2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.2.2單位圓與三角函數(shù)線課時作業(yè) 新人教B版必修4

2019-2020年高中數(shù)學(xué)1.2.2單位圓與三角函數(shù)線課時作業(yè)新人教B版必修4一、選擇題已知a(0<a<2n)的正弦線和余弦線長度相等，且符號相同，那么a的值為()A．3nA．3n5n亠7nB?〒或TC.［答案］C［解析］n5n作出角4與4的正弦線、余弦如圖所示.n5n由圖可知，角匸與丁的正弦線、余弦線長度相等，且符號相同.下列不等式中，成立的是()sin1>sin2B.cos1<cos2C.tan1>tan2D.cot1<cot2［答案］C［解析］如圖，由單位圓中的三角函數(shù)線可知，sin1<sin2，cos1>cos2，tan1>tan2故選C.F__T/1\0A(l,0)丄1\T'若a是第一象限角，則sina+cosa的值與1的大小關(guān)系是()sina+cosa>1B.sina+cosa=1C.sina+cosa<1D.不能確定［答案］A［解析］如圖，設(shè)a的終邊與單位圓交于P點，作PM丄x軸，垂足為M，則sina=MP，cosa=OM.在AOMP中，?.?OM+MP〉OP，?：cosa+sina>1.

4．設(shè)a=sin34．設(shè)a=sin3、b=cos尋、c=芻、d=tan4，則下列關(guān)系中正確的是(A．c>d>a>bC．c>d>b>aA．c>d>a>bC．c>d>b>aD.以上答案均不對［答案」A［解析」.n也、n1n、一in一t,、“、a—sin3—?，b—cos3—?，c—3>1，d—tan4—1，c〉d〉a〉b.5.使sinxWcosx成立的x的一個區(qū)間是()「3nA.[—〒,D.[0,n」n3nD.[0,n」4」［答案」A［解析」如圖陰影部分滿足sinxWcosx，故選A.6.已知點P(sina—cosa,tana)在第一象限，則在［0,2n)內(nèi)的角a的取值范圍是(UU'5n、n，〒(UU'5n、n，〒丿5n3n)、丁，~2)B.D.nn(5n、7，亍Mn，〒丿［答案」B［解析」V點P(sina—cosa，tana)在第一象限,"sina—cosa>0tana>0?sina>cosa①即"tana>0②由②知a在第一、三象限.

故選B．由①Sina〉cos故選B．故a的取值范圍是:二、填空題7?利用單位圓，可得滿足Sina〈*，且ae(0,n)的a的集合為［答案］{a|0<a<4或乎〈a<n}［解析］如圖所示，終邊落在陰影內(nèi)的角a滿足8．sin終邊落在陰影內(nèi)的角a滿足8．sina〈Si畤與co號的大小關(guān)系是［答案］nn［答案］sin=〈cos=55［解析］如圖，sin^r=MP,cos*=OM.在ZOMP中，ZPOM氣，ZOpM=3n-,.?.OM〉MP,cos號"〉sin.55三、解答題利用三角函數(shù)線，求sina<2的角a的范圍.［解析］如圖所示，首先在y軸上找到2,過此點作平行于x軸的直線，交單位圓于匚與P兩點.2

TOC\o"1-5"\h\zn5若sina=了，則a=2kn+百或a=2kn+^n(k^Z)，角a所對應(yīng)的正弦線分別為66\o"CurrentDocument"n5n1MP、MP，當(dāng)角2kn+百的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至2kn+'時，顯然sina，故應(yīng)舍1122662去，所以a應(yīng)取線OP】和線OP2以下的角，如圖的陰影部分所示.故a的取值集合是<a2kn+^^〈a<2kn+^^~,keZ利用單位圓中的三角函數(shù)線求滿足cosaW—￡的角a的取值范圍.y2［解析］作直線x=—1交單位圓于C、D兩點，連接OC與OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角a的終邊的范圍.y2故滿足條件的角a的集合為'll,2n一一］,4n〔a|2kn+~^WaW2kn+~^,keZ一、選擇題已知集合E={e|cos0〈sin。，0We<2n},F={0|tan0<sin0,0W0<2n},則EPF()n3n\J，~T.)3n]~T)3n]~T)(3n5n]

~T.)［答案］A［解析］由單位圓中的三角函數(shù)線可知E=〈E=〈e|》〈e<5n1-J'n3nF=<el"2〈e<n或~^〈e<2n.*.EnF=<eI步〈e〈n以下命題正確的是()A.a、“都是第一象限角，若cosa〉cos“，則sina〉sin“

a、“都是第二象限角，若sina〉sin“，則tana〉tan"a、“都是第三象限角，若cosa〉cos0，則sina>sin"a、"都是第四象限角，若sina〉sin"，則tana〉tan"［答案］D［解析］如圖，a、"都是第一象限角，cosa〉cos"，則sina<sin"，故A錯；如圖，a、"都是第二象限角，sinasina〉sin"，則tana<tan"，故B錯；都是第三象限角，cosa〉cos"都是第三象限角，cosa〉cos"，A.sina+cosa=1.2C.sinacosa=\i'3［答案］D［解析］如圖，sina+cosa=－0.9D.sina+cosa=－1.2如圖，a、"已知a是第三象限角，則下列等式中可能成立的是（

由三角函數(shù)線知，sina=MP,cosa=0M,sina+cosa=MP+0M,|MP|+|OM|〉|OP|=1,又MP<0,OM<0,.??MP+0M〈一1,故選D.4.sin8、co's8、834.sin8、co's8、83n3n3nA.sin8<8<cos83n3n3nC.cos'8<8<sin8［答案］D［解析］如圖,3n3n3n的大小關(guān)系是（B.D.作出角3n_8的正弦線、余弦線,3n3n3nsin<cos<-8883n3n3ncos<sin<-8883n、仆3nsin=MP,cos=OM,88sin3n>cossin3n>cos3n又7=扣?MP=2MP，13n扇形OPA28扇形OPA△POA3n>MP.3n3n>MP.3n3n可〉叫>cos3n二、填空題若OWe<2n，則使tanQW1成立的角Q的取值范圍是nI(n5n［答案］4［解析］如圖所示，tandWl,包括tan。<0,即二、四象限，tand=0,即x軸上,0〈tan。Wl,即第一、三象限中，直線y=x與x軸所夾的部分.已知sina+cosa=,那么a是第象限角.5［答案］二或四［解析］由單位圓中的三角函數(shù)線知,若a是第一象限角,則sina+cosa>1,若a是第三象限角，則sina+cosa〈一1,若sina+cosa=,則a是第二或四象限角.5三、解答題確定下式的符號:sinl—cosl.［分析］在單位圓中作出1、］4的正弦線、余弦線，將sinl、cosl與sin1^比較即可.［解析］因為斗〈1〈，如圖所示，由三角函數(shù)線可得>cos1,>cos1,故sinl—cos1>0.8．求滿足下列條件的角x的集合:已知tanx>0，且sinx+cosx>0；已知tanx<0，且sinx—cosx<0.［解析］(1){x|2kn<x<2kn+》，k^Z}，如圖①.(2){x|2kn—-2<x<2kn,k^Z}，如圖②.7.7.7.7.2019-2020年高中數(shù)學(xué)1.2.2同角三角函數(shù)關(guān)系練習(xí)（含解析）蘇教版必修4已矢口sina—cosa=已矢口sina—cosa=5180°Va<270°你能求出tana的值嗎？你能化簡sin6—cose

tan6—1嗎？為此，我們有必要研究同角三角函數(shù)的關(guān)系．，使此式成立的角的范圍是1．同角三角函數(shù)的平方關(guān)系是，使此式成立的角的范圍是2．同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系是，使此式成立的角a的范圍是3．同角三角函數(shù)關(guān)系式是根據(jù)推導(dǎo)的4．sin2a＋cos2a=1的變形有、lsina“卄打/亠tana=的變形有、.cosa“1”的代換式有：1=知道角a的某一三角函數(shù)值求另外兩三角函數(shù)值時，如果角a所在象限指定則結(jié)果只有組解，如果角a所在象限沒有指定，一般應(yīng)有組解.1＋tan26=，6的取值范圍是.答案：1.sima+cos2a=1（一8,+8）sinasinatana~~cosaaMkn+歲,ke三角函數(shù)定義4.sin24.sin2a=1—cos2acos2a=1—sin2asinatanacosa=sinacosa=tanasin2a+cos2atan45°1cos26同角三角函數(shù)關(guān)系平方關(guān)系：sima+cos2Q=l(aWR).商數(shù)關(guān)系：屯=tanafaMkn+》，kez),cosa\2丿這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個三角函數(shù)(在使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系都成立.同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可以由一個角的一個三角函數(shù)值，求出這個角的其他三角函數(shù)值.利用同角關(guān)系可以進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡.化簡要求：(1)項數(shù)盡量少；(2)次數(shù)盡量低；(3)分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；(4)能求值的盡可能求值.證明三角恒等式.基本原則：由繁到簡.常用方法：左f右；右f左；左Q右.［基.礎(chǔ)［鞏固若a為第二象限角，則l；sin2a—sin4a可化為（C）A.sina－sin2aB.sinacosa—sinacosaD.sin2a—sina

若f(sinx)=2cosx+1,則等于()A.3+1B.1—3C.1+書或1—百D.2解析：由sinx=2求出cosx,然后再代入函數(shù)關(guān)系式.答案：C3.已知sina3.已知sina=■2WaWn則tana=答案：—2sin2a＋cos4a＋sin2acos2a的化簡結(jié)果是(1B?2C.3D.1解析：sin2a＋cos4a＋sin2acos2a=sin2a＋cos2a(cos2a＋sin2a)=sin2a＋cos2a=1.答案：D5?下列各式中與雪1—2sin2cos2相等的是()A.sin2—cos2B.cos2—sin2C.sin2＋cos2D.—sin2—cos2解析：“1”的代換，1=sin22+cos22，同時要注意sin2>0,cos2V0.答案：A6.cosa+2sina=一詬，則tana=解析：\cosa+2sina解析：\cosa+2sina=—5,由］Isima+cos2a=12cosa=丄-弱.sina..tana2.cosa答案：2

cosa=3sina,OWaWn，貝Vsina?cosa的值為(),333,3A.±10B-10C?而D?土而sina?cosa解析：所求式子可化成s.:丄:（齊次分式），分子、分母同除以cos2a.sin2a＋cos2a答案：B小卄sina+cosac…「/、8?若，=2,則tana的值為（）2sina－cosa34A.1B.—1C.4D.—3解析：分子、分母同除以cosa.答案：Asin2x＋sin2y－sin2xsin2y＋cos2xcos2y=解析：sin2x＋sin2y－sin2xsin2y＋cos2xcos2y=sin2x＋sin2y(1－sin2x)＋cos2xcos2y=sin2x＋sin2ycos2x＋cos2xcos2y=sin2x＋cos2x(sin2y＋cos2y)=sin2x＋cos2x=1.答案：1［能力升級三角形.2三角形.A為三角形ABC的一個內(nèi)角，若sinA+cosA=§,貝J^ABC是解析：2解析：2*.*sinA+cosA=§,?:sin?:sin5AcosA=—V0..：A為鈍角.18答案：鈍角答案：鈍角設(shè)a為常數(shù)，且a>1,0WxW2n，則函數(shù)f（x）=cos2x+2asinx—1的最大值為解析：f(x)=1—sin2x＋2asinx—1=—(sinx—a)2＋a2.Va>1，0WxW2n，.:當(dāng)x=時，f(x)=2max

2a－1.答案：2a-1已知tana=m,a是第二象限角，則sina的值等于（C.1＋m2B.1＋m2解析：m：j1+m21+m2D.由tana=m...cosaC.1＋m2B.1＋m2解析：m：j1+m21+m2D.由tana=m...cosa=1+m2.1+m21+m2/口,cos2a+sima1^得1+1an2a===1+m2.cos2acos2a故sina=tana?cosa=m?cos2a=11+m2'1]=_m￡1+m2丿寸1+m2答案：D如果sin0+cos0=—:(0<0<n),則tan0的值為(544,43a.-3b?3c.±3d.-4解析：sin0+cos0=—,平方得5sin20＋2sin0cos0＋cos20__1_=25.故2sin0cos0sin20＋2sin0cos0＋cos20__1_=25.故2sin0cos024

=—25<0..0為鈍角,1-2sin0cos049.(sin0-cos0)492=25‘sin770—cos0=5(—5舍去).sin0＋cos0<由、sin0—cos0_7=5sin0=5、cos0=45,?°.tan0=答案：D是否存在一個實數(shù)k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的兩個根是一個直角三角形的兩

個銳角的正弦？解析：假設(shè)存在，設(shè)直角三角形兩個銳角為a,0，則sina,sin0是方程8x?+6kx+2k+l=0的兩個根.Ta+0=90°,.°.sin0=cosa.由根與系數(shù)的關(guān)系，得sina+cosa=sina+cosa=<3k~4,sina?cosa=2k+1109.去.將k=-109.去.將k=-代入②，得sina?cosa=sina?sin0=91172,.sinasin0異①2-2X②，整理得9k2-8k-20=0,解得k=2,k=當(dāng)k=2時，原方程變?yōu)?x2+12x+5=0,A=144-160<0,所以原方程無解，k=2舍號，應(yīng)有sina<0或sin0<0.實際上sina>0,sin0>0,.k=-不滿足題意，.：k9值不存在.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式設(shè)0°WaW90。，對于任意一個0°到360°的角0，以下四種情形中有且僅有一種成立.

a，當(dāng)0e[0°,90°],<180°—a，當(dāng)0￡[90°,180°],0=,r二180°+a，當(dāng)0￡[180°,270°],l360°—a，當(dāng)0￡[270°,360°].思考：180°—a,180°+a,360°—a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值有怎樣的關(guān)系呢？1．借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式．2．掌握誘導(dǎo)公式二至公式六及其應(yīng)用．TOC\o"1-5"\h\z1．設(shè)a為任意角,角a的終邊與單位圓相交于點P(x,y),則角—a的終邊與單位圓的交點P』勺坐標(biāo)是，角n—a的終邊與單位圓的交點P2的坐標(biāo)是，角n+a的終邊與單位圓的交點P3的坐標(biāo)是.誘導(dǎo)公式一：sin(2kn+a)=,cos(2kn+a)=,tan(2kn+a)=,k￡Z.誘導(dǎo)公式二：sin(—a)=,cos(—a)=,tan(—a)=.誘導(dǎo)公式三：sin(n—a)=,cos(n—a)=,tan(n—a)誘導(dǎo)公式四：sin(n+a)=,cos(n+a)=,tan(n+a)利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值步驟如下任意角的三角函數(shù)利用一――^0°?360°的角的三角函數(shù)利用—0°?360°的角的三角函數(shù)利用—銳角三角函數(shù)查表>求值(特殊角取特殊值)△ABC中，sin(A+B)=,cos(A+B)=,tan(A+B)=a與歲—a的終邊關(guān)于直線對稱.9.誘導(dǎo)公式五：sin］》—a9.誘導(dǎo)公式五：sin］》—aj=cos仔—a卜10?誘導(dǎo)公式六：sin號+aj=cos號+a六組誘導(dǎo)公式可以概括成學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式的目的之一是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求22A+BCOS—AA+BCOS—在△ABC中，sin-=誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式如下表所示：三角函數(shù)角正弦余弦正切a+k?2n(kez)sinacosatanaa+n—sina—cosatana—a—sinacosa—tanan—asina—cosa—tanaT+acosa—sinan2—acosasina3丄尹+a—cosasina3尹—a—cosa—sina誘導(dǎo)公式的運用1.運用誘導(dǎo)公式化簡、求值的前提條件是熟記上述誘導(dǎo)公式.上述誘導(dǎo)公式可概括為一句口訣“奇變偶不變，符號看象限”.也就是誘導(dǎo)公式左邊的角可統(tǒng)一寫成k?n^土a(kwz)的形式，當(dāng)k為奇數(shù)時，公式等號右邊的三角函數(shù)名稱與左邊的三角函數(shù)名稱正余互變(即左邊為正弦則右邊為余弦，左邊為余弦則右邊為正弦)，當(dāng)k為偶數(shù)時，公式等號右邊的三角函數(shù)名稱與左邊一樣；而公式右邊的三角函數(shù)之前的符號，則把a當(dāng)做銳角，k?號土a為第幾象限，以及左邊的三角函數(shù)在該象限的符號即為公式右邊的符號.2.利用誘導(dǎo)公式可以化簡任意角的三角函數(shù)，基本程序為“負(fù)化正，大化小，化到銳角就行了”.用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)式的值已知cos(75°+a)=3,其中a為第三象限角.求cos(105°—a)+sin(a-105°)的值.分析：從被求式和已知式的角度看，關(guān)鍵是尋求到75°+a與105°—a之間的關(guān)系,我們發(fā)現(xiàn)(75°+a)+(105°—a)=180°，這樣有關(guān)系式105°—a=180°—(75°+a)，就可以用誘導(dǎo)公式了.解析：cos(105°—a)=cos[180°—(75°+a)]=—cos(75°+a)=—3-sin(a—105°)=—sin(105°—a)=—sin[180°—(75°+a)]=—sin(75°+a)．又cos