六年級(jí)寒假春季2015-春季班培優(yōu)

第一 線與角入門引言：預(yù)備下學(xué)期的幾何初步，是幾何的章節(jié)，豐富多概念以及圖形屬性，是今后繼續(xù)深入學(xué)習(xí)幾何的前提。角角1.1），2）直線：點(diǎn)無休止的按照同一方向及其相反方向運(yùn)動(dòng)而成的軌跡（無始無終平面內(nèi)直線有三種位置關(guān)系平行：兩直線永無交點(diǎn)稱為平行。射線：點(diǎn)無休止的按照同一方向運(yùn)動(dòng)而成的軌跡。（有始無終（另外，規(guī)定聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的線段的長度叫做兩點(diǎn)之間的兩點(diǎn)之間，線段將一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)叫做這條線段的中3）角的靜態(tài)定義：幾何之父歐幾里得曾定義角為在平面中兩條不平行的直線的相對(duì)斜度。普羅克魯斯認(rèn)為角可能是一種特質(zhì)、一種可量化的量、或是一種關(guān)系。歐德謨認(rèn)為角是相對(duì)一直線的偏差，安提阿的卡布斯認(rèn)為角是二條相交直線之間的空間。角的分類：7弧度制等。銳角（acuteangle）：大于0°，小于90°的角叫做銳角。直角（rightangle）：等于90°的角叫做直角。鈍角（obtuseangle）：大于90°而小180°的角叫做鈍角。平角（flatangle）：等于180°的角叫做平角。優(yōu)角（reflexangle）：大于180°小于360°叫優(yōu)角劣角（Inferiorangle）0°小于180°叫做劣角，銳角、角周角（roundangle）：等于360°的角叫做周角角的記法：AOC頂點(diǎn)寫在中間）當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)處不止一個(gè)角時(shí)用此法。O一個(gè)角時(shí)用此法。用數(shù)字表示，例：∠1。直接在角上標(biāo)識(shí)，方便識(shí)別1角的平分線若角一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則該點(diǎn)在這個(gè)角的角平分角的基本屬性：刻度線對(duì)齊角的一邊，角的另一邊所指的刻度就是角的大小?；诮嵌瓤啥攘?，故角與角之間可以進(jìn)行“和、差、倍”等運(yùn)算，這是對(duì)角進(jìn)行尺規(guī)作圖的依據(jù)。1度角的定義，把一個(gè)周36011°的60之1記作“1′1°＝60′1′的60分之一為1秒，記作“1″”，即 對(duì)稱性。角具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是角的角平分線所在的直線互余及互補(bǔ)互余指兩角之90°時(shí)，這兩個(gè)角稱為互為余角，簡稱“互余”。如30°和60°互余。重要結(jié)論：同角（等角）的余角相等。互補(bǔ)指兩角之和為180°時(shí)，這兩個(gè)角稱為互為補(bǔ)角，簡稱“補(bǔ)”。如30150°互補(bǔ)。重要結(jié)論：同角（等角）的補(bǔ)角相等定義:一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成北（南）偏東（西）××度。度量：南、假定北南而有真方向角、磁方向角、假定方向角之名稱正西：北偏西90度或者南偏西90度東北：北偏東45度 西北：北偏西45度東南：南偏東45 西南：南偏西45尺規(guī)作注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛．以下基本尺規(guī)作圖法屬于中考必須掌握方法段．作法：①先畫射線MN．線段AC就是所要作的線段．求作：∠A′O′B′，使作法：①作射線O為圓心，以任意長為半徑作弧OACOB③以點(diǎn)O′為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交O′A′④以點(diǎn)C′為圓心，以CD為半徑作弧，交前⑤經(jīng)過點(diǎn)D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作線段的垂直平分線．24-4-3，已知線段

1兩弧相交于點(diǎn)C和②作直CD就是AB的垂直平分注意：CD線段AB交點(diǎn)，就是AB點(diǎn)．(4)經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線．

的長為半徑作弧a．經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線，如圖24-4-已知：直ABAB一點(diǎn)C，求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C．作法：作平角ACB的平分線24-4-5，已知：直線ABAB外一C．求作：AB的垂線使它經(jīng)過點(diǎn)作法：①任意取一點(diǎn)K，使K和CAB1點(diǎn)④作直CF就是所求的垂線

的長為半徑作弧，兩弧注意：段垂直平分線的方法解決．(5)平分已知角如圖24-4-6，已求作：射線OC，使OAOB上，分別截OD、1兩弧交于點(diǎn)③作射

的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)第一節(jié)線盛唐詩人作品里有一首《古從》，此詩以漢喻唐，借。，造嗎？線由點(diǎn)“筑”，它乃是幾何之基。一起學(xué)習(xí)線的性【例題精講】A：中考要一）選擇題如果點(diǎn)B段AC上，點(diǎn)C段BD上，那么有 點(diǎn)B段CD B點(diǎn)C段AB B、C點(diǎn)均段AD D以上都不以下畫圖語句錯(cuò)誤的是 畫點(diǎn)C，過點(diǎn)C畫直ABC的直畫直線a，在a畫兩G、H，過H直b，則得到G線a外、直線b上下列說法:①一根拉的很緊的細(xì)線就是直線；②直線的一半是起點(diǎn)與終點(diǎn)的距離是3000有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短.其中正確的個(gè)數(shù)是 下列說法中錯(cuò)誤的是 A．A、B兩點(diǎn)之間的距離為3cm 段AB的長度C．線段ABCA、B距離相等D．A、B點(diǎn)之間的距離是線段AB由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點(diǎn)”的是 （A）AP=1 （C）AP＝PB（D）AP＝PB=1 下列說法中，正確的有 ①過兩點(diǎn)有且只有一條直 ②連結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)的距 ④若AB＝BC，則點(diǎn)B是線段AC的 若點(diǎn)B直線AC，下列表達(dá)式AB1AC2AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是線段AC的中點(diǎn)的有 B．2 C．3 D．4如果在一條直線上得到10條不同的線段，那么在這條直線上至 A B C D二）填空題1.線有個(gè)端點(diǎn)，2.圖，直線有有條.條，射線條，線 C在第2題圖中，AD+BD>AB，理由 點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線段BD的中點(diǎn)，若CD=1cm,則 已知線段AB，延長ABCAC＝2BC，反向延長ABD，AD＝1BC，那么2

已知點(diǎn)A、B、C三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，若線段AB=8，BC=5，則線段AC= AB＝12.6cmCBA的延長線上，AC＝3.6cm，MBC中點(diǎn)，則AM的長 三）解答題如圖，點(diǎn)C段AB上，AC=8cm，CB=6cm，點(diǎn)M、N分AC、BC的中點(diǎn).求線段MN的長； 若C線AB任一點(diǎn)，滿足ACCBacm，其它條件不變，求線段MN的長.若C段AB的延長線上，AC=8cm，CB=6cm，M、N分AC、BC的中點(diǎn)MN的長.若C段AB的延長線上，且滿足AC-BC=bcm，M、N分已知線AC的長度能否確定？若能確定，請(qǐng)求出AC的長度；若不是否存在使A、C之間距離最短的情形？若存在，請(qǐng)求出AC的你能比較BA＋BC與AC段AB中任取一點(diǎn)，得到（）條線段段AB中任取兩點(diǎn)，得到（）條線段段AB中任取三點(diǎn)，得到（）條線段段AB中任取四點(diǎn)，得到（ 段AB中任取n點(diǎn)，得到 ）條線四）尺規(guī)已知線AB，畫出它的中點(diǎn) 已知線段a、b（a>b），作一條線段，使它等于2abab已知線段a、b、c，用直尺和圓規(guī)畫線段a1b3c2 B：自招要一）AC=2M，N別AB，AC點(diǎn)MN長度.羊群從A出發(fā)，到河邊飲水后，折到B處放牧吃草．請(qǐng)問，飲水處應(yīng)設(shè)在河流的什么位置，從AB2055邊可以圍成一個(gè)五邊形，如圖3．問其中最長的一段的取值范圍.如圖4.有一組裝的長方體禮品盒，兩個(gè)相鄰面上有A，B兩點(diǎn)，現(xiàn)要從A點(diǎn)沿面拉一裝飾線到B點(diǎn)．問應(yīng)怎樣拉線用線最??？134n一條直線可以將平面分成兩部分，兩條直線最多可以將平面分成四部分，那么三條直線最多可以將平面分成幾部分？n部分？如圖，數(shù)出各條線上線段的總條數(shù)先閱讀下面的材料，然后解答問題A2（P） 甲P乙甲乙丙 （看成一條直線）有依次排列的nn1個(gè)候車站臺(tái)，要設(shè)置一個(gè)P，使這n個(gè)站臺(tái)到P的距離總和A2（P） 甲P乙甲乙丙 如圖①，如果直線上有2個(gè)候車站臺(tái)（甲、乙）很明顯P設(shè)在A1A2之間的任何地方都行,因?yàn)榧缀蚉距離之和等A1到A2的距離.如圖②,如果直線上3個(gè)候車站臺(tái)(甲、乙、丙)時(shí)，不難判斷，P設(shè)在中間一個(gè)候A2處最合適PA2處，甲和丙P的距離之和A1A3的距離P例如D處，那么甲和丙分別到P的距離之和仍是A1到A3的距離，乙還得走從A2D段距離，這是多出來的PA2處是最臺(tái)與3站臺(tái)之間的5個(gè)候車站臺(tái)，P應(yīng)設(shè)3問題（1）：有n個(gè)候車站臺(tái)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在何處？的最C：競賽要?jiǎng)t線段AB的所有可能長度的和為多少？從縣城P出發(fā)的一條直線公路兩旁共有10（水從縣城引出），縣城A的距30米，其余各村之間的距離如圖7-14所示，現(xiàn)有粗細(xì)不同的兩種水管可以選用，粗管是供8000細(xì)管每千米2000把粗管和細(xì)管適當(dāng)搭配、互相連接，需的總費(fèi)用平面上77點(diǎn)中的任點(diǎn)必存在2點(diǎn)有線段相連．問至少要連多少條線段?證明你的第二節(jié)《小池小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上頭《小池》是宋朝詩人楊創(chuàng)作的七言絕句。詩人寥寥幾筆喻對(duì)現(xiàn)實(shí)世界新生事青睞。過精選例題幫助深刻認(rèn)識(shí)角何特征及代數(shù)運(yùn)算法則?！纠}精講】A：中考要一）角的初步認(rèn)知例1、如下圖所示，寫出所有以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的角 以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角 12例2、如圖， 有多少個(gè)角例3、如下圖所示，把圖中用數(shù)字表示的角，改用大寫字母表示分CCDB CCDB 345∠BOC(填>,=,<);用例5、如圖,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD與∠BOC的關(guān)系是 B.∠AOD<∠BOC;C.∠AOD=∠BOCD.無法確例6、如圖，設(shè)∠AOB=∠α，∠BOC=∠β，∠COD=∠γ。那么(1)∠ =∠γ- 第6題 第7題例7、，∠AOB=m°，∠COD=n°，那么∠AOD+ 例8、如圖，若∠AOB=∠COB=∠DOC，進(jìn)行下列填空 例9、如圖，已知∠AOB=62°，∠1=(3x-2)°，∠2=(x+8)°；求∠1、∠2的度數(shù).10、AOBCOD90AOD150，求BOD的度數(shù)CCBOADAOB=2∠BOC,求∠AOC度數(shù).二）角的平分線例1、 ∠BDC;(3)如果BD是∠ADC的平分線，則∠ADB= =2∠ 例1 例22、如圖，若∠AOB是直角，OM分∠BOC，ON平分∠AOC，則MON于例3、，OD、OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線，∠AOD=40°，∠BOE=30°，求∠AOB的度數(shù)。4、如圖BOD90AOD38,OCAOB的平分線，COD的度數(shù)5、如OB和射OE分別是∠AOC∠DOF角平分線，已知∠BOE=m°，∠COD=n°，試用含有m、n的式子表示∠AOF的度例1、填空角角的余角的補(bǔ)EC12OEC12O則圖中互余的角共 對(duì) 例4、如右圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥BC，則圖中與∠A相等的角共有( )個(gè).5、兩個(gè)角的比為7：3，它們的72°，則這個(gè)角的關(guān) 其和為150°例6、一個(gè)角的補(bǔ)角的2倍與它的余角的2倍的和等于一個(gè)平角， 7、如圖,∠COD180°,AO⊥OE,∠AOC2∠DOE，求∠AOC度1=40°，求∠2與∠3的度數(shù)。三）角的度量單位1、（1）°°2、計(jì)算：（1）53°28′+47°32′（2）17°50′- （4）31°42′÷5（精確（7）360°÷7（精確到例3、如下圖，分別確定四個(gè)城市相應(yīng)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)山堑?12點(diǎn)整始,至少再過多少時(shí)間,分針與時(shí)針再一次重合6、鐘表的時(shí)針與分針在4點(diǎn)多少分第一次重合四）方向角問題并畫出相應(yīng)的圖形，確定出A、B、C三點(diǎn)的1cm表示3m)．并從圖上求出B點(diǎn)到C點(diǎn)的實(shí)際距離.2、如果從AB方向?yàn)楸逼珫|25°，那B看A方向 A.南偏東 B.南偏西 C.南偏東25°D.南偏西時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°,則結(jié)果指針的指向什么方向？例4、隊(duì)從營地P處出發(fā)，沿北偏東60°前進(jìn)了5千米到達(dá)地，再沿東南方向前進(jìn)到達(dá)C地，C地恰好在P地的正東方向．∠PAC、∠ACP的度5、如圖，OA的方向是北偏15°,OB的方向是西偏50若∠AOC=∠AOB，則OC的方向 OD是OB的反向延長線,OD的方向 作∠BOD的平分線OE,并用方位角表示OE的方向 在(1)、（2）、（3）的條件下，求∠COE6、有一張地圖（如圖）A、B、C地，但地圖被墨跡污損，C地具置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏東30°，在B地的南偏東45°，你能確定C地的位置嗎？例7、如圖,三角形ABC中,AB=AC,延長CA,用量角器量∠B、∠C、BAD用你得出的結(jié)論和猜想的關(guān)系解決下列一暗礁邊緣有一標(biāo)志C在燈塔B北偏西80°的方向上,與B的距離30輪船從燈塔30A處出發(fā),若航行方向是45避開暗礁嗎?說明理由.北AACB B：自招要例1、（1）數(shù)一數(shù)圖中的圖①有 角；圖③有 （2）從（1）中你找到一種數(shù)圖④中角的個(gè)數(shù)的規(guī)律嗎2、如圖，過O7條直求證：以O(shè)為頂點(diǎn)的角中必有一個(gè)小于例3、如圖，∠A1OA11是一個(gè)平角，∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A5OA4-∠A4OA3=…=∠A11OA10-∠A10OA9=2°，求 的度數(shù)例4、（1）現(xiàn)有一個(gè)19°的“模板”（如圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)法，只用這個(gè)“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來？在紙上畫出一個(gè)1°的角來？用一個(gè)21°的“模板”與鉛筆，能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？對(duì)于（2）、（3）果不能，請(qǐng)你說明理由．例5、如圖是一個(gè)3×3的正方形，則圖中∠1+∠2+∠3+…+∠9DCB例6、，∠EOA=90°，∠BOD=450，那么不大于900的角有DCBE 例7、下午六時(shí)多外出買東西，出門時(shí)看手表，發(fā)現(xiàn)表的時(shí)針和分針的夾角為1100，七時(shí)前回家時(shí)又看手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針的夾角仍是1100．那么此人外出多少分鐘?C：競賽要1、，兩角互余=3x+6=4y+14°，x,y整數(shù)，例2、已知直角∠AOB，以O(shè)為頂點(diǎn)，在∠AOB的畫出100條射線，則以O(shè)A、OB及這些射線為邊的銳角共有多少個(gè)？若以O(shè)為項(xiàng)點(diǎn)，在∠AOB的畫出幾條射線（n≥1的自然數(shù)，則OA、OB以及這例3、一塊老式“牌”手表，其時(shí)針和分針每隔65分鐘重合一次，那么這只手表一晝夜后顯示的時(shí)間比真實(shí)時(shí)間是快了還是慢了？并計(jì)算出誤差時(shí)間？（單位：分鐘） 兩條直線被第三條第二 相交線與平行引言：本章是上一章的有機(jī)延續(xù)，相交與平行作為平面（ ）幾何中線的兩大位置關(guān)系，將一直伴隨今后幾何的學(xué)習(xí)，掌握好平行線的性質(zhì)及其判定乃本章的重中之重，并領(lǐng)悟常見的輔助線添法則是學(xué)好幾何的關(guān)鍵。兩條一、知兩條 兩條直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，稱之為相交。相交線“衍生”出某些特定角，如鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角，有一種特殊的相交叫垂直。鄰補(bǔ)角：（同角）的補(bǔ)角（余角）相等。對(duì)頂角對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等垂線：ABD垂直于D”。注：兩直線的夾角范圍是大于0°且不大于90°。在平面內(nèi)，過直線上或直線外的一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條。即，過一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直垂直平分線，簡稱中垂線。這個(gè)點(diǎn)到直線的距離。如果一個(gè)點(diǎn)在直線l上，那么就說這個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為零。的關(guān)系，使得平行線間距處處相等。而飛來一條與他們都相交的“截線”，則可以煥發(fā)出平行背景下的位置角的性質(zhì)。認(rèn)識(shí)三大類位置角（三線八角同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角（源于兩條直線AB、CD被直線EF所截）同位角：兩個(gè)角都在截l的同旁，又分別處在直線AB、CD相同一側(cè)的位置，具有這樣關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角。如∠57，∠2與∠4等。內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角在截l的兩旁，又在直線AB、CD之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。如∠3與∠6，∠2與∠7。CD之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫同旁內(nèi)角。如∠7與∠6，∠2與∠3。2)平行線性平行線的基本性1經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行2平行線之間的距離處處3平行于同一條直線的兩直線平行。（平行的傳遞性 同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行5兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離是距離處處相等。平行線搭配截線產(chǎn)生位置角后的性質(zhì)1兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相2兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相3兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角3）平行線的四種判定方法依據(jù)平行的傳遞性，可反證平行。注：目前的平行一般指的是二位平面背景下的情重要補(bǔ)充：三角形的內(nèi)角和為三角形的外角和為三角形的一個(gè)外角等于與之不相鄰的內(nèi)角N邊的凸多邊形內(nèi)角和為（N- ，外角和為第一 相交本節(jié)專門研究相交下的特殊角對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角。同時(shí)垂【例題精講】A：中考要1、判（1）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等。>（2>如果兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對(duì)頂角。>如果兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等。如果兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角不是對(duì)頂角。>>2、下列各圖中，∠l和∠2 3、如圖，其中鄰補(bǔ)角共有BBD 4、BO⊥AO，∠BOC與∠BOA的度數(shù)之比為1:5，那么°,∠BOC的補(bǔ)角 °5、如果一個(gè)角的余角是35o16′16″，那么它的補(bǔ)角°例6、已知點(diǎn)A，與點(diǎn)A的距離是5cm的直線可畫 A.1條 B.2條 C.3條 D.無數(shù)條例7、如圖,AC⊥BC,∠CDB=900,線段AC、BC、CD中最短的是 A. B. C. D.確例8、下列說法錯(cuò)誤的 一條線段有無數(shù)條垂線段的中垂線有且只有分成兩個(gè)角，且∠BOE：∠EOD=2：3，求EOD的度數(shù)。10、在直線AB上任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O畫一條射OC，再分別B：自招要例1、n條相交與一點(diǎn)的直線，有 例2、如圖∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿＿＿，3、如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們之間有網(wǎng)線相聯(lián)以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A結(jié)點(diǎn)B遞信息，信息可以分開沿不同，的路線同時(shí)傳遞，由單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（ 例4、如圖中的大、小正方形的邊長均為整數(shù)(厘米)，它們的面積之和等于74平方厘米。則陰影三角形的面積是 例5、，凸四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)。若三角形AOD的面2，三角COD的面積1，COB面積4，則四ABCD的面積是()（A）16（B）15（C）14C：競賽要例1、如圖，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，點(diǎn)O段HF上，使得四邊形AEOH9，則四邊形OFCG的面積是O OEG F第二 平行豐富了數(shù)學(xué)的探究和趣味性。今后學(xué)習(xí)的特殊四邊形、能熟練證明平行并利用平行性當(dāng)然何時(shí)添加平行線亦是門【例題精講】A：中考要例1.對(duì)于圖中標(biāo)記的各角，下列條件能夠推理得到a∥b的 例2.如圖，已知a∥bl分別與a、b相交，下列結(jié)論的 B. C. D.例3.如圖，梯子的各條橫檔互相平行，若∠1=70o，則∠2的度 112 例4.如圖，AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E，則∠C等于 BCBC 例5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20∠CAE的度C C 例6.如圖，l∥m，∠1＝115o，∠2＝95o，則 例7.如圖，直線AB∥CD，∠A＝70，∠C＝40，則∠E E 例8.將一副三角板如圖放置，使點(diǎn)A在DE上，BC∥DE，則∠AFC的EAEAF 例9.如圖，已知直線AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，則∠C的度數(shù)為（ D．100EEDC 10.如圖AB∥CDEFAB于E，EF交CD于F，已知160，2 1F21F2 11.如圖，直線PQ∥MN，CMN上一點(diǎn)，CEPQA，CF于B，且∠ECF＝90，如果∠FBQ＝50°，則∠ECM的度數(shù)為 B．50°C．40°EF EF 例12.課間把老師的三角板的直角頂點(diǎn)放在黑板的兩條平行線a、b上，已知∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（ A.45° B.35° 例13.若a⊥c，b⊥c，則 例14.如圖，已知∠C=100°，若增加一個(gè)條件，使得AB//CD， 例15.如圖，推理填空（1）∵∠A （已知 EE1F23 （2）∵∠2 （已知 （3）∵∠A 180°（已知 （4）∵∠2 180°（已知 例16.如圖,已知∠1=∠2=∠3=62°，則4 例17.如圖，BC⊥AE，垂足為C，過C作CD∥AB．若∠ECD=48°則∠ CBCBDA例18.如圖，直線l1∥l2被直線l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°， 3321P例19.，直線a、b被c、d所截，且ca,cb,170，則2 20.如圖，C島在A島的北偏東50o方向，C島在B島的北偏西方向，則從C島看A，B兩島的視角∠ACB等 例21.，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，則∠E的度數(shù) 22.如圖，已知∠1=∠2，需添加什么條件可以得到AB∥CD立？23.如圖，已知∠1=∠2，DE,BF分別平分∠ADC和∠ABC∠ADC=∠ABC，試說明AB∥CD的理24.如圖，∠DA，∠B∠FCB，求證ECEC BA25.如圖，∠1∶∠2∶∠32∶3∶4∠AFE=120°，寫出圖中平行的直線，并說明理由F1F12E3 E 27.如圖，已知∠ABEDEB180°，∠12，求證B1B1CFGD2EB：自招要例1.如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，1，2，3的大小關(guān)系．33 例2．,已知AB∥CD,分別探索下列四個(gè)圖形中∠P與∠C的關(guān)系,。請(qǐng)你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以說明PA PAB

3.如圖，若AB//EF，∠C=90°，求x+y-z度數(shù)CxyCxyz 例4AC∥BDABAC、BDAB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)線上各點(diǎn)不屬于.PPA、PB，構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角.(提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°)（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，試說明∠APB＝∠PAC＋∠PBD成立的理當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成(直接回答成立或不成當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第③部分時(shí)，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)點(diǎn)P的具置和相應(yīng)的結(jié)論.選擇其②①B④D②BP④①D②①B④D③ ②①B④D②BP④①D②①B④D例5.實(shí)驗(yàn)證明,平面鏡反射光線的規(guī)律是:射到平面鏡上的光線和被反射出的光如圖,一束光線m射到平面鏡a上,被a反射到平面鏡b上,又被bb反射出的光線n與光線m平行,且∠1=50°,則 在(1)中,若∠1=55°,則 °;若∠1=40°,則 由(1)、(2),請(qǐng)你猜想:當(dāng)兩平a、b的夾角∠3=°時(shí),可以使任何射到平面鏡a上的光線m,經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射射光線m與反射光線n平行.你能說明理由嗎?11ma32bn6.兩條平行直線上各有n個(gè)點(diǎn)，用n對(duì)點(diǎn)按如下的規(guī)則連接①平行線之間的點(diǎn)在連線段時(shí)，可以有共同的端點(diǎn)，但不能有其它交②符合①要求的線段必須全部畫出1展示n=1此時(shí)圖中三角形的個(gè)2展示n=2時(shí)的一種情況，此時(shí)圖中三角形當(dāng)n=3時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出使三角形個(gè)數(shù)最少的圖形，此時(shí)圖中三角形的 試猜想當(dāng)n當(dāng)n=2015C：競賽要1.知如圖①，求如圖②，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．(3)如圖求例2.平面內(nèi)N條直線兩兩相交，求證：所有相交產(chǎn)生的角中°個(gè)不大 個(gè)數(shù)為33個(gè)，試畫出符合條件的大致圖形并加以說明。做n條直線與另外一組對(duì)邊平行，則圖 第三 三角引言：三角形一章在平面幾何中占有十分重要的地位。從知識(shí)來看，許多內(nèi)容應(yīng)用十分廣泛，可以解決一些簡單的實(shí)際問題；從證題方法來看，全等三角形的知識(shí)，為提供了一個(gè)及為方便的工具，通過證明全等，解決證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等，從而解決平行、垂直等問題。因此，它揭示了研究封閉圖形的一般方法，為以后的學(xué)習(xí)提供了研究的工具。因此，在學(xué)習(xí)中應(yīng)該多總結(jié)，多歸納，使知識(shí)更加系統(tǒng)化，解題方法更加規(guī)范，從而提高的解題能力。一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖章知識(shí)點(diǎn)詳?shù)男再|(zhì)，從線段和角兩個(gè)維度剖析。三角形中的幾條重要線邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線稱為邊，一個(gè)三角形有三條邊之差小于第三邊。此定理揭示非任意三條線段都能組成三角形即有：三角形的兩邊之差小于第三高由三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。三角形三條交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫垂角形只有一個(gè)垂心。中角形三條中線必交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫重心。垂心的位置必在三角形內(nèi)部。一個(gè)三角形只有一個(gè)重心。角平分三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線與這個(gè)角對(duì)邊的交點(diǎn)和這個(gè)角的頂點(diǎn)之間線段稱為三角形的角平分線。三角形三條角平分線必交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫內(nèi)心。內(nèi)心的位置必在三角形，一個(gè)三角形只有一個(gè)內(nèi)重要補(bǔ)充：三條邊的垂直平分線（）心。一個(gè)三角形只有一個(gè)外心。心。它到三角形三邊的距離相等。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心（每條邊對(duì)應(yīng)一個(gè)）。有關(guān)旁心的幾何考題往往和角平分線的性質(zhì)與判定密不可分，此處需要了解。“垂心、重心、內(nèi)心、外心”即為三角形的心在三角三角形中涉及的內(nèi)180°。外360°。外角三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角重要補(bǔ)充：多邊形內(nèi)角和定理：多邊形外角和定理：多邊形的外角和為三角形的兩種分1銳角三角形：即每個(gè)內(nèi)角均為銳角的三角形2直角三角形：即有一個(gè)內(nèi)角為直角的三角形。直角所對(duì)的邊3鈍角三角形：即有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形按邊長之間的數(shù)量關(guān)系分為1不等邊三角形：三邊互不相等的三角2等腰三角形：至少有兩條邊相等的三角形。細(xì)分為三邊相等的等腰三角形叫等邊三角形或正三角 等腰三角形

等邊三角形性質(zhì) 等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等．（簡寫：等邊對(duì)等角（此性質(zhì)的作用：可證明同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等2：等腰三角形的頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊.重合．（三線合一）（此性質(zhì)的作用：可證明角相等，線段相等或線段垂直性質(zhì)3：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角平分線性質(zhì)4：等腰直角三角形的兩個(gè)底角都等于45性質(zhì)5：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為直角或鈍角，6：等腰三角形兩底角的平分線相等；等腰三角形兩腰上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等.等邊三角形是特殊的等腰三角形，除了上述性質(zhì)，等邊三角形特有60°，三邊相等，四心合一等，其質(zhì)頗豐。故屬于平面幾何熱點(diǎn)考點(diǎn)。未知三角形的形狀探究求出內(nèi)角角依據(jù)余弦定理。即先將三條邊長平方，求出、 1出現(xiàn)任意兩個(gè)平方相加都大于剩下的平方，則三角形為銳角三角形。比如三邊為2,2,1，定是銳角三角形。2出現(xiàn)平方相加小于剩下的平方的情況時(shí)，三角形為鈍角三角形。比如三邊為2,2,3，定是鈍角三角形。3出現(xiàn)平方相加等于剩下的平方的情況時(shí)，三角形為直角三角形。比如三邊為3、4、5，定是直角三角形。注：對(duì)一個(gè)三角形形狀刻畫時(shí)通常既要考慮角的度數(shù)情況，也要考邊間數(shù)關(guān)。如含45°角的直角三角形，稱之為等腰直角三角形，而非直角三角形。特殊三角形的邊邊數(shù)量關(guān)系（牢記一般的直角三角形：+ 30°角的直角三角形：三邊從小到大比為：1：45角的120°的等腰三角形，底是腰的倍頂角為36°的等腰三角形，底是腰 倍三角形中涉及的幾何不在解決這類問題時(shí)，經(jīng)常要用些教科書中已學(xué)1在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小定理2三角形內(nèi)任一點(diǎn)到兩頂點(diǎn)距離之和，小于另一頂點(diǎn)到定理3三角形的一個(gè)外角大于與之不相鄰的任一內(nèi)定理4同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，反之亦定理5在兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形中，第三邊大的，所對(duì)的定理7在△ABC中，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，有定理8 =a 三角形全等的判定和性作后能夠完全重合在一起，那么這兩個(gè)三角形稱之為全等三角形。用符號(hào)“”表示。重合的點(diǎn)稱之為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，重合的邊稱之為對(duì)應(yīng)邊，重合的角稱之為對(duì)應(yīng)角。一般三角形的判定方式有四種：(S表示邊，A表示角兩邊和他們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等兩角和他們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等直角三角形（Rt△）直角三角形形全等.(簡寫為:HL),其中:H是hypotenuse(斜邊)的縮寫,L是leg(直角邊)的縮寫.HLS.S.S全等的證明思路往往呈多樣化態(tài)勢，但是是證明三角形全等的要素必須同時(shí)具備。如上述判定中都涉及邊的元素，當(dāng)知道兩組邊對(duì)應(yīng)相等且一組角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，需要特別注意：不是夾角時(shí)不可判定全等（Rt△除外。全等三角形的性對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相對(duì)應(yīng)邊上的中線、高、角平分線相等周長相等，面積相等評(píng)：正因?yàn)榻柚糠衷乜梢宰C整體全等，所以往往利用全等的思想先證明要求證的某兩個(gè)元素所在的三角形全等，達(dá)到間接證明的目的。這是學(xué)習(xí)全等的最大意圖。三角形全等添加輔助線口訣人說幾何很，難點(diǎn)就在輔助線，還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)，圖中有角平分線，可向兩邊引垂線，也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)，角平分線平行線，等腰三角形來添，角平分線加垂線，三線合一試試看，線段垂直平分線，常向兩邊把線連，要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)，三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線，三角形中有中線，延長中線等中線。第一 三角形及其性數(shù)吧？正確讀法為：湖上朣朣兔魄幽，光明忽散一天秋。馥郁桂芬云外落，朦朧山色鏡中收。完美結(jié)合體，性質(zhì)頗豐，變化甚多，而解題手法卻有律可循！今后復(fù)雜的幾何圖形基本都可回歸到三角形情境，可利用三角形里簡單而原始的方法去認(rèn)知和加工。故學(xué)好三角形這章，其意義絕不僅是現(xiàn)在，而是遙遠(yuǎn)的未來！【例題精講】A：中考要在三角形ABC中，C90,A50，則B 在三角形ABC中，若A:B:C1:2:3,則AB 三角形的三邊為1，1a，9，則a的取值范圍 一個(gè)三角形的兩邊分別是2厘米和9厘米，第三邊長是一個(gè)奇數(shù)， 厘米.(1)如果將一個(gè)三角形的三邊的長確定，那么這個(gè)三角形的形狀和大小就不會(huì)改變了，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫 (2)四邊形是否具有這種性ABC沿著DE1+2=80O，則 紙片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)（如圖，若∠1＝200，則∠2的度數(shù)為 1234123433124 在三角形中，最大的角的取值范如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=3050，則 ABC和ACB的平分線BDCE相交于點(diǎn)OA50BOC已知一個(gè)三角形中兩條邊的長分別是a、b，且ab，那么這個(gè)三角形的周長L的取值范圍是（ A、3aL B、2(ab)LC、 D、3abLa如圖，在△ABC中，C90。，EF//AB,150。,則B的度數(shù)為（ 50 B.60 C.30 D.40CECEF1如圖，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，點(diǎn)D在BC的延長線上，則∠ACD等于 A. B. C. D.A 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為25°，則該三角形 A．32.5°B．57.5°C．65°或 D．32.5°或已知△ABC的一個(gè)外角為50°則△ABC一定是 銳角三角 B．鈍角三角C．直角三角 D．鈍角三角形或銳角三角如圖，已知ABCBAC90，ADBCD，EAD點(diǎn)。求證BEDC.如圖，⊿ABC，∠A40°，∠B72°，CEAB于D，DF⊥CE，求∠CDF度數(shù)⊿ABC中，∠ABC、∠ACBD（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，則∠BDC （2）若∠ABC+∠ACB=116°，則∠BDC （3）若∠A=76°，則∠BDC （4）若∠BDC=120°，則∠A 你能找出∠A與∠BDCD1D12 B：自招要如 AB=x，AC=y,AD=z若以ABCD別B點(diǎn)C轉(zhuǎn)A和D重合組成三角形，下列不等式哪些必須滿足？(選擇①x<z②y<x+z③y<222如圖求角A，B，C，D，E，F(xiàn) N NMEF 如圖 度如圖 度如圖△ADE中，∠ADE＝140且AB＝BC＝CD＝DE，則 度有一個(gè)五角星ABCDE，你能說明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°嗎△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引種不同的進(jìn)行對(duì)比試BE,CEABC外角MBC,∠NCB角平分線,求:∠E與∠A的關(guān)系。求:∠F與∠A的關(guān)系。推廣：如圖：∠ABC與∠ACG的平分線交于F1；∠F1BC與∠F1CG的平分線交F2F2BCF2CG平分線交于F3；…探究∠Fn與∠A的關(guān)系（n為自然數(shù)）。已知三角形三邊為正整數(shù)，分別為x,y,z，他們滿足方程：已知等腰三角形的腰和底都是正整數(shù)，且三角形周長為2015，MAEG如圖，AOB是一鋼架，且∠AOB=10°，為使鋼架更加堅(jiān)固，需在其添加一些EF、FG、GH……添加的長度都與OE相等，則最多能添加這樣的多少根？MAEG 任意一個(gè)凸12任意12邊形的銳角個(gè)數(shù)最多有幾C：競賽要如圖，直角ABC的周長為2008，在其有五個(gè)小直角三角形， 向一個(gè)三角形內(nèi)加20052008個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形三個(gè)小精靈住在平面上的不同地點(diǎn)，它們的行走速度分別為每時(shí)1千米、2千米和3千米。試問，應(yīng)當(dāng)在什么位置選擇一個(gè)會(huì)面地點(diǎn)，使得它們由住處（沿直線）如圖，△ABC中，BM，BN三等分∠ABC，CM，CN三等分∠ACB，∠A=54°，求∠BNM度數(shù)A、B、C、D是一個(gè)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，在ABCD所在平面上求一點(diǎn)P，使得PA＋PB＋PC＋PD最小。(簡述理由)求證：第二 三角形全等判定和性三角形全等判定指依據(jù)已知條件（）可，即元素等價(jià)。故三全等判定和性質(zhì)二者相輔相【例題精講】A：中考要AE=BF，AD∥BC，AD=BC，則有 ，且DFDFE △ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF， 如果△ABC≌△DEF，△DEF∠B，則 如圖，△ABC≌△ADE，則 ．若∠BAE=120°，∠BAD=40，則 D△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30．如圖,的滑梯中有兩個(gè)長度相等的梯子（BC=EF），左邊滑梯的高度AC等于右邊滑梯水平方向的長度DF，則∠ABC+∠ FECFE D（第5題 （第6題如圖，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E、若AC//DB，且AC=DB，則△ACE≌△BDF，根若AC//DB，且AE=BF，則△ACE≌△BDF，根若AE=BF，且CE=DF，則△ACE≌△BDF，根若AC=BD，AE=BF，CE=DF。則△ACE≌△BDF，根若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），則△ACE≌△BDF，根如圖知：∠1=∠2∠3=∠4BD=CD先證≌△AEC,根據(jù) 再證 ,根據(jù)．如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，E.F是BD上兩點(diǎn)，且BF＝DE，則圖有 如圖，沿AM折疊，使D點(diǎn)落在BC上的N點(diǎn)處，如果AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=30°，則AN= 第9 第10 第11如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則△BDE與△CDF的關(guān)系是 如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則∠ABC的大小是 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則這個(gè)等腰三 已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm，并且它的周長16cm．這個(gè)等腰三角形的邊長 如圖，在△ABC中，AC=BC，BD是∠ABC的平分線，且BD＝DC，則∠C的度數(shù)為 AADEDED EDE （第1