曲線積分習(xí)題課課件

曲線積分習(xí)題課一、內(nèi)容提要及教學(xué)要求

1會計算兩類曲線積分(α<β)這里下限α對應(yīng)于L的起點，上限β對應(yīng)于L的終點。

1曲線積分習(xí)題課一、內(nèi)容提要及教學(xué)要求1會計算兩類曲線cosα、cosβ的求法：起點A、終點B分別對應(yīng)參數(shù)α、β。

(當(dāng)α<β時取正號，

α>β時取負(fù)號)2兩類曲線積分的關(guān)系2cosα、cosβ的求法：起點A、終點B分別對應(yīng)(當(dāng)α<β3格林公式2）D的面積3）注意格林公式應(yīng)用的條件：P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，L為封閉曲線。若不滿足，則應(yīng)(i)挖洞。(ii)添線成為封閉曲線。33格林公式2）D的面積3）注意格林公式應(yīng)用的條件（1）條件（2）應(yīng)用5全微分求積64個等價條件4（1）條件（2）應(yīng)用5全微分求積6與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題5與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等5(1)已知二、典型例題

例1填空L的長度為a6(1)已知二、典型例題例1填空L的長度為7788例5計算順時針方向

L：y=2－x2上從A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

9例5計算順時針方向L：y=2－x2上從A(，例8計算Γ為x2+y2+z2=a2(z≥0)與x2+y2＝ax（a>0）之交線，從x軸正向看去為逆時針方向。

10例8計算Γ為x2+y2+z2=a2(z≥0)與x2+y2(1)已知解：又L關(guān)于x軸對稱，而sin(xy)關(guān)于y為奇函數(shù)，所以

于是I=12a。

L的長度為a，求即3x2+4y2=12，所以11(1)已知解：又L關(guān)于x軸對稱，而sin(xy12121313OA14OA141515取l：x2+y2=r2，逆時針方向,則16取l：x2+y2=r2，逆時針方向,則16解：L：例5計算順時針方向

注：

應(yīng)充分利用L的方程簡化被積函數(shù)。

17解：L：例5計算順時L：y=2－x2上從A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

18L：y=2－x2上從A(，0)到B(取l為x2+y2=2上從點A(，0)經(jīng)上半圓到點B(，0)的有向曲線，則或2OxyAB19取l為x2+y2=2上從點A(，0)經(jīng)2020解21解21解：在不含原點的單連域內(nèi)，任作兩條起點為A終點為B的光滑曲線C1、C2。

再補(bǔ)充一條光滑曲線C3使C1+C3和C2+C3成為包圍原點的正向曲線（如圖所示）

C2C3OC1ABxy則由題設(shè)知

所以有

22解：在不含原點的單連域內(nèi)，任作兩條起點為A終點為B的光滑曲線由C1、C2的任意性知，在不含原點的單連通域內(nèi)，該曲線積分與路徑無關(guān)。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)時，應(yīng)恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆時針方向。則23由C1、C2的任意性知，在不含原點的單連通域內(nèi)，該曲線積分與起點對應(yīng)θ=0，終點處θ=2π

例8計算θOxy所以

解：

Γ為x2+y2+z2=a2(z≥0)與x2+y2＝ax（a>0）之交線，從x軸正向看去為逆時針方向。24起點對應(yīng)θ=0，終點處θ=2π例8計算θOxy所以Γ是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕，從z軸看去沿逆時針方向。

解：Γ在xOy平面上的投影曲線L為x2+2y2=1（z=0），取逆時針方向。

所以Γ的參數(shù)方程為：

起點對應(yīng)θ=0，終點對應(yīng)θ=2π。

25Γ是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕利用格林公式：I=026利用格林公式：I=0262727dw=F·dr=證明：在半平面x>0內(nèi)有力除原點外處處有構(gòu)成力場，其中K為常數(shù)，證明此力場中力所做的功與路徑無關(guān)所以……28dw=F·dr=證明：在半平面x>0內(nèi)有力除原點曲線積分習(xí)題課一、內(nèi)容提要及教學(xué)要求

1會計算兩類曲線積分(α<β)這里下限α對應(yīng)于L的起點，上限β對應(yīng)于L的終點。

29曲線積分習(xí)題課一、內(nèi)容提要及教學(xué)要求1會計算兩類曲線cosα、cosβ的求法：起點A、終點B分別對應(yīng)參數(shù)α、β。

(當(dāng)α<β時取正號，

α>β時取負(fù)號)2兩類曲線積分的關(guān)系30cosα、cosβ的求法：起點A、終點B分別對應(yīng)(當(dāng)α<β3格林公式2）D的面積3）注意格林公式應(yīng)用的條件：P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，L為封閉曲線。若不滿足，則應(yīng)(i)挖洞。(ii)添線成為封閉曲線。313格林公式2）D的面積3）注意格林公式應(yīng)用的條件（1）條件（2）應(yīng)用5全微分求積64個等價條件32（1）條件（2）應(yīng)用5全微分求積6與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題33與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等5(1)已知二、典型例題

例1填空L的長度為a34(1)已知二、典型例題例1填空L的長度為357368例5計算順時針方向

L：y=2－x2上從A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

37例5計算順時針方向L：y=2－x2上從A(，例8計算Γ為x2+y2+z2=a2(z≥0)與x2+y2＝ax（a>0）之交線，從x軸正向看去為逆時針方向。

38例8計算Γ為x2+y2+z2=a2(z≥0)與x2+y2(1)已知解：又L關(guān)于x軸對稱，而sin(xy)關(guān)于y為奇函數(shù)，所以

于是I=12a。

L的長度為a，求即3x2+4y2=12，所以39(1)已知解：又L關(guān)于x軸對稱，而sin(xy40124113OA42OA144315取l：x2+y2=r2，逆時針方向,則44取l：x2+y2=r2，逆時針方向,則16解：L：例5計算順時針方向

注：

應(yīng)充分利用L的方程簡化被積函數(shù)。

45解：L：例5計算順時L：y=2－x2上從A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

46L：y=2－x2上從A(，0)到B(取l為x2+y2=2上從點A(，0)經(jīng)上半圓到點B(，0)的有向曲線，則或2OxyAB47取l為x2+y2=2上從點A(，0)經(jīng)4820解49解21解：在不含原點的單連域內(nèi)，任作兩條起點為A終點為B的光滑曲線C1、C2。

再補(bǔ)充一條光滑曲線C3使C1+C3和C2+C3成為包圍原點的正向曲線（如圖所示）

C2C3OC1ABxy則由題設(shè)知

所以有

50解：在不含原點的單連域內(nèi)，任作兩條起點為A終點為B的光滑曲線由C1、C2的任意性知，在不含原點的單連通域內(nèi)，該曲線積分與路徑無關(guān)。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)時，應(yīng)恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆時針方向。則51由C1、C2的任意性知，在不含原點的單連通域內(nèi)，該曲線積分與起點對應(yīng)θ=0，終點處θ=2π

例8計算θOxy所以

解：

Γ為x2+y2+z2=a2(z≥0)與x2+y2＝ax（a>0）之交線，從x軸正向看去為逆時針方向。52起點對應(yīng)θ=0，終點處θ=2π例8計算θOxy所以Γ是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕，從z軸看去沿逆時針方向。

解：Γ在xOy平面上的投影曲線L為x2+2y2=1（z=0），取逆時針方向。

所以Γ的參數(shù)方程為：

起點對應(yīng)