測(cè)量結(jié)果不確定度評(píng)定

評(píng)定不確定度的一般流程X1

,

X

2

, ,

XNY

f

X1

,

X

2

,,

XN

Xiu

xi

u

xi

,

x

j

Y

Up或ylow

,yhigh

y和u(y)Up

或ylow

,yhigh

第五節(jié)

評(píng)定輸入量，標(biāo)準(zhǔn)不確定度，協(xié)方差一、由數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析獲得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度和協(xié)方差最佳估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度i,2i,n

。i

的PDF可看作是的縮放位移分布n

-

1

ii對(duì)于輸入量i，在重復(fù)性測(cè)量條件下獲得個(gè)示值i,1度為2i

的最佳估計(jì)值i

為i

i最佳估計(jì)值ii

相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為i例質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)對(duì)某個(gè)砝碼形式)(單位：的質(zhì)量的6個(gè)估計(jì)值(重復(fù)示值的)：,算術(shù)平均值i實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差i的最佳估計(jì)值及其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為ii

合并標(biāo)準(zhǔn)偏差在同一個(gè)測(cè)量中，獲得四個(gè)或以上的值并不總是切實(shí)可行的，或者是不可能的在許多日常測(cè)量中，比如在相同的條件下，使用性能比較良好的測(cè)量系統(tǒng)實(shí)施校準(zhǔn)，每次只能獲得兩個(gè)或三個(gè)重復(fù)示值，有時(shí)只有一個(gè)示值。這種情況下仍然可以使用算術(shù)平均值來(lái)作為i

的最佳估計(jì)值，但相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度就不能由公式in

-

3

nn-1

s

i

獲得。合并標(biāo)準(zhǔn)偏差可利用測(cè)量系統(tǒng)性能的歷史知識(shí)來(lái)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。這方面的知識(shí)通常以合并標(biāo)準(zhǔn)偏差p

的形式表示。合并標(biāo)準(zhǔn)偏差p

表示測(cè)量系統(tǒng)的期望的性能，p一般從足夠多的，比如 ，重復(fù)示值評(píng)定得到，這些示值是系統(tǒng)先前運(yùn)行期間獲得的，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間間隔它p

通常是測(cè)量系統(tǒng)所帶有的一個(gè)特定特性。在這種情況下，i

相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為ip

pp預(yù)評(píng)估重復(fù)性測(cè)量的重復(fù)性是各種隨機(jī)影響量影響的綜合結(jié)果，是衡量測(cè)量系統(tǒng)性能的一個(gè)重要技術(shù)指標(biāo)。重復(fù)性的評(píng)定通常是指：在重復(fù)性條件下對(duì)被測(cè)件進(jìn)行多次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)，由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。在日常開(kāi)展同一類(lèi)被測(cè)件的常規(guī)檢定、校準(zhǔn)或檢測(cè)工作中，如果測(cè)量系統(tǒng)穩(wěn)定，測(cè)量重復(fù)性不變則可用該測(cè)量系統(tǒng)，以與測(cè)量被測(cè)件相同的測(cè)量程序、操作者、操作條件和地點(diǎn)，預(yù)先對(duì)典型的被測(cè)件的被測(cè)量，進(jìn)行

p

次測(cè)量（一般

p

不小于10），由 公式計(jì)算出單個(gè)測(cè)得值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差

i，表示測(cè)量系統(tǒng)的期望的性能

p

,即重復(fù)性，

p i

。預(yù)評(píng)估重復(fù)性在實(shí)際中，對(duì)某個(gè)被測(cè)件測(cè)量時(shí)可以只測(cè)量p次(

，以

次測(cè)量的算術(shù)平均值作為被測(cè)量的最佳估計(jì)值i，i

相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為ip

pp【例】某

對(duì)某一電流量進(jìn)行了n＝10次獨(dú)立的重復(fù)測(cè)量，測(cè)量值列于下表。①如不計(jì)其他不確定度來(lái)源，估計(jì)最佳值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度②在同一系統(tǒng)中在以后做單次（n′＝1）測(cè)量，測(cè)得值x＝46.6mA，求該次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)。③在同一系統(tǒng)中在以后做3次（n′＝3）常規(guī)測(cè)量，3次測(cè)量次數(shù)12345678910平均值測(cè)得值(mA)46.446.546.446.346.546.346.346.446.446.446.393的算術(shù)平均值為x

42.4

42.3

42.5

42.4

mA，求該次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x

)?！窘狻縤①計(jì)算最佳估計(jì)值ni

＝

1

2

n

i=

1由公式計(jì)算得到單次測(cè)量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差n2

＝i=

1最佳估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為n

-

1

s(

x)

10

-

1

0.074

n

-

3

n

10

-

3

10【解】續(xù)對(duì)于單次測(cè)得值x＝46.6mA，其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為,其相關(guān)的標(biāo)對(duì)于3次測(cè)量的平均值準(zhǔn)不確定度為例為測(cè)定固定污染源排放的二氧化硫氣體濃度，技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)HJ/T57-2000要求：在被測(cè)工況負(fù)荷達(dá)到要求的情況下，對(duì)同一工況連續(xù)進(jìn)行＝次測(cè)定，取其平均值作為測(cè)得量值。33，

3，次測(cè)得值為3

為了確定重復(fù)性所引起的不確定度，試驗(yàn)人員對(duì)某鍋爐煙氣二氧化硫排放濃度進(jìn)行了＝

次測(cè)量，測(cè)得量值見(jiàn)下表。求這3次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

。進(jìn)行n＝20次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的測(cè)得值次數(shù)12345678910測(cè)得值(mg/m3)104106106108109111111111113113次數(shù)11121314151617181920測(cè)得值(mg/m3

)111113117117116115115114113113平均值(mg/m3

)c-

=

1

I2020cii=1=

111.8實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差(mg/m3

)s(c)

=120

一1

I20i=1ci

一c-2

=3.70解］對(duì)于 ＝

次測(cè)量，被測(cè)量的最佳估計(jì)值為：mmg/m3公式計(jì)算的實(shí)i］=1事先進(jìn)行n＝20次測(cè)量，應(yīng)用驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為202

mg/m3i=

13次測(cè)量平均值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為mg/m3用測(cè)量過(guò)程的合并標(biāo)準(zhǔn)偏差評(píng)定對(duì)一個(gè)測(cè)量過(guò)程，若采用核查標(biāo)準(zhǔn)和控制圖的方法使測(cè)量過(guò)程處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，核查標(biāo)準(zhǔn)是指用來(lái)代表被測(cè)對(duì)象的一種相對(duì)穩(wěn)定的儀器、產(chǎn)品或其他物體。它的量限、準(zhǔn)確度等級(jí)都應(yīng)接近于被測(cè)對(duì)象，而它的穩(wěn)定性要比實(shí)際的被測(cè)對(duì)象好。核查標(biāo)準(zhǔn)本身也應(yīng)進(jìn)行校準(zhǔn)和確認(rèn)。用測(cè)量過(guò)程的合并標(biāo)準(zhǔn)偏差評(píng)定2］］p］對(duì)一個(gè)測(cè)量過(guò)程，采用核查標(biāo)準(zhǔn)和控制圖的方法使測(cè)量過(guò)程處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，若第j次核查時(shí)測(cè)量次數(shù)

丿（

度為丿），每丿次核查時(shí)的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為

，共核查次，測(cè)量過(guò)程的合并標(biāo)準(zhǔn)偏差sp：m

m］=1］=1用測(cè)量過(guò)程的合并標(biāo)準(zhǔn)偏差評(píng)定p］若每次核查的

度相等（即每次核查時(shí)測(cè)量次數(shù)相同），則合并標(biāo)準(zhǔn)偏差為m2］=1標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定在過(guò)程參數(shù)p

已知的情況下，由該測(cè)量過(guò)程對(duì)被測(cè)量在同一條件下進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)，以算術(shù)平均值為最佳估計(jì)值，最佳估計(jì)值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：p在以后的測(cè)量中，只要測(cè)量過(guò)程受控，則由上式可以確定測(cè)量任意次時(shí)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。若只測(cè)一次，即，則VV

-

2p］m］=1在規(guī)范化的常規(guī)檢定、校準(zhǔn)或檢測(cè)中評(píng)定合并標(biāo)準(zhǔn)偏差規(guī)范化的常規(guī)測(cè)量是指計(jì)量檢測(cè)機(jī)構(gòu)的測(cè)量按照檢定規(guī)程、校準(zhǔn)規(guī)范或測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)時(shí)期地測(cè)量同一類(lèi)被測(cè)件例如使用同一個(gè)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)或測(cè)量?jī)x器在相同條件下檢定或測(cè)量示值基本相同的一組同類(lèi)被測(cè)件的被測(cè)量時(shí)，評(píng)定其中一件被測(cè)件的測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。例用同一個(gè)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)裝置對(duì)標(biāo)稱(chēng)值為的一批10個(gè)砝碼進(jìn)行校準(zhǔn)，對(duì)每個(gè)砝碼重復(fù)測(cè)量4次（ ），共測(cè)了10個(gè)砝碼（到10組測(cè)得值丿i(；）,得)，數(shù)據(jù)見(jiàn)下表(單位：kg)這是一種常規(guī)的砝碼計(jì)量校準(zhǔn)，以4次測(cè)量的平均值為每個(gè)砝碼的校準(zhǔn)值。計(jì)算每個(gè)砝碼校準(zhǔn)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。砝碼號(hào)i12345678910j=110.0110.0310.0210.0110.0210.0310.0110.0110.0310.01j=210.0210.0110.0410.0110.0410.0210.0310.0410.0110.02j=310.0310.0110.0110.0210.0110.0310.0210.0210.0110.04j=410.0110.0210.0210.0310.0210.0110.0410.0210.0310.01i12345678910x-i10.0210.0210.0210.0210.0210.0210.0310.0210.0210.02si0.0100.0100.0100.0130.0100.0140.0150.0120.0120.014spsp

=s2

i

=

0.012kg10標(biāo)準(zhǔn)v

一1

s30

一1不確u(x-i

)=v

一3pn

=30

一3x

0.012/4

=

0.006kg定度i，其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)所以，每個(gè)砝碼校準(zhǔn)值為不確定度為0.006

kg。穩(wěn)健估計(jì)在示值中若懷疑存在離群值，則可采用穩(wěn)健估計(jì)。i位置的一個(gè)穩(wěn)健估計(jì)值是所有示值的中位數(shù)i,］尺度的一個(gè)穩(wěn)健估計(jì)(作為標(biāo)準(zhǔn)偏差）為，其中 為偏離中位數(shù)的偏差的絕對(duì)值的中位數(shù)，即i

的最佳估計(jì)值

i

為i

ii,］最佳估計(jì)值i

相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為i例--天然氣分析中異戊烷峰面積天然氣的氣相色譜中異戊烷峰面積的7個(gè)估計(jì)值中位數(shù)為與中位數(shù)的偏差的絕對(duì)值分別為這些偏差的絕對(duì)值的中位數(shù)為例--天然氣分析中異戊烷峰面積中位數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)偏差為的最佳估計(jì)值為最佳估計(jì)值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為二、由其他知識(shí)獲得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度和協(xié)方差其他知識(shí)需要考慮的相關(guān)信息包括以前測(cè)量的數(shù)據(jù)；對(duì)有關(guān)技術(shù)資料和測(cè)量?jī)x器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)；生產(chǎn)廠提供的技術(shù)說(shuō)明書(shū)；校準(zhǔn)

、檢定

或其他文件提供的數(shù)據(jù)；手冊(cè)或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)；?的知識(shí)應(yīng)用某種原理，利用這樣的信息構(gòu)造相關(guān)輸入量的PDF應(yīng)用不同的原理可得到不同的分布，相應(yīng)的期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差也不相同。其他知識(shí)---上下限如果對(duì)于某個(gè)量，

，即量，僅知其下限為，上限為位于給定的區(qū)間上下限為

和

的矩形PDF

可作為

的PDF的最佳估計(jì)值和其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為最大熵原理利用最大熵原理確定PDF的基本思想：在一定的已知條件下求得的PDF中，信息熵最大的

PDF包含了最多的已知信息，此時(shí)的PDF最接近于真實(shí)分布已知條件可以是給定不同階中心矩或在給定區(qū)間上PDF非零XPDF

可充分表征有關(guān)量X的不完全認(rèn)識(shí)，為了能利用可用信息獲得該P(yáng)DFX，泛函X

X根據(jù)可得信息給出的約束條件下達(dá)到最大。最大熵原理舉例---均勻分布如果對(duì)于某個(gè)量，僅知其下限為，上限為，，則其PDF的歸一化條件為bXa引入信息熵X

XS.t.Xba結(jié)合Lagrange乘子法，得到ba最大熵原理舉例---均勻分布baL

根據(jù)極值條件，即ag

X

(()

，則XX-

1

-

入

Xb又a，所以1b

-

aX其它例---砝碼的質(zhì)量根據(jù)

1

級(jí)砝碼對(duì)一個(gè)名義值為

的砝碼進(jìn)行檢定1

級(jí)砝碼的最大允許誤差為檢定

表明，有關(guān)砝碼的質(zhì)量的知識(shí)內(nèi)的矩形分布可用一個(gè)在區(qū)間描述。該P(yáng)DF的期望為，標(biāo)準(zhǔn)偏差為，其則該砝碼

的最佳估計(jì)值為相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為例—顯示設(shè)備的分辨力，所有的數(shù)字認(rèn)為都一設(shè)備顯示的值是是正確的只要修約正確，位于和之間的任何值都顯示出相同的值沒(méi)有其他進(jìn)一步的信息，上下限為和 的矩形PDF

可用來(lái)表征該輸入量的知識(shí)。因此，該設(shè)備的分辨力相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為在使用矩形分布時(shí)，假設(shè)其端點(diǎn)是準(zhǔn)確的。盡管這可能在實(shí)踐中并不適用，但對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定的影響是比較小的。例表明電壓

位于

區(qū)間內(nèi)。沒(méi)有有關(guān)的其他信息，僅知其區(qū)間端點(diǎn)的大小是某個(gè)數(shù)值正確四舍五入的結(jié)果。每個(gè)端點(diǎn)的大小都位于區(qū)間

內(nèi)，，這是由于區(qū)間(0.05，0.15)內(nèi)任意數(shù)值修約到一位有效數(shù)字都為0.1。區(qū)間的位置是固定的，而區(qū)間的寬度則無(wú)法確定?！扒€(xiàn)梯形”P(pán)DF可作為的PDF曲線(xiàn)梯形分布曲線(xiàn)梯形分布的期望和方差分別為，

a+b b

-

a

22

12d

29本例中，，為根據(jù)

，的最佳估計(jì)值為相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度0.2

20.05

212

9時(shí)，即上下限準(zhǔn)確下的標(biāo)準(zhǔn)不確定而度為上下限準(zhǔn)確下得到的

比上下限

確下的

小4%其他知識(shí)—最佳估計(jì)值和不確定度校準(zhǔn)

以不同方式提供了有關(guān)量

的信息給定最佳估計(jì)值和其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分布，則期2望為可和作標(biāo)為準(zhǔn)偏的差PD為F。

的給定最佳估計(jì)值，擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)不確定度p，p

p

p以及包含概率，則期望為和標(biāo)準(zhǔn)偏差為2p

的

分布

可作為的PDF，p

為對(duì)應(yīng)的包含因子。例--不銹鋼質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)校準(zhǔn)校準(zhǔn)上標(biāo)稱(chēng)值為1kg的不銹鋼砝碼的實(shí)際質(zhì)量s

為1000.000

32g，在2倍的標(biāo)準(zhǔn)偏差水平上其相關(guān)的不確定度為s

的PDF為期望1000.000

32g，標(biāo)準(zhǔn)偏差s

的最佳估計(jì)值的s關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為分布。1000.000

32g,

s

相srel

s相應(yīng)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度-

8例—電阻器的校準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)電阻校準(zhǔn)

上給出標(biāo)稱(chēng)值為器的電阻

s

在

為s同時(shí)說(shuō)明包含概率p=99％。s

的最佳估計(jì)值為ss

的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為srel

s相應(yīng)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度-

6例—長(zhǎng)度測(cè)量機(jī)械師在測(cè)量零件尺寸時(shí)，估計(jì)其長(zhǎng)度以50％的概率落在

至，并給出了長(zhǎng)度之間。的最佳估計(jì)值為的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為最大估計(jì)值，擴(kuò)展不確定度，包含因子和有效

度如果有關(guān)X量的信息來(lái)自于校準(zhǔn)

給出的eff最佳估計(jì)值，擴(kuò)展不確定度p，包含因子。p，以及有效

度學(xué)生氏分布V

e

f

fp中

p

。的最佳估計(jì)值為，2

可作為的PDF,其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為e

f

fe

f

f例上給出標(biāo)稱(chēng)值為的砝碼的實(shí)際質(zhì)校準(zhǔn)量為

為95，并給出了

相關(guān)的擴(kuò)，有效

度e

f

f展不確定度。查分布表得到p

95的最佳估計(jì)值為相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為p

p e

f

f e

f

f正弦周期變化如果已知變量在下限為，上限為，之間正弦周期變化，相位

未知上下限為和的反正弦PDF的PDF可作為的最佳估計(jì)值和其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為總結(jié)可獲信息PDFx

和u(x)可獲得獨(dú)立來(lái)自于正態(tài)分布，但期望、方差均未知的n個(gè)測(cè)量值，算術(shù)平均值Q-,標(biāo)準(zhǔn)偏差s縮放位移t分布t

n

-

1

Q-,

s

2?

nxi

=

Q-u

x

=

n

一

1

si

n

一3

n上下限為a和b矩形分布R(a,b)x

=

a

+

b2u

x

=b

一a12最佳估計(jì)值x

和標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)分布N

x,u2

xxu(x)最佳估計(jì)值x，擴(kuò)展不確定度Up，包含因子kp，以及有效度v

e

f

f

(>2)縮放位移t分布t

V

eff

x,

a2a

=

Up

?

kpxu

x

=a v

e

f

f

?

v

e

f

f

一2上下限為a，b之間正弦周期變化反正弦U(a,b)x

=

a

+

b2u

x

=b

一a

8三角分布三角分布有時(shí)可選擇用來(lái)表征已知上下限，的某個(gè)輸入量，且相信位于區(qū)間中點(diǎn)的可能性比其他位置的可能性要高。的最佳估計(jì)值和其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為半寬度相同的兩個(gè)矩形分布的卷積是三角分布例--定容誤差化學(xué)檢測(cè)的定容誤差，歐洲分析化學(xué)中心(EURACHEM)認(rèn)為可用三角分布表征。制造商給出A級(jí)100mL單標(biāo)線(xiàn)容量瓶的允差為容量的最佳估計(jì)值為相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

b

-

a

24梯形分布梯形分布有時(shí)可選擇用來(lái)表征已知上下限， 的某個(gè)輸入量

，且相信

位于區(qū)間 中心部分的可能性比其他位置的可能性要高。梯形分布可看作是位于矩形分布和三角分布之間的中間情況。它與參數(shù)有關(guān)，等于梯形上底寬度和區(qū)間長(zhǎng)度之比。

的最佳估計(jì)值

和其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

分別為x

=

a

+

b22 1

?

2矩形分布的類(lèi)型矩形分布是有界的，符合下列條件之一者，一般可以近似地估計(jì)為均勻分布：數(shù)據(jù)修約導(dǎo)致的不確定度；數(shù)字式測(cè)量?jī)x器對(duì)示值量化(分辯力)導(dǎo)致的不確定度；測(cè)量?jī)x器由于滯后、摩擦效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度；按級(jí)使用的數(shù)字儀表、測(cè)量?jī)x器最大允許誤差導(dǎo)致的不確定度；用上、下界給出的線(xiàn)膨脹系數(shù)；測(cè)量?jī)x器度盤(pán)或齒平衡指示器調(diào)零差引起的不確定度；導(dǎo)致的不確定度。三角分布x三角分布aa特征：估計(jì)值以p＝100％的概率落在a區(qū)間內(nèi)，靠近x的數(shù)值比接近邊界的值多，落在該區(qū)間外的概率為零；且沒(méi)有說(shuō)明概率分布。符合下列條件之一者，一般可以近似地估計(jì)為三角分布：①相同修約間隔給出兩獨(dú)立量之和或差，修約的不確定度；②因分辨力引起的兩次測(cè)得量值之和或差的不確定度；③測(cè)量衰減時(shí)，調(diào)零④兩相同均勻分布的導(dǎo)致的不確定度；。2a(=a)1/a化學(xué)領(lǐng)域常見(jiàn)反正弦分布特征：估計(jì)值以p＝100％的概率落在衛(wèi)區(qū)間內(nèi)，靠近邊界的數(shù)值比接近x的值多，落在該區(qū)間外的概率為零；且沒(méi)有說(shuō)明概率分布。符合下列條件之一者，一般可以近似地估計(jì)為反正弦分布：①隨時(shí)間正余弦變化的溫度引起的不確定度；②正弦振動(dòng)引起的位移的不確定度；③無(wú)線(xiàn)電測(cè)量中失配導(dǎo)致的不確定度；④度盤(pán)偏心引起的不確定度。無(wú)線(xiàn)電測(cè)量常見(jiàn)ax反正弦分布2a(=a)a性輸入量間的相關(guān)性如果在輸入量在確定過(guò)程中，采用了同一臺(tái)測(cè)量?jī)x器、實(shí)物測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)或參考數(shù)據(jù)，并且它們具有較大的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則輸入量間就可能存在很大的相關(guān)性。例如，用某一溫度計(jì)來(lái)確定輸入量i

的估計(jì)值所需的溫度修正值，并用同一溫度計(jì)來(lái)確定輸入量］的估計(jì)值所需的類(lèi)似的溫度修正值，這兩個(gè)輸入量就可能顯著相關(guān)。假設(shè)i

和］重新定義為不相關(guān)的量，把定義溫度計(jì)校準(zhǔn)曲線(xiàn)(用來(lái)確定溫度修正值)的量作為獨(dú)立的附加輸入量包括進(jìn)來(lái)。則模型就可用相互獨(dú)立的量來(lái)表示。兩個(gè)重復(fù)同時(shí)觀測(cè)的輸入量-協(xié)方差兩個(gè)重復(fù)且同時(shí)觀測(cè)到的輸入量可能是相關(guān)的。在重復(fù)性測(cè)量條件下，兩個(gè)量，得到對(duì)重復(fù)示值i,1

］,1

,i

和］同時(shí)測(cè)量i,2］,2

,,i,n

］,ni的最佳估計(jì)值i

1nnr=

1i,rj,

的最佳估計(jì)值］

1nnr=

1

］,r則i

和］相關(guān)的協(xié)方差為i

］1n

(

n

-

1)i

］,r］nr=

1

i,r兩個(gè)重復(fù)同時(shí)觀測(cè)的輸入量—相關(guān)系數(shù)1n(n

一1)iu

x

=xi

相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為nI

Q

一

x

2i,r

ir=

1xi

相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為］u

x

=1n(n

一1)nI

Q

一x

2］,r

］r=

1xi

和x］相關(guān)的協(xié)方差為r

xi,

x］

=u

xi,

x］u

xi

u

x］Q］,r

一x］∑n=r=1

Qi,r

一xiQ

一

x

2i,r

i∑nr=

1］,r］Q

一x

2∑nr=

1兩個(gè)量都跟其他量有關(guān)實(shí)際上，輸入量間常常是相關(guān)的，因?yàn)樵诠烙?jì)它們的值時(shí)使用了同一個(gè)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，測(cè)量?jī)x器，參考數(shù)據(jù)或甚至具有相當(dāng)大不確定度的測(cè)量方法。估計(jì)值分別為i

和］的兩個(gè)輸入量i

和］都與一組不相關(guān)的變量

L

有關(guān)。因此i

i

1

2

L］1

2，］

1

2

1

2L

,盡管L

中的某些變量實(shí)際上僅在一個(gè)函數(shù)而不在另一個(gè)函數(shù)中出現(xiàn)。兩個(gè)量都跟其他有關(guān)---方差和協(xié)方差2如果l是

l

的估計(jì)值

l

的估計(jì)方差，則

i

和

］相關(guān)的方差分別為2

iaFiaql22l，2

］aFjaql22lLl=

1Ll=

1ii

和］相關(guān)的協(xié)方差為L(zhǎng)i

］］ll2ll=

1因?yàn)閷?duì)一個(gè)給定的，只有和il］

li

和］沒(méi)有公共變量的那些項(xiàng)對(duì)求和才有貢獻(xiàn)，如果，則其協(xié)方差為零例—用共同的參考標(biāo)準(zhǔn)校準(zhǔn)砝碼砝碼1

1

和砝碼2

2

名義值相同，通過(guò)與它們名義值相同的參考標(biāo)準(zhǔn)砝碼

s

比較來(lái)校準(zhǔn)。一個(gè)比較儀用來(lái)確定砝碼

s

和

i(

)之間的砝碼質(zhì)量差，這樣i

si,s定度為

，而獨(dú)立獲得參考標(biāo)準(zhǔn)報(bào)告的質(zhì)量為

s,s

相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確i

的測(cè)量結(jié)果為s。因?yàn)榉直媪σ氲牟淮_定度貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)，

主要是由測(cè)量的重復(fù)性引入的。而且，對(duì)兩個(gè)砝碼差， 都是相同的。例—量之間的協(xié)方差量

s

和

i

的PDF相互獨(dú)立，這是因?yàn)橛嘘P(guān)

i

的信息不會(huì)影響

s

的知識(shí)狀態(tài)PDF，反之也如此。則,1i,2is

i

s22

2s因此

i但量

1

和2

的PDF是相關(guān)的，因?yàn)檫@些量的估計(jì)值是用相同的參考標(biāo)準(zhǔn)獲得的。應(yīng)用協(xié)方差的運(yùn)算規(guī)則12

31

3s1

s1

22s

s2

3

,有1

2s2s例—量之間的相關(guān)系數(shù)1

2相關(guān)系數(shù)為

1

2

122ss2222s2

22s相關(guān)系數(shù)的大小與

和 的相對(duì)大小有關(guān)，它們分別來(lái)自比較儀和參考標(biāo)準(zhǔn)的不確定度分量。若來(lái)自比較儀的分量占主要的，即2

2s1

2i

間的相關(guān)性可忽，則 ，輸出量估計(jì)值略。反之，若來(lái)自參考標(biāo)準(zhǔn)的分量占主要的，即2s2，則1

2，輸出量估計(jì)值

i

間的相關(guān)性很大。律1、GUM法：不確定度

2、Monte

Carlo方法評(píng)定被測(cè)量和標(biāo)準(zhǔn)不確定度的GUM法和MC法x1

x2x3Y

f

X1

,

X

2

,

X

3

u

x1

u

x2

u

x3

ycu

y

UY

f

X1

,

X

2

,

X

3

輸入量的PDF測(cè)量模型被測(cè)量的PDF基于PDF的方法1、評(píng)定被測(cè)量i在GUM法中，各模型輸入量i

由其期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差表征，期望作為i

的最佳估計(jì)值，而其標(biāo)準(zhǔn)偏差作為i

的標(biāo)準(zhǔn)不確定度i。輸出量的期望為輸出量的最佳估計(jì)值。

X+CX-CX對(duì)

Y

f

(

X

1

,

X

N

)

在輸入量

X

的期望E

X

E

X

1

,,E

X

N

處展開(kāi)，

111

pY

p0X

E

Xp!

N

X

E

Xf

EX

f

E

X

2NNi

iiiiijjXi

Xji1i12

X

E

X

1

2

2

f

Xi

E

X

fXX

f

f

XiN

1

N

i1

j

i1

E

X

X

E

X

輸出量Y的期望為E

Y

E

f

(

X

)

NiiiiiijjXi

XjEj

i1N

2

X

E

X

2

f

E

X

Ei

1

2

f

XX

2

E

X

i

fX

i1

N

1

NE

E

X

f

f

X

E

X

X

i1

i1

2Nii2

ijji

ji12

f

E

X2

f

E

X

1i

E

X

X

f

f

E

XiX

XN

1

N

i1

j

i1

E

X

X

E

X

2Niii12

2

X2

f

E

XE

f

(

X

)

f

E

X

1i

E

X

對(duì)于非線(xiàn)性模型f

(X

)，E(Y

)

E

f(X

)

f

E(X

)，但當(dāng)非線(xiàn)性程度與不確定度的大小相比可忽略時(shí)，E

f

(

X

)

f

E(

X

)輸入量Xi

的期望作為Xi

的最佳估計(jì)值xi，即xi

E(xi

)，輸出量Y

的期望E

f

X

作為Y

的最佳估計(jì)值y，則1

N被測(cè)量的最佳估計(jì)值被測(cè)量的最佳估計(jì)值在通1，

2，過(guò)，

，

N

得出時(shí)，N

的估計(jì)值1，2，可以有以下兩種方法：第

法)nnNk1n1nk

1y

y

y

ik

11k

2kf

(

x

,

x

,,

x第二種方法y

f

(

x1,

x2

,,

xN

)先求輸出量的分量后取平均值先求各輸入量的平均值后計(jì)算輸出量的值例假如用輸入量A表示長(zhǎng)，用輸入量B表示寬，由面積公式

可得到輸出量的數(shù)學(xué)模型S=AB。假設(shè)對(duì)長(zhǎng)A和寬B分別進(jìn)行了兩次測(cè)量，其結(jié)果(估計(jì)值)分別為a1，a2和b1，b2。由第為由第二種方法可求得面積的一個(gè)最佳估計(jì)值為法可求得面積的一個(gè)最佳估計(jì)值12S1

a1b1

a2b2

222

2

a1

a2

b1

b

14S1

1

2

2

1

2

2

1a

b

a

b

a

b

a

b

近似線(xiàn)性模型代替非線(xiàn)性模型i當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度

足夠小時(shí)，對(duì)測(cè)量模型線(xiàn)性近似，評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

就比較合理。換句話(huà)說(shuō)，對(duì)于輸入量i

位于i

的最佳估計(jì)值i

的i的幾倍范圍內(nèi)的所有值，對(duì)實(shí)際用途而言，線(xiàn)性近似背離非線(xiàn)性模型可忽略。否則，不應(yīng)應(yīng)用線(xiàn)性化，而應(yīng)使用MonteCarlo方法。;／－-

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)

x

B'(

t

)

)仁．欄．巳尸已蘭笱.AO.0 2

5

過(guò)0

N[i

甘，令Y

T

Mt

1F巳準(zhǔn)不確定度模型線(xiàn)性化處理測(cè)量模型在輸入量1

2N

的最佳估計(jì)值1

2N

附近作線(xiàn)性化處理為被測(cè)量的最佳估計(jì)值1

1

1

2

2

2N

N

N其中。11

Ni

表示

對(duì)

i

的偏導(dǎo)數(shù)

i

在NN

處的值，稱(chēng)作靈敏系數(shù)i1

2

2。靈敏系數(shù)i

表征了在輸入量的最佳估計(jì)值鄰域附近i

發(fā)生微小變化，是如何變化的。(1)相互獨(dú)立的輸入量不確定度

律由i

的最佳估計(jì)值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度來(lái)評(píng)定被測(cè)量 的最佳估計(jì)值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度首先獲得有關(guān)輸入量的匯總信息，最佳估計(jì)值，

相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度1

2對(duì)于相互獨(dú)立的輸入量準(zhǔn)不確定度

，

，1

NN

，合并標(biāo)以及這些輸入量的最佳估計(jì)值。合并方法有時(shí)稱(chēng)作方差和i22

2iNi=1不確定度

律i22i合并方法有時(shí)稱(chēng)作方差和N2不確定度關(guān)于i=

1律是基于1

1

2

2N1

2

NN

的一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)若測(cè)量函數(shù)是輸入量的線(xiàn)性函數(shù)，該合并方法是準(zhǔn)確的。輸入對(duì)輸出的貢獻(xiàn)2對(duì)于相互獨(dú)立的輸入量，方差

可以看作各項(xiàng)之和，每一項(xiàng)代表了由每一個(gè)2

2的2i

i2

i對(duì)輸入估計(jì)值i

的估計(jì)方差貢獻(xiàn)NN2ii=

1i=

1iii例1--電阻器的損耗功率-最佳估計(jì)值被測(cè)