解析幾何降龍十八掌

解析幾何“降龍十八掌”湖北省漢川一中周實忠一、先從幾年的高考題看看解析幾何高考題的變化趨勢。1、近3年湖北高考解析幾何題分析：真題2014F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是他們的一個公共點，且9.已知湖北理科F1PF2,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（A）343B.23A.33C.3D.212.直線l1：y=x+a和l2：y=x+b將單位圓C:x2y21分成長度相等的四段弧，則a2b2_____2___.21.（滿分14分）在平面直角坐標系 xOy中，點M到點F1,0的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點M的軌跡為C.(1)求軌跡為C的方程(2)設斜率為k的直線l過定點p2,1，求直線l與軌跡C恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時k的相應取值范圍。（21）解：（I）設點M(x,y)，依題意，|MF||x|1，即(x1)2y2|x|1，整理的y22(|x|x)，所以點M的軌跡C的方程為y24x(x0)o,(x.0)（II）在點M的軌跡C中，記C1:y24x(x0)，C2:y0(x0)，依題意，設直線l的方程為y1k(x2)，y1k(x2)得ky24y4(21)0由方程組①y24xk當k0時，此時y1，把y11，代入軌跡C的方程得x1,1).4所以此時直線l與軌跡C恰有一個公共點(4

分析基本運算，但有較強綜合性?；具\算，但要轉化。與往年相比，難度有所下降。但求軌跡為C的方程易受拋物線定義影響出錯。第II）問回歸曲線交點個數(shù)這一課本常規(guī)問題，方法是熟的，但考分類討論能力要求較高。當時，方程①的判別式為16(221)②k0kk設直線l與x軸的交點為(x0,0)，則由y1k(x2)，令y0，得x02k1k③（i）若01x0，由②③解得k1或k.02即當k(,1)(1,)時，直線l與C1沒有公共點，與C2有一個公共點，2故此時直線l與軌跡C恰有一個公共點.（ii）若00，由②③解得k{1,1}或1k0，x0或x00022即當k{1,1}時，直線l與C1有一個共點，與C2有一個公共點.2當k[1,0)時，直線l與C1有兩個共點，與C2沒有公共點.2故當k{1,1}[1,0)時，故此時直線l與軌跡C恰有兩個公共點.22（iii）若0，由②③解得1k1或0k1x002，2即當k(11)(0,1)時，直線l與C1有兩個共點，與C2有一個公共點.22故此時直線l與軌跡C恰有三個公共點.綜上所述，當k(,1)(1,)時直線l與軌跡C恰有一個公共點；2當k{1,1}[1,0)時，故此時直線l與軌跡C恰有兩個公共22點；當k(11)(0,1)時，故此時直線l與軌跡C恰有三個公共22點.2013年湖50基本運算，北理．已知4，則雙曲線綜合考三科x2y2y2x2角預算。C1:1與C2:1的(D)cos2sin2sin2sin2tan2A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率相等21.（本小題滿分 13分）如圖，已知橢圓C1與C2的中心原點坐標O,長軸均為MN且在x軸上,短軸長分別為2m、2nm n，過原點且不與x軸重合的直線l與

解題策略明顯，入手也較易。但條件S1=S2C1、C2的四個交點按縱坐標 從大到小依次為 A、B、C、D.記,BDM和ABN的面積分別為S1、S2.nI）當直線l與y軸重合時，若S1=S2,求的值;II）當變化時，是否存在于坐標軸不重合的直線l，使得S1=S2,并說明理由.解：依題意可設橢圓C1和C2的方程分別為2222C1：x2y21，C2：x2y21.其中amn0，m1.amann（Ⅰ）解法1：如圖1，若直線l與y軸重合，即直線l的方程為x0，則S111，S21|AB||ON|1|BD||OM|a|BD|2a|AB|，所以222S1|BD|.S2|AB|在C1和C2的方程中分別令x0，可得yAm，yBn，yDm，于是|BD||yByD|mn1|AB||yAyB|mn.1若S1，則1，化簡得2210.由1，可解得S2121.故當直線l與y軸重合時，若S1S2，則21.

需轉化。第（II）問的轉化更進一層，要把“是否存在于坐標軸不重合的直線 l”的“形”轉化為斜率 K有 解 的“數(shù)”的問題。（Ⅱ）解法1：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1S2.根據(jù)對稱性，不妨設直線l：ykx(k0)，點M(a,0)，N(a,0)到直線l的距離分別為d1，d2，則因為d1|ak0|ak，|ak0|ak，所以d1d2.1k2d21k21k21k2又111，21|AB|d2，所以S1|BD|，即|BD||AB|.S2|BD|dS2S2|AB|由對稱性可知|AB||CD|，所以|BC||BD||AB|(1)|AB|，|AD||BD||AB|(1)|AB|，于是|AD|1①|BC|.1將l的方程分別與C1，C2的方程聯(lián)立，可求得xAam，xBan.a2k2m2a2k2n2根據(jù)對稱性可知xCxB，xDxA，于是|AD|1k2|xAxD|2xA222makn2.②|BC|2xC|2xB2k2m1k|xBna從而由①和②式可得a2k2n21.③a2k2m2(1)令t(1，則由mn，可得t1，于是由③可解得k2n2(2t21).1)a2(1t2)因為k0，所以k20.于是③式關于k有解，當且僅當n2(2t21)0，a2(1t2)等價于(t21)(t210.由1，可解得11，2)t即1(11，由1，解得12，所以1)當112時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1S2；當12時，存在與坐標軸不重合的直線l使得S1S2.2012年湖14.如圖，雙曲線基本運算，北理的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為綜合性較強。科1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2。若以A12為直徑的圓內切于菱形F1122，切點分BABFB別為A，B，C，D。則（Ⅰ）雙曲線的離心率 e=__ 5 1____；2（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值___ 5 2_______。221.（本小題滿分13分）字母較多，運設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l算較復雜，但與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。當所有條件的應點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C。用基本是直譯（I）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點坐標；式（直接用坐（Ⅱ）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它標表示）在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由。三年湖北解析幾何題比較， 2013最難。2、2014全國新課標卷Ⅱ解析幾何題分析2014年10.設F為拋物線C:y23x的焦點，過基本運算全國F且傾斜角為30°的直線交，代入法課標卷C于A,B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（D）ⅡA.339363D.9B.C.4832416.設點M（x0,1），若在圓O:x2y21上存在點基本運算，數(shù)形N，使得∠結合，但要轉OMN=45°，則x0的取值范圍是1,1化。20.（本小題滿分12分）回歸到課本問設F1,F2分別是橢圓C:x2y21ab0的左,右焦點，M是C題，但在綜合運a2b2用MF2與x軸上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.垂直及（Ⅰ）若直線MN的斜率為3，求C的離心率；MN5F1N4（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且MN5F1N，求a,b.時要善于轉化。解：（I）根據(jù)ca2b2及題設知M(c,b2),2b23aca將b2a2c2代入2b23ac，解得c1,c2（舍去）a2a故C的離心率為1.2（Ⅱ）由題意，原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0,2) 是線段MF1的中點，故b24，即ab24a①由MN5F1N得DF12F1N。設N(x1,y1)，由題意知y10，則2(cx1)cx13c,2y12，即2y11代入C的方程，得9c211。4a2b2將①及ca2b2代入②得9(a24a)114a24a解得a7,b24a28，故a7,b27.因為明年（2016年）湖北高考將使用全國卷，結合 2014年全國新課標解析幾何題特點預測，今年湖北解析幾何題仍將是 2小題1大題。試題特點也和 2014年湖北題類似，小題考基本運算（綜合，轉化等） ，大題回歸常規(guī)問題（交點，長度，面積，方程等等） ，回避經(jīng)典定點定值問題。二、解析幾何“降龍十八掌” ：1、熟練掌握基本運算問題解法：我們把求直線、圓錐曲線的方程、離心率、曲線交點、漸近線等較簡單問題統(tǒng)稱為圓錐曲線基本運算問題。基本運算要弄清三點：算什么（如垂直就算數(shù)量積或斜率。 。。這里?？嫁D化——形向數(shù)轉化） ；怎么算（解析法的核心是坐標，坐標又通過方程聯(lián)系在一起，所以 運算的核心就是消元（也可以說是化簡）——加減消元、代入消元、整體運算消元） ；算出來的是什么（參數(shù)較多時、有時的中間結果都需要結合題目的要求對算出來的結果適時理解轉化。如2013年湖北21題第2問）。2、解析幾何大題的第一問還是基本運算題。下面著重談談第二問解法：①兩個策略：點策略（點差法，點在曲線上，連點成線，先點后線） ；線策略（設直線方程，代入整理，判別式，設點坐標，韋達定理，先直線后點） 。②兩種思維模式：直譯式（按題目敘述的先后順序，直接把條件用坐標表示） ；優(yōu)先式（跟直譯式不同，優(yōu)先利用題目中的關鍵條件突破） 。③兩類數(shù)形轉化：位置關系（平行，垂直，對稱，共線，共圓，定點等）的坐標表示；幾何量（斜率，截距，長度，面積，離心率，數(shù)量積，坐標等）的坐標表示。④兩種心態(tài)：一不怕，解析幾何題并不可怕，第 1問一般會做，可得 4分左右；二要精打細算，第二問按套路認真書寫有價值的過程，拿過程分，爭取再拿3分。合起來7分左右就不差了，按自己的實際能力定位，不要苛求自己。⑤兩條訓練方法：先看往年真題（選擇