建立數學模型投影版名師優(yōu)質課賽課一等獎市公開課獲獎課件

數學建模理學院計算數學系主講教師：邵紅梅第1頁本課程性質與任務

“數學模型”是大學數學課程主要組成部分，它是在高等數學、線性代數、概率論與數理統(tǒng)計等課程基礎上開設主要教學步驟，它將數學知識、實際問題與計算機應用有機地結合起來，意在提升學生綜合素質與分析問題、處理問題能力。本課程講課方法

“數學模型”相對于其它數學課程來說，缺乏嚴謹系統(tǒng)性，是一門相對“離散”課程，所以該課程教學和學習不可能象其它課程一樣。講課方式基本上是案例式教學，內容連貫性不強。第2頁本課程重點在掌握數學建模基本概念、基本思想和基本方法基礎上

同時培養(yǎng)學生使用數學軟件（Matlab、Lingo等）進行計算機模擬

與數值計算能力

重點是培養(yǎng)學生利用所學知識分析、處理實際問題意識與能力，

以及勉勵學生創(chuàng)新思維

激發(fā)學生學習數學興趣，了解數學廣泛應用領域

第3頁本課程基本要求要求學生掌握數學建?；痉椒ê筒襟E，提升其分析和處理實際問題能力

學會直接使用數學軟件如Matlab、Lindo、Lingo，進行簡單操作，不要求編復雜程序

教師只對部分模型實題內容進行簡單講解，學生課下自己動手上機試驗來檢驗

學生在教師指導下完成有一定難度實際模型，能力強學生可與教師合作完成或完善科研工作第4頁競賽內容題目由工程技術、管理科學中實際問題簡化而成，沒有事先設定標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。競賽形式

三名大學生組成一隊，能夠自由地搜集資料、調查研究，使用計算機、互聯(lián)網和任何軟件，在三天時間內分工合作完成一篇論文。評獎標準假設合理性、建模創(chuàng)造性、結果正確性和文字表述清楚程度。

大學階段難得一次近似于“真刀真槍”訓練，模擬了畢業(yè)后工作時情況，既豐富、活躍了廣大同學課外生活，也為優(yōu)異學生脫穎而出創(chuàng)造了條件。競賽宗旨：

創(chuàng)新意識

團體精神

重在參加

公平競爭大學生數學建模競賽第5頁目：理解和掌握學習數學模型意義,內容,方法和建模步驟

內容：椅子在地面放穩(wěn);商人渡河模型;施救藥品中毒模型重點：模型及數學模型定義;建模步驟;施救藥品中毒模型;求解常微分方程及應用難點：椅子在地面放穩(wěn)模型建立；商人渡河問題模型組成；施救藥品中毒模型建立及分析第一章建立數學模型第6頁形形色色模型原型和模型定義

原型指人們在現實世界里關心、研究或者從事生產、管理實際對象。

模型則指為了某個特定目標將原型某一部分信息簡縮、提煉而結構原型替換物。

原型和模型是一對對偶體。第7頁

模型是對原型中人們需要那一部分特征及改變規(guī)律一個集中反應或抽象。

尤其強調

結構模型目標性模型不是原型原封不動復制品，原型有各個方面和各種層次特征，而模型只要求反應與某種目標相關那些方面和層次。一個原型，為了不一樣目標能夠有許多不一樣模型。原型和模型關系形形色色模型第8頁物質模型(形象模型)理想模型(抽象模型)模型分類形形色色模型直觀模型（如：玩具、照片）物理模型（如：地震模擬裝置）思維模型（如：司機操縱方向盤）符號模型（如：地圖、電路圖）數學模型（如：數學表示式、圖形）第9頁你碰到過數學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到

x=20,y=5

甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船速度是多少。

第10頁航行問題建立數學模型基本步驟

求解得到數學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20公里）。

用物理定律（勻速運動距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；了解問題背景，明確建模目；

用數學符號表示相關量（x,y表示船速和水速）；作出簡化假設（船速、水速為常數）；第11頁“航行問題”啟示

什么是數學模型

怎樣建立數學模型

建立數學模型基本步驟第12頁數學模型定義

不在于介紹現實對象數學模型是什么樣子，而是要討論建立數學模型(MathematicalModelling)全過程。建立數學模型下面簡稱為數學建模或建模。本課程重點

本書要專門討論數學模型則是由數字、字母或其它數學符號組成，描述現實對象數量規(guī)律數學公式、圖形或算法。

一個對于現實世界特定對象，為了一個特定目標，依據特有內在規(guī)律，做出一些必要簡化假設，利用適當數學工具，得到一個數學結構。廣義定義狹義定義第13頁數學建?；痉椒C理分析測試分析二者結合依據對客觀事物特征認識，找出反應內部機理數量規(guī)律------建立模型。經過對系統(tǒng)輸入、輸出數據測量和統(tǒng)計分析，找出與數據擬合最好模型。機理分析建立模型結構,測試分析確定模型參數。白箱問題黑箱問題灰箱問題當前，大部分案例中所用建模方法主要是機理分析法。第14頁數學建模普通步驟

模型準備模型假設模型組成模型求解模型分析模型檢驗模型應用數學建模普通步驟第15頁模型準備

了解問題實際背景，明確建模目標，搜集必要信息如現象、數據等，盡可能搞清對象主要特征，形成一個比較清楚“問題”，由此初步確定用哪一類模型。情況明才能方法對。在模型準備階段要深入調查研究，虛心向實際工作者請教，盡可能掌握第一手資料。數學建模普通步驟第16頁模型假設

依據對象特征和建模目標，抓住問題本質，忽略次要原因，作出必要、合理簡化假設。對于建模成敗這是非常主要和困難一步。假設作得不合理或太簡單，會造成錯誤或無用模型；假設作得過分詳細，試圖把復雜對象眾多原因都考慮進去，會使你極難或無法繼續(xù)下一步工作。經常需要在合理與簡化之間作出恰當折衷，通常，作假設依據，一是出于對問題內在規(guī)律認識，二是來自對現象、數據分析，以及二者綜合。想像力、洞察力、判斷力，以及經驗，在模型假設中起著主要作用。數學建模普通步驟第17頁模型組成

依據所作假設，用數學語言、符號描述對象內在規(guī)律，建立包含常量、變量等數學模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖模型等。這里除了需要一些相關學科專門知識外，還經常需要較為遼闊應用數學方面知識，要善于發(fā)揮想像力，注意使用類比法，分析對象與熟悉其它對象共性，借用已經有模型建模時還應遵照一個標準是：盡可能采取簡單數學工具，因為你模型總是希望更多人了解和使用，而不是只供少數教授觀賞。

數學建模普通步驟第18頁模型求解

能夠采取解方程、畫圖形、優(yōu)化方法、數值計算、統(tǒng)計分析等各種數學方法，尤其是數學軟件和計算機技術。數學建模普通步驟第19頁模型分析

對求解結果進行數學上分析，如結果誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數據靈敏性分析、對假設健壯性分析等。

數學建模普通步驟第20頁模型檢驗

把求解和分析結果翻譯回到實際問題，與實際現象、數據比較檢驗模型合理性和適用性。假如結果與實際不符，問題經常出在模型假設上，該修改、補充假設，重新建模。這一步對于模型是否真有用非常關鍵，要以嚴厲認真態(tài)度對待。有些模型要經過幾次重復，不停完善直到檢驗結果取得某種程度上滿意。

數學建模普通步驟第21頁模型應用

應用方式與問題性質、建模目標及最終結果相關，普通不屬于本書討論范圍。數學建模普通步驟第22頁數學建模全過程

現實對象信息數學模型數學模型解答現實對象解答表述求解解釋驗證現實世界數學世界實踐理論實踐表述求解解釋驗證依據建模目和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當數學方法求得數學模型解答將數學語言表述解答“翻譯”回實際對象用現實對象信息檢驗得到解答第23頁示例一椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎

示例一

椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎三只腳著地→放不穩(wěn)四只腳同時著地→放穩(wěn)了模型分析模型假設

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形；

地面高度是連續(xù)改變，地面可視為數學上連續(xù)曲面；

地面是相對平坦，椅子在任何位置最少有三只腳同時著地。椅子放穩(wěn)定義中心問題

用數學語言把椅子四只腳同時著地條件和結論表示出來。第24頁示例一

椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎中心問題

用數學語言把椅子四只腳同時著地條件和結論表示出來。模型組成

椅子位置對角線AC與x軸夾角θ表示了椅子位置。椅腳著地

椅腳與地面豎直距離為零時就是椅腳著地(變量θ函數)。四個距離兩個距離正方形對稱性A、C兩腳與地面距離之和為f(θ)B、D兩腳與地面距離之和為g(θ)(f(θ)，g(θ)≥0)最少三個角著地第25頁示例一

椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎

由地面高度是連續(xù)改變，f和g都是連續(xù)函數。

由假設3，椅子在任何位置最少有三只腳著地，所以對于任意θ，f(θ)和g(θ)中最少有一個為零（若同時為零即是所證）。

當θ＝0時不妨設g(θ)=0，f(θ)>0。數學模型

已知f(θ)和g(θ)是θ非負連續(xù)函數，對任意θ,

f(θ)·g(θ)

=0，且g(0)=f(π/2)=0，

g(π/2)>0，f(0)>0。證實存在θ0，使f(θ0)＝g(θ0)=0。模型組成g(π/2)>0和f(π/2)=0。若將椅子旋轉90°(π/2)，對角線AC與BD交換，則有第26頁示例一

椅子能在不平地面放穩(wěn)嗎模型求解證實:令h(θ)=f(θ)－g(θ),則h(0)>0和h(π/2)<0。由f和g連續(xù)性知h也是連續(xù)函數。依據連續(xù)函數基本性質，必存在θ0（0<θ0<π/2）使h(θ0)=0，即f(θ0)=g(θ0)。因為f(θ0)g(θ0)=0所以f(θ0)=g(θ0)=0。第27頁示例二商人們怎樣安全過河

示例二商人們怎樣安全過河

隨從們密約，在河任一岸，一旦隨從人數比商人多，就殺人越貨。但怎樣乘船渡河大權掌握在商人們手中。商人怎樣才能安全渡河呢？

問題第28頁模型分析安全渡河問題能夠視為一個多步決議過程。決議每一步，即此岸駛到彼岸或彼岸到岸，確定船上人員。在確保安全前提下（兩岸隨從數都比不上商人數多），在有限步內使全部人員過河。要求第k次渡河前此岸商人數為xk，第k次渡河前此岸隨從數為yk,

模型組成k=1,2,…，xk,yk,=0,1,2,3S=｛（x,y）|x=0,y=0，1，2，3；x=3，y

＝0，1，2，3；x=y=1，2｝二維向量sk=(xk,yk)定義為狀態(tài)。允許狀態(tài)集示例二商人們怎樣安全過河

多步決議問題三要素：狀態(tài)，決議，狀態(tài)轉移方程。第29頁模型組成示例二商人們怎樣安全過河

第k次渡河商人數為uk，第k次渡河隨從數為vk。二維向量dk=(uk,vk)定義為決議允許決議集合

D｛(u,v)|1≤u+v≤2,u,v=0,1,2｝uk，vk=0，1，2，k＝1，2，…k為奇數時此岸到彼岸,k為偶數時彼岸到此岸。狀態(tài)轉移律sk+1=sk+(-1)k

dk

求決議dk∈D（k＝1,2,…,n），使狀態(tài)sk∈S按照轉移律，由初始狀態(tài)s1=(3,3)經有限步n抵達狀態(tài)sn+1=（0,0）。多步決議模型第30頁模型求解示例二商人們怎樣安全過河

圖解法方格點表示狀態(tài)s=（x,y

）：16個允許狀態(tài)集合S：10個允許決議dk是沿方格線移動1格或2格。k為奇數時向左、下方移動（此岸到彼岸）k為偶數時向右、上方移動（彼岸到此岸）評注這里用規(guī)格化方法求解，也能夠用計算機求解，含有推廣意義。

有沒有第二種方案呢？第31頁問題兩位家長帶著孩子急急忙來到醫(yī)院急診室，訴說兩小時前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片氨茶堿片，已出現嘔吐、頭暈等不良癥狀。按藥品使用說明書，氨茶堿每次用量成人是100~200mg，兒童是3~5mg/kg.過量服用，可使血藥濃度（單位血液容積中藥量）過高，100μg/ml濃度會出現嚴重中毒，200μg/ml濃度可致命。

醫(yī)生需判斷：孩子血藥濃度會不會到達100~200μg/ml；假如會到達，應采取怎樣緊急施救方案。

示例三怎樣施救藥品中毒

第32頁

口服活性炭來吸附藥品，可使藥品排除率增加到原來（人體本身）2倍.臨床施救方法：

體外血液透析，藥品排除率可增加到原來6倍，不過安全性不能得到充分確保.

刺激嘔吐；第33頁通常，血液總量約為人體體重7%~8%，體重50~60kg成年人有4000ml左右血液.目測這個孩子體重約為成年人二分之一，可認為其血液總量約為ml.調查與分析血藥濃度=血液中藥量/血液總量第34頁調查與分析藥品轉移率（血液系統(tǒng)吸收率）通常正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥品體外藥量x(t)藥量y(t)血液系統(tǒng)對藥品吸收率(胃腸道到血液系統(tǒng)轉移率)和排除率能夠由半衰期確定.半衰期能夠從藥品說明書上查到：

氨茶堿被吸收半衰期為5h，排除半衰期為6h.第35頁模型假設1.胃腸道中藥品向血液轉移率（藥品下降率）與x(t)成正比，百分比系數λ(>0)，總劑量1100mg藥品在t=0瞬間進入胃腸道.2.血液系統(tǒng)中藥品排除率與y(t)成正比，百分比系數μ(>0)，t=0時血液中無藥品.3.氨茶堿被吸收半衰期為5h，排除半衰期為6h.4.孩子血液總量為ml.記胃腸道中藥量為x(t),血液系統(tǒng)中藥量為y(t)，時間t以孩子誤服藥時刻為起點（t=0）.第36頁模型建立

藥品吸收半衰期為5h由假設1以及初始條件得：從而求得：胃腸道中藥量第37頁模型建立

藥品排除半衰期為6h用此條件只考慮血液對藥品排除注意到血液系統(tǒng)在吸收藥品同時也經過代謝作用排除藥品，且血液系統(tǒng)對血液吸收率也是胃腸道中藥品轉移率，于是由假設1和2得：血液系統(tǒng)中藥量第38頁血液總量ml血藥濃度200μg/ml結果及分析胃腸道藥量血液系統(tǒng)中藥量血藥濃度100μg/mly(t)=200mg嚴重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子抵達醫(yī)院前已嚴重中毒，如不及時施救，約3h后將致命！y(2)=236.5第39頁施救方案

口服活性炭使藥品排除率μ增至原來