陽(yáng)施加的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有歲'T“解:粘=鑒=常數(shù)（即開(kāi)普勒第三定律兒煦以有:竟:一（壬幾取對(duì)數(shù)得：31g（^）=21g（^）,或者寫成以爐二芻1煜幾顯然也（乎）—蟲（壬）圖象為遙過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，其斜率為2/3,因此，本題正確逸頊為血「例4］在“利用單擺測(cè)重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中:多次改變擺長(zhǎng)使單擺做小角度擺動(dòng)，測(cè)量擺長(zhǎng)L及相應(yīng)的周期T。然后，分別取L和丁的對(duì)數(shù)，所得到的lgT一IgL圖象為_(kāi) （填“直線”“對(duì)數(shù)曲線”或“指數(shù)曲線”）;讀得圖線與縱軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。，由此得到該地的重力加速度g=解析:根據(jù)單擺作小角度擺動(dòng)周期公式畀2江誥.取對(duì)數(shù)得唧=卻亂+址務(wù)式中兀和召為常數(shù),故lgT故lgT-IgL瀏踐為直歩，其縱截距為尸也3.應(yīng)用對(duì)數(shù)知識(shí)進(jìn)行大尺度問(wèn)題的壓縮我們知道，噪聲的強(qiáng)度用分貝作單位，而聲強(qiáng)的單位處理中就是典型的大尺度問(wèn)題的壓縮。人類能聽(tīng)到的聲強(qiáng)范圍很廣。例如，剛好能聽(tīng)見(jiàn)的1000Hz聲音的聲強(qiáng)約W叭?而能引起耳膜壓迫痛感的聲強(qiáng)高達(dá)10W/m2,兩者相差1013倍。比較相差這樣多的聲強(qiáng)很不便,于是引人聲強(qiáng)級(jí)。取的聲強(qiáng)為標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)，記作I。，聲強(qiáng)I與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)I。之比的對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)I的聲強(qiáng)級(jí)，記作L: ，：l0聲強(qiáng)級(jí)L的單位名稱為貝［爾〕，符號(hào)為B。通常用分貝(dB)為單位，IB—10dB。這樣聲強(qiáng)級(jí)的公式可寫成「例別《三國(guó)演義》中有張飛喝斷當(dāng)陽(yáng)橋的故事。設(shè)張飛大喝一聲聲強(qiáng)級(jí)為140dB，如果一個(gè)士兵的喝聲聲強(qiáng)級(jí)為90dB，則張飛一喝相當(dāng)于多少士兵同時(shí)大喝一聲?力此得：/-=100W/md,對(duì)一個(gè)士兵：90=1創(chuàng)陰:,由業(yè)得』占由業(yè)得』占AW/n/,故張飛一喝相當(dāng)于10萬(wàn)士兵同時(shí)大喝一聲。最后還要說(shuō)明的是，本文的討論僅限中學(xué)