2023年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編-等邊三角形

等邊三角形1、〔2023涼山州〕如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，那么以AC為邊長的正方形ACEF的周長為〔〕 A．14 B．15 C．16 D．17考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：根據(jù)菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16，應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AC的長．2、〔2023?自貢〕如圖，將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個(gè)底面是正三角形的棱柱，這個(gè)棱柱的側(cè)面積為〔〕A．B．9C．D．考點(diǎn)：剪紙問題；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質(zhì)．3718684專題：操作型．分析：這個(gè)棱柱的側(cè)面展開正好是一個(gè)長方形，長為3，寬為3減去兩個(gè)三角形的高，再用長方形的面積公式計(jì)算即可解答．解答：解：∵將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個(gè)底面是正三角形的棱柱，∴這個(gè)正三角形的底面邊長為1，高為=，∴側(cè)面積為長為3，寬為3﹣的長方形，面積為9﹣3．應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了剪紙問題的實(shí)際應(yīng)用，動(dòng)手操作拼出圖形，并能正確進(jìn)行計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵．3、〔2023?雅安〕如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，以下結(jié)論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正確結(jié)論有〔〕個(gè)．A．2B．3C．4D．5考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：通過條件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設(shè)EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE再通過比擬大小就可以得出結(jié)論解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等邊三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF〔HL〕，∴BE=DF，①正確．∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°②正確，∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，及CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．③正確．設(shè)EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=x，∴AC=，∴AB=，∴BE=﹣x=，∴BE+DF=x﹣x≠x，④錯(cuò)誤，∵S△CEF=，S△ABE==，∴2S△ABE==S△CEF，⑤正確．綜上所述，正確的有4個(gè)，應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答此題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵．4、〔2023?十堰〕如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，那么下底BC的長為〔〕A．8B．9C．10D．11考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．3718684分析：首先構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．解答：解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，∴cos60°===，解得：BF=1.5，故EC=1.5，∴BC=1.5+1.5+5=8．應(yīng)選：A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，根據(jù)得出BF=EC的長是解題關(guān)鍵．5、〔2023?牡丹江〕如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，那么以下結(jié)論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BN=PC．其中正確的個(gè)數(shù)是〔〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．3718684分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；先證明△ABM∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷②正確；先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點(diǎn)，得出BN=PB=PC，判斷④正確．解答：解：①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正確；②在△ABM與△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正確；③∵∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2〔∠BCN+∠CBM〕=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等邊三角形，正確；④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∵CN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P為BC邊的中點(diǎn)，∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形∴BN=PB=PC，正確．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6、(2023?遵義〕如圖，將邊長為1cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動(dòng)〔不滑動(dòng)〕，點(diǎn)B從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長度為〔〕A．cmB．〔2+π〕cmC．cmD．3cm考點(diǎn)：弧長的計(jì)算；等邊三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3718684分析：通過觀察圖形，可得從開始到結(jié)束經(jīng)過兩次翻動(dòng)，求出點(diǎn)B兩次劃過的弧長，即可得出所經(jīng)過路徑的長度．解答：解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠AC〔A〕=120°，點(diǎn)B兩次翻動(dòng)劃過的弧長相等，那么點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長=2×=π．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了弧長的計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，得到點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑，注意熟練掌握弧長的計(jì)算公式．7、〔2023臺(tái)灣、23〕附圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重迭情形，其中D、E兩點(diǎn)分別在AB、BC上，且BD=BE．假設(shè)AC=18，GF=6，那么F點(diǎn)到AC的距離為何？〔〕 A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，交GF于K，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BDE=60°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出AC∥DE，再根據(jù)正方形的對(duì)邊平行得到DE∥GF，從而求出AC∥DE∥GF，再根據(jù)等邊三角形的邊的與高的關(guān)系表示出KH，然后根據(jù)平行線間的距離相等即可得解．解答：解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，交GF于K，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD=BE，∴△BDE是等邊三角形，∴∠BDE=60°，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE，∵四邊形DEFG是正方形，GF=6，∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF，∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，∴F點(diǎn)到AC的距離為6﹣6．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的對(duì)邊平行，四條邊都相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的高線等于邊長的倍，以及平行線間的距離相等的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8、〔2023菏澤〕我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩局部的直線叫做該平面圖形的“面線〞，“面線〞被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑〞〔例如圓的直徑就是它的“面徑〞〕．等邊三角形的邊長為2，那么它的“面徑〞長可以是，〔或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)〕〔寫出1個(gè)即可〕．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)．專題：新定義；開放型．分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，〔1〕最長的面徑是等邊三角形的高線；〔2〕最短的面徑平行于三角形一邊，最長的面徑為等邊三角形的高，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑．解答：解：如圖，〔1〕等邊三角形的高AD是最長的面徑，AD=×2=；〔2〕當(dāng)EF∥BC時(shí)，EF為最短面徑，此時(shí)，〔〕2=，即=，解得EF=．所以，它的面徑長可以是，〔或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)〕．故答案為：，〔或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)〕．點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，弄明白面徑的定義，并準(zhǔn)確判斷出等邊三角形的最短與最長的面徑是解題的關(guān)鍵．9、〔2023?鐵嶺〕如圖，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，那么CD的長為1.6．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3718684分析：由將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可證得△ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2，那么可求得答案．解答：解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=3.6，∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6．故答案為：1.6．點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比擬簡單，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10、〔2023?宜昌〕如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點(diǎn)，AE=AF，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接DE，DF．〔1〕請(qǐng)你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由；〔2〕連接EF，假設(shè)AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長．考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1〕由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；〔2〕首先連接EF，由AE=AF，∠A=60°，可證得△EAF是等邊三角形，那么可求得線段EF的長．解答：解：〔1〕菱形．理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF，∴四邊形AEDF是菱形；〔2〕連接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等邊三角形，∴EF=AE=8厘米．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比擬簡單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11、〔2023?天津〕如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，那么AE的長為7．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．3718684分析：先根據(jù)邊長為9，BD=3，求出CD的長度，然后根據(jù)∠ADE=60°和等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABD∽△DCE，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得CE的長度，即可求出AE的長度．解答：解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，那么=，即=，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．故答案為：7．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得△ABD∽△DCE是解答此題的關(guān)鍵．12、〔2023聊城〕如圖，在等邊△ABC中，AB=6，D是BC的中點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，那么線段DE的長度為．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．分析：首先，利用等邊三角形的性質(zhì)求得AD=3；然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)推知△ADE為等邊三角形，那么DE=AD．解答：解：如圖，∵在等邊△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，∴AD=ABcos30°=6×=3．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°，∴△ADE的等邊三角形，∴DE=AD=3，即線段DE的長度為3．故答案是：3．點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．13、〔2023?德州〕如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，以下結(jié)論：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正確的序號(hào)是①②④〔把你認(rèn)為正確的都填上〕．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷④的正誤．解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等邊三角形，∴AE=AF，∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF〔HL〕，∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①說法正確；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②說法正確；如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAD≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③說法錯(cuò)誤；∵EF=2，∴CE=CF=，設(shè)正方形的邊長為a，在Rt△ADF中，a2+〔a﹣〕2=4，解得a=，那么a2=2+，S正方形ABCD=2+，④說法正確，故答案為①②④．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點(diǎn)麻煩．14、〔2023?黃岡〕△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，那么DE=．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．3481324分析：根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．解答：解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，∵BD為中線，∴∠DBC=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠E+∠CDE=∠ACB，∴∠E=30°=∠DBC，∴BD=DE，∵BD是AC中線，CD=1，∴AD=DC=1，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD==，即DE=BD=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長．15、〔2023?黔西南州〕如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，那么∠E=15度．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．分析：根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．解答：解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案為：15．點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中．16、(2023年廣東湛江)如圖，所有正三角形的一邊平行于軸，一頂點(diǎn)在軸上．從內(nèi)到外，它們的邊長依次為，頂點(diǎn)依次用表示，其中與軸、底邊與、與、均相距一個(gè)單位，那么頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是．解析：考查正三角形的相關(guān)知識(shí)及找規(guī)律的能力。由圖知，的縱坐標(biāo)為：，，而的橫坐標(biāo)為：，由題意知，的縱坐標(biāo)為，，容易發(fā)現(xiàn)、、、、、這些點(diǎn)在第四象限，橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，、、、、、的下標(biāo)2、5、7、、92、有規(guī)律：，是第31個(gè)正三角形〔從里往外〕的右端點(diǎn)，17、〔2023福省福州19〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔﹣2，0〕，等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD．〔1〕△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，那么平移的距離是個(gè)單位長度；△AOC與△BOD關(guān)于直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是；△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DOB，那么旋轉(zhuǎn)角度可以是度；〔2〕連結(jié)AD，交OC于點(diǎn)E，求∠AEO的度數(shù)．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：〔1〕由點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔﹣2，0〕，根據(jù)平移的性質(zhì)得到△AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位得到△OBD，那么△AOC與△BOD關(guān)于y軸對(duì)稱；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠AOC=∠BOD=60°，那么∠AOD=120°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB；〔2〕根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以O(shè)E為等腰△AOD的頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE垂直平分AD，那么∠AEO=90°．解答：解：〔1〕∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔﹣2，0〕，∴△AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位得到△OBD；∴△AOC與△BOD關(guān)于y軸對(duì)稱；∵△AOC為等邊三角形，∴∠AOC=∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB．〔2〕如圖，∵等邊△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB，∴OA=OD，∵∠AOC=∠BOD=60°，∴∠DOC=60°，即OE為等腰△AOD的頂角的平分線，∴OE垂直平分AD，∴∠AEO=90°．故答案為2；y軸；120．點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)．18、〔2023?湖州〕如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．〔1〕求BC的長；〔2〕求證：PB是⊙O的切線．考點(diǎn)：切線的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理．分析：〔1〕首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，那么可求得BC的長；〔2〕由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC=60°，∠CBP=30°，那么可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線．解答：〔1〕解：連接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC=OC=2；〔2〕證明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°，∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，∴OB⊥BP，∵點(diǎn)B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線．點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19、〔2023?萊蕪〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE．〔1〕證明DE∥CB；〔2〕探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：〔1〕首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE=AB=AE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進(jìn)而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB；〔2〕當(dāng)AC=或AB=2AC時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形．假設(shè)四邊形DCBE是平行四邊形，那么DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進(jìn)而得到∠B=30°，再根據(jù)三角函數(shù)可推出AC=或AB=2AC．解答：〔1〕證明：連結(jié)CE．∵點(diǎn)E為Rt△ACB的斜邊AB的中點(diǎn)，∴CE=AB=AE．∵△ACD是等邊三角形，∴AD=CD．在△ADE與△CDE中，，∴△ADE≌△CDE〔SSS〕，∴∠ADE=∠CDE=30°．∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°．∴DE∥CB．〔2〕解：∵∠DCB=150°，假設(shè)四邊形DCBE是平行四邊形，那么DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．∴∠B=30°．在Rt△ACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC．∴當(dāng)AC=或AB=2A