機械振動基礎-單自由度系統(tǒng)-1課件

振動力學機械科學與工程學院振動力學機械科學與工程學院1第一章單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)振動方程無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動等效單自由度系統(tǒng)有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動簡諧激勵下的強迫振動基礎簡諧激勵下的強迫振動振動的隔振等效線粘性阻尼周期激勵下的振動分析瞬時激勵下的振動分析第一章單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)振動方程2建立系統(tǒng)振動運動方程：找出力與運動量之間微分關系求解方程，找出系統(tǒng)的響應分析響應的時頻特性離散化建立有限自由度物理模型§1.1單自由度系統(tǒng)振動方程振動分析：建立振動微分方程：是振動分析的基礎。動靜法、拉格朗日方程法、能量法等。建立系統(tǒng)振動運動方程：找出力與運動量之間微分關系求解方程，找31）質(zhì)塊-彈簧系統(tǒng)（最簡單的振動模型）m

m靜平衡位置

建立坐標系；取分離體畫受力圖；牛頓第二定率建立力和運動要素之間的關系式。1、動靜法：單自由度無阻尼振動方程一般形式無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動方程(1.1.1)(1.1.2)若外力為零，則有：1）質(zhì)塊-彈簧系統(tǒng)（最簡單的振動模型）mm靜平衡位置建立4情況1：以初始位置為基準，情況2：以靜平衡位置為基準2）質(zhì)塊-彈簧-阻尼系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)振動方程一般式單自由系統(tǒng)的自由振動方程(1.1.3)(1.1.4)(1.1.5)情況1：以初始位置為基準，2）質(zhì)塊-彈簧-阻尼系統(tǒng)單自由度5例1-1（利用動量矩平衡）如圖，抗彎剛度無窮大的直桿，兩端有兩個集中質(zhì)量。例1-1（利用動量矩平衡）如圖，抗彎剛度無窮大的直桿，6拉格朗日方程法：對單自由度系統(tǒng)，拉格朗日方程為：對于具有定常約束系統(tǒng)，上式進一步簡化為：對于具有定常約束保守系統(tǒng)，進一步簡化為：或?qū)哂卸ǔ＜s束保守系統(tǒng)利用機械能守恒，也可導出運動微分方程（1.1.6）（1.1.7）（1.1.8）（1.1.9）拉格朗日方程法：（1.1.6）（1.1.7）（1.1.8）（7例1-2：如圖：光滑水平面上質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。解：系統(tǒng)的動能和勢能分別為：系統(tǒng)的廣義力為：代入到拉格朗日方程得：

m例1-2：如圖：光滑水平面上質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。m8例1-3：如圖所示：圓弧形滑道上，有一均質(zhì)圓柱體作純滾動。建立其運動方程。解：因為純滾動，所以振動系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，以圓柱中心繞軌道中心轉(zhuǎn)過的角度為自由度。圓柱質(zhì)心速度：圓柱純滾動角速度：系統(tǒng)動能為：例1-3：如圖所示：圓弧形滑道上，有一均質(zhì)圓柱體作純滾動。9系統(tǒng)的勢能為：①機械能守恒方法：因為系統(tǒng)為定常約束保守系統(tǒng)，機械能守恒，故有：即：此方程是非線性的。對圓柱微幅運動，，方程可近似線性化為：系統(tǒng)的勢能為：10②拉格朗日方法代入拉格朗日方程有：（有勢力場，Q=0)②拉格朗日方法代入拉格朗日方程有：（有勢力場，Q=0)11§1.2無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動特征解初始擾動引起的自由振動簡諧振動及其特征彈簧阻尼器的串聯(lián)并聯(lián)（等效剛度）§1.2無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動特征解12§1.2.1特征解無阻尼：系統(tǒng)在運動過程中沒有任何阻尼力。自由振動：系統(tǒng)振動是由初始擾動激勵的， 沒有任何外力作用于系統(tǒng)。任何的單自由度系統(tǒng)都可等價為特定的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)：系統(tǒng)運動的微分方程：m令：，則方程變?yōu)椋海?.2.1b）(1.2.1a)§1.2.1特征解無阻尼：系統(tǒng)在運動過程中沒有任何阻尼力。13由方程（1.2.1）可知：其解具有下列形式：

代入方程得：振動位移不恒為零，有其解為特征根：式中：（弧度/秒）特征方程（1.2.2）（1.2.3）（1.2.4）系統(tǒng)的固有圓頻率，簡稱固有頻率。（1.2.5）一對共軛復根。由方程（1.2.1）可知：其解具有下列形式：特征方程（1.214系統(tǒng)的解為：其中，系數(shù)由系統(tǒng)的初始條件：確定。把解改寫為振幅相位形式：其中：分別為振幅和初相位。（1.2.6）（1.2.7）系統(tǒng)的解為：（1.2.6）（1.2.7）15§1.2.2初始擾動引起的自由振動給定初始條件確定：代入初始條件到位移響應中得：則位移通解（系統(tǒng)的響應）為（1.2.8）（1.2.9）（1.2.10a）（1.2.10b）另一種表達式：分別為單位初位移、單位初速度引起單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動?！?.2.2初始擾動引起的自由振動給定初始條件（1.2.816此式可表達為振幅相位形式：其中，振幅：初相位：（1.2.11）（1.2.12a）（1.2.12b）此式可表達為振幅相位形式：（1.2.11）（1.2.12a）17§1.2.3簡諧振動及其特征單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動。是兩種同頻率的簡諧運動的合運動，一種是由初始速度產(chǎn)生的，另一種是由初始位移產(chǎn)生的。兩種運動的相位差是90度。確定簡諧振動的三要素：頻率、振幅和初相位。振動圓頻率=系統(tǒng)的固有頻率，與初始條件無關。振幅和初相位依賴系統(tǒng)的初始條件。也就是說，取決于初始時刻輸入系統(tǒng)的能量?！?.2.3簡諧振動及其特征單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡18簡諧振動的重要特征：簡諧振動是一種周期振動周期振動滿足條件：即每經(jīng)過固定時間間隔，振動將重復原來的過程。最小正常數(shù)-振動周期。（1.2.14）（1.2.13）—無阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動的固有周期。簡諧振動的重要特征：（1.2.14）（1.2.13）—無阻19由頻率公式可以看出：1）質(zhì)量不變下，剛度越大或剛度不變下，質(zhì)量越小。其振動的頻率越大，振動的周期越短。振動的恢復力越大，物體越容易回到靜平衡位置。2）反之，情況恰好相反。(赫茲）表示1秒內(nèi)重復振動的次數(shù)。（1.2.15-1.2.16）固有頻率的另一種形式：(赫茲）表示1秒內(nèi)重復振動的次數(shù)。（1.2.15-固有頻率的20(a)圖:簡諧振動時間域內(nèi)變化特征周期:兩個波峰或波谷間的水平距離T稱為周期.它也是振動一次需要的時間;頻率:周期的倒數(shù)為頻率.表示振動的快慢程度,即在1秒之內(nèi)振動的次數(shù).振幅:波峰或波谷的高度.初相角:初始時刻OR矢量與x軸之間的夾角.(b)表示長度為A的矢量OR從角初始位置出發(fā),以等角速度在xOy平面內(nèi)做圓周運動.該矢量在t時刻在y軸上的投影即為位移響應在同一時刻的值.(b)用旋轉(zhuǎn)矢量表示簡諧運動

旋轉(zhuǎn)矢量表達的簡諧振動：(a)圖:簡諧振動時間域內(nèi)變化特征(b)表示長度為A的矢量21簡諧運動的位移、速度和加速度之間的關系：速度和加速度可分別表達為：速度和加速度也是簡諧函數(shù)，并與位移具有相同頻率；在相位上，速度超前位移90，加速度超前位移180°。加速度始終與位移反向：速度和加速度的幅值分別是振幅的（1.2.17）（1.2.18）簡諧運動的位移、速度和加速度之間的關系：（1.2.17）（122機械振動基礎-單自由度系統(tǒng)-1課件23靜平衡位置最大振幅A-A0x初始位置速度為零，位移，加速度絕對值最大，方向反向。速度為零，位移，加速度絕對值最大，方向反向。速度減小速度增加速度減小速度增加速度最大位移，加速度為零最大振幅最大速度簡諧振動過程動能最大勢能為零動能為零勢能最大動能為零勢能最大靜平衡位置最大振幅A-A0x初始位置速度為零，速度為零，速度24振動方向相同的簡諧振動合成：運用三角函數(shù)公式容易證明：

兩個同頻率簡諧振動的合成結(jié)果仍然為簡諧振動，且頻率不變。兩個不同頻率的簡諧振動合成結(jié)果一般為周期運動，特殊情況下為非周期振動（頻率比為無理數(shù)）。振動方向相同的簡諧振動合成：25兩個頻率十分接近的簡諧振動合成后會產(chǎn)生周期性的拍振。(振幅按著兩個振動頻率的差頻簡諧變化)兩個頻率十分接近的簡諧振動合成后會產(chǎn)生周期性的拍振。26振動方向相互垂直的簡諧振動合成利用解析幾何知識可以證明：同頻率兩個簡諧振動在同一平面內(nèi)沿相互垂直方向合成后的運動軌跡一般為橢圓。若頻率不同，合成后的運動軌跡則較為復雜。當頻率間存在一定的比例關系時，合成后的運動軌跡呈現(xiàn)出穩(wěn)定有規(guī)律的圖像?！@些圖形-李沙育圖振動方向相互垂直的簡諧振動合成27設兩個簡諧振動為

動點獨立地在水平方向作圓頻率為1rad/s,振幅為的振動；在垂直方向作圓頻率為，振幅為的振動。（見P11圖1.2.3）李沙育圖形在平面u1,u2上的投影與頻率，相位有很大關系。設兩個簡諧振動為動點獨立地28機械振動基礎-單自由度系統(tǒng)-1課件29機械振動基礎-單自由度系統(tǒng)-1課件30§1.2.4彈簧和阻尼器的串聯(lián)與并聯(lián)在較復雜的單自由度結(jié)構系統(tǒng)中，有較多的彈性元件，每個彈性元件相當于一個彈簧，它們之間串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)關系，可用一個等效彈簧來代替。利用等效彈簧剛度，使固有頻率計算簡化。彈簧并聯(lián)：兩個彈簧并聯(lián)：彈性變形相等?？紤]到：由上兩式求得：（1.2.20）§1.2.4彈簧和阻尼器的串聯(lián)與并聯(lián)在較復雜的單自由度結(jié)構31顯然，彈簧并聯(lián)后，等效彈簧剛度加強，即：n個彈簧并聯(lián)：彈簧串聯(lián)：兩個彈簧串聯(lián)：彈性力相等。顯然，彈簧并聯(lián)后，等效彈簧剛度加強，即：32聯(lián)立得：顯然，彈簧串聯(lián)，等效彈簧剛度減弱，即：n個彈簧串聯(lián)：彈簧的串聯(lián)、并聯(lián)，不能按表面形式劃分，要根據(jù)力學特性的分析來判斷。（1.2.23）聯(lián)立得：（1.2.23）33例2-4:一卷揚機通過鋼絲繩,繞過定滑輪吊起一重物.已知:重物重噸,鋼絲繩的彈簧剛度下降速度：求:

卷揚機突然剎車,鋼絲繩上端突然停止時,鋼絲繩的最大張力.解:重物勻速下降時,鋼絲繩中的張力:當鋼絲繩上端突然停止,重物由于慣性繼續(xù)往下運動,開始在靜平衡位置上下自由振動.靜平衡位置例2-4:一卷揚機通過鋼絲繩,繞過定滑輪吊起一重物.靜平衡34固有頻率為:初始條件為:振幅:由于振動引起鋼絲繩中的最大張力為:鋼絲繩中最大張力為:固有頻率為:35討論：顯然，振動增加了鋼絲繩中的張力。當鋼絲繩的剛度k和運動速度比較大時，最大動張力會很大，可能導致鋼絲繩的損壞；因此，運行中應避免這種情況發(fā)生。由于最大動張力與剛度k的平方根成正比，故對承受這種突然沖擊載荷的零件，剛度小反而安全。為此，人們在吊鉤與鋼絲繩間加一個圓柱螺旋彈簧，這等于在鋼絲繩上串聯(lián)一個剛度較小的彈簧，降低系統(tǒng)的剛度。這種吊鉤-彈簧減振鉤。討論：36改寫為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)①單自由度扭振系統(tǒng)G-剪切模量I-截面極慣性矩J-圓盤轉(zhuǎn)動慣量T-扭矩由材料力學可知：扭轉(zhuǎn)剛度為：產(chǎn)生單位角位移所需的扭矩。由對x軸的動平衡可得：（1.3.2)(1.3.1)（1.3.4a)（1.3.4b)改寫為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)①單自由度扭振系統(tǒng)G-剪37系統(tǒng)的響應為：與質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的對應關系系統(tǒng)的扭振的固有頻率（自振頻率）（1.3.5)（1.3.6)系統(tǒng)的響應為：與質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的對應關系系統(tǒng)的扭振的固有頻率38改寫為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)②單擺以角度為位移,其運動微分方程為:當擺幅很小時,有,線性化為：(1.3.7a)（1.3.7b)（1.3.8a)m（1.3.8b)改寫為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)②單擺以角度為39（1.3.9)系統(tǒng)的固有頻率為:微幅擺動下，振動周期與擺錘的質(zhì)量無關。擺動周期和擺長的關系：當擺動周期為時，其擺長為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)（1.3.10)（1.3.9)系統(tǒng)的固有頻率為:當擺動周期為時，其擺長為：§40例1-5

已知：直升機槳葉的質(zhì)量m，質(zhì)心與鉸之間距離為。微幅擺動，測得擺動周期。求：槳葉繞垂直鉸O的轉(zhuǎn)動慣量解：取圖示坐標系根據(jù)繞固定鉸的動量矩定理，有：微幅擺動有：于是振動方程線性化為：例1-5已知：直升機槳葉的質(zhì)量m，質(zhì)心與鉸根據(jù)繞41固有頻率和固有周期分別為：于是繞固定鉸O的轉(zhuǎn)動慣量為：根據(jù)平行移軸公式，可求出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為固有頻率和固有周期分別為：于是繞固定鉸O的轉(zhuǎn)動慣量為：根據(jù)平42§1.3等效單自由度系統(tǒng)③簡支梁橫向振動簡化模型：梁的質(zhì)量全部集中在梁的中部，其等效質(zhì)量為梁的中部靜撓度作為系統(tǒng)的靜位移，根據(jù)材料力學中靜撓度公式，有梁的等效剛度為：EI—為梁的抗彎剛度（1.3.11)（1.3.12)§1.3等效單自由度系統(tǒng)③簡支梁橫向振動簡化模型：梁的中43取靜平衡位置為系統(tǒng)的坐標原點，系統(tǒng)的振動方程為：自由振動下，外力為零，有：振動的固有頻率為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)（1.3.13a)（1.3.13b)（1.3.14)取靜平衡位置為系統(tǒng)的坐標原點，系統(tǒng)的振動方程為：自由振動下，44例1-6：如圖：一等截面簡支鋼梁質(zhì)量不計，有一物快從梁的中點上方處落下，且物塊與梁接觸后不分開。計算接觸后系統(tǒng)自由振動的固有頻率及振幅。已知:解:梁中點受單位力作用的撓度即為柔度系數(shù):因此，系統(tǒng)的固有頻率為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)例1-6：如圖：一等截面簡支鋼梁質(zhì)量不計，有一物快從梁的中點45重物落下與梁接觸時開始振動，初始條件為：振幅為：梁中點的最大位移：§1.3等效單自由度系統(tǒng)0靜平衡位置初始位置重物落下與梁接觸時開始振動，初始條件為：§1.3等效單自由46④懸臂梁簡化模型：梁的質(zhì)量全部集中在自由端，其等效質(zhì)量為。梁自由端的靜撓度作為系統(tǒng)的靜位移，根據(jù)材料力學中靜撓度公式，有懸臂梁的等效剛度為：EI—為梁的抗彎剛度（1.3.15)（1.3.16)§1.3等效單自由度系統(tǒng)④懸臂梁簡化模型：梁自由端的靜撓度作為系統(tǒng)的靜位移，根據(jù)材47⑤等效質(zhì)量在前面的討論中，一般假定彈性元件的質(zhì)量可忽略。這樣的簡化有時可以滿足精度要求。但是，當彈性元件的質(zhì)量占系統(tǒng)的總質(zhì)量的一定比例時，彈性元件的質(zhì)量不能忽略。否則計算的固有頻率就偏高。這時就需要把彈性元件的質(zhì)量等效地集中到系統(tǒng)的質(zhì)量上。等效的原則是系統(tǒng)的總動能不變。§1.3等效單自由度系統(tǒng)⑤等效質(zhì)量§1.3等效單自由度系統(tǒng)48以彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例：假定彈簧單位長度質(zhì)量：，彈簧長：，重那么，距離固定端處的位移為：整個彈簧的動能為：m系統(tǒng)的總動能：彈簧的等效質(zhì)量（1.3.17）§1.3等效單自由度系統(tǒng)以彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例：m系統(tǒng)的總動能：彈簧的等效質(zhì)量（1.3.49系統(tǒng)的勢能仍和忽略彈簧質(zhì)量時相同：對于保守系統(tǒng)，機械能守恒，故有：對于簡諧振動，因此，最大動能和勢能分別為：能量守恒得：

平衡位置最大振幅位置（1.3.18）系統(tǒng)的勢能仍和忽略彈簧質(zhì)量時相同：平衡位置最大振幅位置（1.50結(jié)果說明，只要把彈簧質(zhì)量的1/3作為一個集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上，就可把彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)固有頻率的影響考慮進去。近似解的精度：當，固有頻率的相對誤差：當，固有頻率的相對誤差：當，固有頻率的相對誤差：等效質(zhì)量的計算：把彈簧分布質(zhì)量的總動能=以等效質(zhì)量作為集中質(zhì)量的動能。（1.3.18）結(jié)果說明，只要把彈簧質(zhì)量的1/3作為一個集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上51例1-7：設有一均勻等截面簡支梁，中間有一集中質(zhì)量，若將梁本身質(zhì)量考慮在內(nèi)，試計算梁的等效質(zhì)量和系統(tǒng)的固有頻率。解：假定自由振動時梁的動撓度曲線形式與梁中間作用集中力產(chǎn)生的靜撓度曲線形式一樣，任意兩點動位移之比等于任意兩點的靜位移之比，因此有：

式中：例1-7：設有一均勻等截面簡支梁，中間有一集中質(zhì)量，若52

是梁左半段單位力作用下靜位移撓度曲線，由材料力學可知：

是梁中間點處單位力作用下靜撓度。因此，動撓度曲線為：設梁單位質(zhì)量為，則整個梁的動能為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)是梁左半段單位力作用下靜位移撓度曲線53因此簡支梁的等效質(zhì)量為：簡支梁的彈簧剛度為：考慮梁的質(zhì)量情況下，系統(tǒng)的固有頻率為：差不多是梁的總質(zhì)量的一半(1.3.19)(1.3.20)差不多是梁的總質(zhì)量的一半(1.3.19)(1.3.20)54§1.3等效單自由度系統(tǒng)例1-8:一支承于無摩擦軸承中的等截面圓軸，兩端各帶有轉(zhuǎn)動慣量分別為的推進器。把兩圓盤按相反方向扭轉(zhuǎn)，然后放松，求扭轉(zhuǎn)振動頻率。解：不動面該例本來是兩個自由系統(tǒng)。但是題中所述兩個圓盤反向扭轉(zhuǎn)引起的自由振動，運動位移是相對角位移。因此可判斷在兩個圓盤之間軸上存在一個不動面（該點相對角位移在振動過程中始終為零）?！?.3等效單自由度系統(tǒng)例1-8:一支承于無摩擦軸承中的55§1.3等效單自由度系統(tǒng)對這樣的兩個自由度振動系統(tǒng)實際是可看成兩個單自由度以相同固有頻率振動。固有頻率為：不動面扭轉(zhuǎn)剛度分別為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)對這樣的兩個自由度振動系統(tǒng)實際是可56§1.3等效單自由度系統(tǒng)則由兩段振動頻率相同得：再由，故可求出：系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率為：式中：（1.3.21)（1.3.22)§1.3等效單自由度系統(tǒng)則由兩段振動頻率相同得：（1.3.57§1.3等效單自由度系統(tǒng)例1-9：求圖所示的兩個結(jié)構系統(tǒng)的固有頻率。其中彈簧的剛度解：這兩個結(jié)構中的懸臂梁可視為豎直方向的彈簧，剛度系數(shù)為：

（a）（b）§1.3等效單自由度系統(tǒng)例1-9：求圖所示的兩個結(jié)構系統(tǒng)的58因此，對第一個結(jié)構系統(tǒng)可看成兩個彈簧串聯(lián)結(jié)構，第二個結(jié)構系統(tǒng)可看成兩個彈簧并聯(lián)結(jié)構。它們的等效彈簧剛度分別為：固有頻率分別為：§1.3等效單自由度系統(tǒng)因此，對第一個結(jié)構系統(tǒng)可看成兩個彈簧串聯(lián)結(jié)構，第二個結(jié)構系統(tǒng)59§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動阻尼力：從無阻尼自由振動的解我們知道，當系統(tǒng)受到一個初始擾動之后，質(zhì)量將永不停止地在其平衡位置附近做等幅振動。但實際情況是，這種振動不久就會停止。理論分析和實際之間的差別的原因在于理論分析沒有考慮系統(tǒng)阻力。阻力的存在將消耗系統(tǒng)的機械能轉(zhuǎn)化為聲能和熱能傳出去。在自由振動中，系統(tǒng)的機械能來自初始輸入系統(tǒng)的能量（動能和勢能），隨著時間的增加，能量的消耗導致系統(tǒng)的振幅逐漸減小而最后停止。這種振幅衰減振動為有阻尼自由振動?！?.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動阻尼力：60§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動阻力有多種來源，例如兩種物體之間的干摩擦、有潤滑的兩個面之間的摩擦力、氣體和液體等介質(zhì)的阻力、電磁阻力或材料內(nèi)部的摩擦阻力等。在振動中這些阻力統(tǒng)稱為阻尼。黏性阻尼：物體沿潤滑表面滑動或在流體中低速運動時，阻力的大小可認為與相對速度成正比，方向與速度反向——黏性阻尼。數(shù)學表達為：式中：c–為黏性阻尼系數(shù)，單位：N?s/m。§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動阻力有多種來源，例如兩61§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動材料阻尼：結(jié)構材料本身的內(nèi)摩擦引起的阻力。完全彈性材料內(nèi)應力與應變相位相同，在反復加卸載過程中，沒有能量損失。而在黏彈性材料中，應變滯后于應力，有相位差，在加卸載過程中形成滯后回線，因此要耗散能量，成為振動的阻尼。黏性阻尼與速度成正比，因此又稱線性阻尼。加載卸載加載卸載§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動材料阻尼：結(jié)構材料本身62振動方程及其解：考慮一個質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。以靜平衡位置為坐標原點，其運動方程為：由常微分方程理論，設解具有下列形式：代入微分方程后，其特征方程可表示為：§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動（1.4.2）m（1.4.1）振動方程及其解：§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動（1.63特征方程為：解出一對特征根：（1.4.3）（1.4.4）（1.4.5）引入無量剛參數(shù)阻尼比：—系統(tǒng)的固有頻率，—系統(tǒng)臨界阻尼系數(shù)§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動特征方程為：（1.4.3）（1.4.4）（1.4.5）引入無64運動方程可改寫為：特征方程的根可改寫為：顯然，對于不同的阻尼比，解的性質(zhì)取決于根式是實數(shù)還是虛數(shù)。（1.4.1b）§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動（1.4.6）臨界阻尼系數(shù)取決于系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量特性。阻尼比反映了阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。運動方程可改寫為：特征方程的根可改寫為：（1.4.1b）§165§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動①過阻尼情況：特征方程的兩個根為不等的實根：因此運動微分方程通解為：（1.4.6a）（1.4.7）§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動①過阻尼情況66響應曲線表明：響應由初始位移先增加到某一極值，然后逐漸衰減為零。越過靜平衡位置只有一次，因此大阻尼下系統(tǒng)的運動不是振動。由初始條件可確定積分常數(shù)為§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動（1.4.8）響應曲線表明：由初始條件可確定積分常數(shù)為§1.4有阻尼單自67§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動②臨界阻尼情況：在這種情況下，特征方程的根為兩個相等的實根，即：根據(jù)微分方程理論，此時有阻尼運動微分方程的通解為：引入初始條件得：臨界阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的運動具有衰減性，但不具有振動性。（1.4.10）（1.4.11）§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動②臨界阻尼情況：（68③欠阻尼情況：根式為虛數(shù)，令運動微分方程的通解為：一對共軛復數(shù)。式中由初始條件確定。（1.4.13）§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動（1.4.14）（1.4.12）③欠阻尼情況：一對共軛復數(shù)。式中69§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動引入初始條件得：則：

（1.4.15）（1.4.16）式中:（1.4.17）分別為單位初位移和單位初速度引起的自由振動§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動引入初始條件得：（1.70§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動進一步改寫為振幅和相位形式：式中：（1.4.18）（1.4.19）§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動進一步改寫為振幅和相位71a.欠阻尼情況下響應特性:振幅隨時間逐漸衰減，衰減的程度依賴系統(tǒng)的阻尼比；欠阻尼下自由振動仍有周期性；欠阻尼下振動的圓頻率比無阻尼時圓頻率要小；因此振動的周期要比無阻尼時的大?！?.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(1.4.20)a.欠阻尼情況下響應特性:§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的72阻尼對自由振動的影響：阻尼對固有頻率的影響：工程中通常,所以阻尼對固有頻率影響較小。有阻尼頻率（周期）可近似等于無阻尼的頻率（周期）。阻尼對振幅的影響：阻尼對振幅的影響很大，阻尼使系統(tǒng)的振幅按幾何級數(shù)衰減。振幅衰減率：相鄰兩個振幅之比?！?.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動阻尼對自由振動的影響：§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動73對數(shù)衰減率：為了避免求指數(shù)值不便，常常采用對數(shù)形式，即：

為了提高計算精度，往往可用相隔幾個周期的振幅之比來表示對數(shù)衰減率：（1.4.21）對數(shù)衰減率：為了避免求指數(shù)值不便，常常采用對數(shù)形式，即：（174由此可得對數(shù)衰減率為：阻尼比為:可用此式測量系統(tǒng)的阻尼比.（1.4.21b）（1.4.22）在阻尼比小于0.4時,可用近似式計算阻尼比.由此可得對數(shù)衰減率為：（1.4.21b）（1.4.22）在阻75§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動例1-10：已知：結(jié)構如圖所示。不計擺桿的質(zhì)量，求：結(jié)構系統(tǒng)的繞O點小幅擺動的阻尼振動頻率和臨界阻尼系數(shù).解：選取剛桿轉(zhuǎn)角為系統(tǒng)位移。設順時針方向為正，靜平衡位置為坐標原點。m根據(jù)動量矩定理，可得系統(tǒng)的運動方程為：進一步簡化成形式為：§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動例1-10：已知：結(jié)構76進一步改寫標準形式為：系統(tǒng)的固有頻率為：阻尼比為：阻尼振動頻率為：當阻尼比是1時，可得臨界阻尼系數(shù)為：進一步改寫標準形式為：系統(tǒng)的固有頻率為：阻尼振動頻率為：當阻77例1-11：如圖單跨排架。橫梁剛度無窮大，橫梁及柱的部分質(zhì)量集中在橫梁處。在橫梁處加一水平力，柱頂產(chǎn)生側(cè)移。這時，卸除載荷，排架做自由振動。振動一周后柱頂側(cè)移為。求：1）排架阻尼比；2）振動十周后，柱頂側(cè)移。解：1）由得阻尼比為：2）由得§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動例1-11：如圖單跨排架。橫梁剛度無窮大，橫梁及柱的部分質(zhì)78例1-12:試證明:在衰減的自由振動中,振動系統(tǒng)每個周期耗散的機械能與每個周期開始的機械能之比為常量,在阻尼比很小時等于證明:設在某一周期開始時的振幅為:結(jié)束時的振幅為:則對應的機械能為:因此,利用級數(shù)展開:所以:當阻尼比很小時:§1.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動例1-12:試證明:在衰減的自由振動中,振動系統(tǒng)每個周期耗79§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動強迫振動：由外界持續(xù)激勵引起的振動。激勵來源：一類是持續(xù)的激勵力，可能直接作用于系統(tǒng)的質(zhì)塊上或由系統(tǒng)中運動部件的不平衡離心力引起的；另一類是持續(xù)的支座運動。m1駕駛者m2自行車k1=2k車坐下彈簧k2=k輪胎x2vl§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動強迫振動：由外界持80§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動簡諧力激勵下強迫振動的解穩(wěn)態(tài)振動響應§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動81簡諧力激勵強迫振動的解

考慮一個質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)使受一個簡諧激勵作用。取靜平衡位置為基準點，運動微分方程可表示為：

進一步改寫為：方程為非齊次微分方程，故解由齊次方程的通解（有阻尼的自由振動）加上非齊次特解組成。m（1.5.1a）（1.5.1b）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動簡諧力激勵強迫振動的解 m（1.5.1a）（1.5.1b）§82§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動設齊次解和特解的疊加為：這里齊次解和特解分別滿足下述方程：齊次解可由上節(jié)自由振動的解形式確定，即（1.5.3）（1.5.4）（1.5.5）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動設齊次解和特解的疊83§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動設特解為：式中：代入運動微分方程得：上式對任何時刻都成立，因此，有（1.5.6）（1.5.7）（1.5.8）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動設特解為：（1.584§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動兩邊同除以得：聯(lián)立方程中第二式可改寫為：代入第一式中得：式中，頻率比，靜位移：（1.5.9）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動兩邊同除以得：85§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動因此有：由此得：系統(tǒng)的特解振幅和相位分別為：（1.5.10a）（1.5.10b）（1.5.10c）（1.5.10d）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動因此有：（1.5.86§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動方程的通解為:代入初始條件得:聯(lián)立求解得:（1.5.11a）（1.5.11b）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動方程的通解為:（187§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動通解：第一部分代表系統(tǒng)由初始條件引起的自由振動；第二部分代表由簡諧激勵力引起的有阻尼的瞬態(tài)振動，頻率為系統(tǒng)有阻尼固有頻率；第三部分簡諧激勵作用下的強迫振動，振幅和振動頻率與初始條件無關，振動頻率與激勵力同頻率。前兩部分振動隨著時間增加，逐漸衰減；后一部分振動是穩(wěn)態(tài)強迫振動。（2.5.16）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動通解：（2.5.188

完整強迫振動是兩部分振動的合成;瞬時振動隨時間增加而逐漸衰減到可忽略不計;穩(wěn)態(tài)振動是簡諧振動,振幅不隨時間變化;由于是兩種振動的疊加,完整運動在初始階段由于呈現(xiàn)比較復雜的波形.完整強迫振動隨時間增加逐漸趨近于穩(wěn)態(tài)振動.

完整強迫振動由復雜振動到穩(wěn)態(tài)振動的過程_過渡過程;過渡過程的的長度與阻尼比成反比.完整強迫振動是兩部分振動的合成;完整強迫振動由復雜振動到89§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動2.穩(wěn)態(tài)振動響應：其中，穩(wěn)態(tài)振動的振幅動力系數(shù)（位移振幅放大因子）相位角（動位移落后與激勵力）：當阻尼比為零，結(jié)果就對應無阻尼情況。（1.5.12）（1.5.13b-14a）（1.5.14b）（1.5.13a）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動2.穩(wěn)態(tài)振動903.頻響特征曲線 以阻尼比為參量，將放大因子與頻率比畫出曲線——幅頻曲線。①位移頻響曲線a.位移幅頻曲線當>0.7時,放大因子沒有峰值，且小于1。當<0.7時,稱為“小阻尼”情況.在這種情況下,放大因子有峰值,且大于1.§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動3.頻響特征曲線①位移頻響曲線§1.5單自由度系統(tǒng)91對應小阻尼，考察三種情況：在時：激勵力變化很慢，接近靜載荷情況，放大因子；在時：激勵力變化較快，系統(tǒng)還來不及響應，幾乎不動，放大因子；在時，激勵力頻率近系統(tǒng)的固有頻率，共振發(fā)生。共振時，放大因子為

當阻尼比較小時，放大因子是一個很大量。§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動對應小阻尼，考察三種情況：當阻尼比較小時，放大因子是一個很大92§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動b.相頻曲線及其特性有阻尼情形的相位是在之間連續(xù)變化的光滑曲線；阻尼比越小，相頻曲線越靠近和兩條水平線；無阻尼情況對應是和兩條水平線，在頻率比等于1處間斷。不論阻尼比大小，與幅頻曲線相對應的三個區(qū)域：當，在區(qū)域，相位隨近似線性變化?！?.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動b.相頻曲線及其93②速度幅頻特性：根據(jù)位移的穩(wěn)態(tài)響應，很容易得到速度時間歷程為

式中速度振幅和相位可表達為：速度放大因子定義為：（1.5.15）（1.5.16）（1.5.17）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動②速度幅頻特性：式中速度振幅和相位可表達為：速度放大因子定94③加速度幅頻特性：同樣，可以得到加速度時間歷程為

加速度振幅和相位分別可表示為加速度放大因子定義為：（1.5.18）（1.5.19）（1.5.20）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動③加速度幅頻特性：加速度振幅和相位分別可表示為（1.5.95§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動96由幅頻特征曲線分析，穩(wěn)態(tài)響應具有如下特征：⑴低頻段()由各幅頻特性曲線可知說明:在低頻段振動的位移振幅近似等于激勵力幅作用下的靜位移，而速度振幅和加速度振幅接近零;此時系統(tǒng)可看作靜態(tài),因而穩(wěn)態(tài)振幅可近似取為（1.5.21）（1.5.22）由幅頻特征曲線分析，穩(wěn)態(tài)響應具有如下特征：（1.5.21）（97§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動穩(wěn)態(tài)振動與激勵力間的相位差分別由相頻曲線得到,即:

此式表明,位移和激振力同相位,系統(tǒng)運動主要由彈性力和激勵力的平衡關系給出,系統(tǒng)基本呈彈性.（1.5.23）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動穩(wěn)態(tài)振動與激勵力間98§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動⑵高頻段()在高頻有：說明:在高頻段，穩(wěn)態(tài)位移和速度都很小，而穩(wěn)態(tài)加速度幅值為加速度于激振力基本同相位，故系統(tǒng)運動主要由慣性力于激振力間的平衡關系給出。系統(tǒng)基本呈慣性。（1.5.24）（1.5.25）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動⑵高頻段(99⑶共振()對于阻尼的欠阻尼系統(tǒng)，當激勵頻率由低向高緩慢增加時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動的位移、速度和加速度都會在出現(xiàn)極大值，系統(tǒng)發(fā)生強烈振動。這種現(xiàn)象——共振。由位移極值方程，可求出位移極大值發(fā)生在頻率比為：由此可看出，位移共振頻率略低于系統(tǒng)的固有頻率。§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動1.5.26）⑶共振()§1.5單自由100類似可分別求出速度共振時和加速度共振時的頻率比分別為：說明速度共振時，激勵頻率等于系統(tǒng)的固有頻率；加速度共振時，激勵頻率略高于系統(tǒng)的固有頻率?！?.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動（1.5.27）（1.5.28）類似可分別求出速度共振時和加速度共振時的頻率比分別為：§1.101對于常見的小阻尼比系統(tǒng)，上述幾種共振頻率差異很小。為統(tǒng)一起見，定義系統(tǒng)的共振頻率比為：，即激勵力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時為共振。在時，顯而易見，系統(tǒng)的位移、速度和加速度的放大因子均相等，即從而，共振時穩(wěn)態(tài)速度幅值為：§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動（1.5.29）（1.5.30）對于常見的小阻尼比系統(tǒng)，上述幾種共振頻率差異很小。為統(tǒng)一起見102位移、速度和加速度與激振力之間的相位差分別為：說明共振時系統(tǒng)振動速度于激振力同相位，故又稱為相位共振。由相頻特性曲線可清楚地看出，不同阻尼比的相頻特性曲線都通過對應頻率比的公共點。共振時彈性力和慣性力平衡，系統(tǒng)響應由阻尼力與激振力間的平衡關系確定，系統(tǒng)呈阻尼特性?！?.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動（1.5.31）位移、速度和加速度與激振力之間的相位差分別為：§1.5單自103§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動從幅頻響應特性曲線可已看出，系統(tǒng)的劇烈振動不僅在共振頻率處出現(xiàn)，而且在其附近的一個頻率段內(nèi)部都可能較顯著。這個頻率段——共振區(qū)。通常將速度振幅放大因子下降到其峰值的倍所對應的頻段定義為共振區(qū)。在共振區(qū)內(nèi)，隨著阻尼比的增加，放大因子急劇下降；在共振區(qū)外，阻尼對放大因子的影響較小。這些說明阻尼對共振區(qū)系統(tǒng)的振動特性有非常大的影響?！?.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動從幅頻響應特性曲線104§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動為了描述共振的強烈程度和共振區(qū)的寬度，引入品質(zhì)因數(shù)概念：共振時的放大系數(shù)稱為品質(zhì)因數(shù)Q。品質(zhì)因數(shù)越大，共振峰越高，測量的信號強，靈敏度高。它反映了系統(tǒng)窄帶濾波性能。半功率點：與品質(zhì)因數(shù)相對應，在幅頻曲線上放大因子等于的點稱為半功率點。此點處功率剛好是最大功率的一半；（1.5.32）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動為了描述共振的強烈105半功率帶寬兩個半功率點之間頻帶寬度稱為半功率帶寬。半功率帶寬越大，共振區(qū)寬度越大，測量信號的頻率范圍越寬。半功率帶寬和品質(zhì)因數(shù)關系：

設半功率點對應的頻率比為：按半功率點定義有：§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動（2.5.37）（1.5.33）半功率帶寬§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動（2.5106解之得：（1.5.34）其中負根已舍去。§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動（1.5.35）也即:半功率帶寬則為：解之得：（1.5.34）其中負根已舍去。§1.5單自由度系107§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動可見阻尼比很小時，半功率帶寬和品質(zhì)因數(shù)互為倒數(shù)，與阻尼比有關。阻尼比小，則品質(zhì)因數(shù)高，共振區(qū)窄，共振峰陡峭。反之，阻尼比大，品質(zhì)因數(shù)低，共振區(qū)寬，共振峰平坦。由于共振時系統(tǒng)呈阻尼特性,可利用共振現(xiàn)象實測系統(tǒng)的阻尼比.在幅頻特性曲線上確定半功率帶寬,即由下列公式確定.（1.5.36）§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動可見阻尼比很小時，108§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動例1.5-1已知:小(欠）阻尼系統(tǒng),,激振力頻率=系統(tǒng)的固有頻率：初始條件:求:系統(tǒng)在激勵力作用下系統(tǒng)運動的全過程.解:系統(tǒng)的振動方程為:改寫為無量剛形式§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動例1.5-1109振動方程的通解為:§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動在共振時,于是,位移響應可改寫為:振動方程的通解為:§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動110§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動代入初始條件得：對于，可取從而上式可簡化為§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動代入初始條件得：對111§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動例1.5.2已知：系統(tǒng)如圖所示，總質(zhì)量M，轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子的角速度為。求：試分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動。解：用坐標表示非旋轉(zhuǎn)部分質(zhì)量M-m偏離靜平衡位置的垂直位移。M則偏心轉(zhuǎn)子的垂直位移為：旋轉(zhuǎn)機械的力學模型§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動例1.5.2M則偏112由牛頓第二定律，得系統(tǒng)在垂直方向的振動方程為：§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動整理得：因此，旋轉(zhuǎn)機械的力學模型可簡化為單自由度簡諧激勵下的強迫系統(tǒng)。離心力在鉛錘方向的分量相當于幅值為的簡諧激振力。由牛頓第二定律，得系統(tǒng)在垂直方向的振動方程為：§1.5單自113§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動方程改寫為：式中：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動響應為：或：§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動方程改寫為：或：114§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動將穩(wěn)態(tài)位移幅值化為量剛為1的形式，得：從上式可見，這種情況下位移幅頻特性曲線與常幅值簡諧力激勵系統(tǒng)的加速度幅頻特性曲線相同。

§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動將穩(wěn)態(tài)位移幅值化為115低速旋轉(zhuǎn)時，離心力很小，系統(tǒng)位移自然很小。高速旋轉(zhuǎn)時，，，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移是偏心距的倍；危險是產(chǎn)生共振的轉(zhuǎn)速，即轉(zhuǎn)速接近系統(tǒng)的固有頻率，工程上對的轉(zhuǎn)速稱為轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。低速旋轉(zhuǎn)時，離心力很小，116

例1.5.3：有四根鋼桿懸掛著一塊剛性平板，在平板上放有一臺電動機。每一根鋼桿的剛度為截面積。電動機與平板的總質(zhì)量為。鋼桿質(zhì)量可忽略。當電動機開動后產(chǎn)生垂直簡諧激勵力，其中，，。阻尼的對數(shù)衰減系數(shù)為。

求：鋼桿中最大應力。

§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動 例1.5.3：有四根鋼桿懸掛著一塊剛性平板，在平板上放有一117解:因平板絕對剛性，故電動機與平板視為一體。它們的豎向位移即為剛桿的豎向位移。重力引起的靜位移為：以表示系統(tǒng)的固有頻率為：因此激勵力頻率與固有頻率相等，屬共振情況?！?.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動解:因平板絕對剛性，故電動機與平板視為一體。它們的豎向位移118§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動故剛桿中的最大動應力為：桿中最大應力為：§1.5單自由度系統(tǒng)簡諧力激勵下強迫振動故剛桿中的最大動應119§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動1.6.1振動方程m整理后,絕對運動滿足:上述方程也可用相對運動來表達,令則相對運動表達的振動方程為:m（1.6.1）（1.6.2）（1.6.3）（1.6.4）§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動1.6.1振動方程m整理120§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動1.6.2穩(wěn)態(tài)振動響應⑴絕對運動絕對運動微分方程右邊的激勵力可改寫為,式中,（1.6.5）（1.6.6）（1.6.7）§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動1.6.2穩(wěn)態(tài)振動響應絕121于是，絕對運動方程可改寫為因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為：利用零相位的正弦激振力下系統(tǒng)的振幅和相位公式（P20)，得：（1.6.8）（1.6.9）（1.6.10）于是，絕對運動方程可改寫為因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為：利用零相位122由三角函數(shù)公式有：將代入上式得：（1.6.11）（1.6.12）（1.6.13）由三角函數(shù)公式有：將123絕對運動傳遞率：我們要考察地基傳遞給機器的振動幅度有多大。定義傳遞率（無量剛形式）：§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動（1.6.14）絕對運動傳遞率：§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動（1.6.124§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動①在低頻段，有，這說明系統(tǒng)的絕對運動接近于基礎運動，它們之間基本上沒有相對運動；②在共振頻段，有峰值，說明基礎運動通過彈簧和阻尼器后被放大傳遞到質(zhì)量塊；(1.6.15)§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動①在低頻段125§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動③根據(jù)幅頻特性曲線的提示不難證明，對應不同的阻尼比的幅頻特性曲線都在時，。②在高頻段，說明基礎振動被彈簧和阻尼器隔離了。§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動③根據(jù)幅頻特性曲線的提示126§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動（2）相對運動由式（1.6.4）可知，運動微分方程為或：式中，由前面給出的簡諧激勵下的響應公式得：（1.6.16）§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動（2）相對運動或：式中，127§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動式中：無量剛化后得：（1.6.17a）（1.6.17b）（1.6.17c）§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動式中：無量剛化后得：（1.128§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動相對傳遞率：它與常幅值簡諧力作用下的系統(tǒng)加速度振幅放大因子相同，因此幅頻特性曲線P23圖1.5.4。（1.6.17d）（1.6.18）§1.6基礎簡諧激勵下的強迫振動相對傳遞率：它與常幅值簡諧129①在低頻段，有，這說明系統(tǒng)和基礎之間沒有相對運動；②在共振頻段，有峰值，相對運動很大，又因為基礎運動的幅值確定的，同樣可說明絕對運動被放大了；③在高頻段，，相對運動接近基礎運動，運動反向，從而間接說明質(zhì)塊的絕對運動趨于零?！?.6基礎簡諧激勵下的強迫振動①在低頻段，有，這說明系統(tǒng)130§1.7振動的隔離第一類隔振第二類隔振§1.7振動的隔離第一類隔振131§1.7振動的隔離隔振機器設備運轉(zhuǎn)時，發(fā)動機作為一個振源會使機器本身發(fā)生的劇烈振動，不但會引起機器自身結(jié)構或部件破壞、縮短壽命、降低效率；還會影響周圍結(jié)構物的安全。同時，由于機器的振動，使得安裝在機器上的精密儀器或電器設備不能正常運作或降低靈敏度和精度。因此必須采取有效的隔離振動_隔振。隔振就是研究物體之間振動的傳遞關系，減少相互間所傳遞的振動量。根據(jù)振源不同，可分為第一類隔振（主動隔振、隔力）和第二類隔振（被動隔振、隔幅）?！?.7振動的隔離隔振132§1.7振動的隔離第一類隔振（隔力、主動隔振）振源來自機器本身的發(fā)動機。將機器（振源）與基礎通過隔離器隔離開來，以減少振源輸出的激振力。從而減少振動對周圍的影響。例如：把具有振源的機器安裝在較大的基礎上（剛性基礎）。然后在基礎與基礎之間設置若干個橡膠隔振器，這種方法就是一種常用的主動隔振的措施。下面分析一下第一類隔振原理：§1.7振動的隔離第一類隔振（隔力、主動隔振）133§1.7振動的隔離假定具有振源的結(jié)構如圖：機器穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的不平衡的簡諧激勵為：如果不加隔振，傳遞到基礎的力就是：如果在機器和基礎之間加上彈簧和阻尼器后，就形成一個單自由度簡諧激勵作用下的強迫振動系統(tǒng)．運動微分方程為：方程的穩(wěn)態(tài)解為：或§1.7振動的隔離假定具有振源的結(jié)構如圖：或134§1.7振動的隔離（1.7.1）傳遞到基礎的力為：§1.7振動的隔離（1.7.1）傳遞到基礎的力為：135§1.7振動的隔離力的傳遞率：隔振后傳到基礎上的力的幅值與激勵力（或無隔振時傳到基礎上力）的幅值之比．即：式中：經(jīng)過隔振器傳遞到基礎的力的振幅：（1.7.2）（1.7.3）§1.7振動的隔離力的傳遞率：隔振后傳到基礎上的力的幅值與136

它與基礎簡諧激勵下系統(tǒng)絕對運動的傳遞率形式完全相同。因此，當時，此時才有隔力效果。§1.7振動的隔離它與基礎簡諧激勵下系統(tǒng)絕對運動的傳遞率形式完全相同。§137第二類隔振（被動隔振，隔幅）振源來自基礎運動；采取隔振措施以減少傳到系統(tǒng)中的外界振動．一般采用橡膠隔振器把機器和基礎隔開，就是被動隔振．設：質(zhì)量的絕對位移為：，基礎的位移為：其力學模型如圖所示：基礎作簡諧運動時，基礎的絕對運動傳遞率在前一節(jié)由式（1.6.14)給出。§1.7振動的隔離m第二類隔振（被動隔振，隔幅）§1.7振動的隔離m138§1.7振動的隔離即：顯然，只有當即時，隔振器才有效果。綜上所述，無論是隔力還是隔幅，只有當，才有隔振效果。因此，隔振器的剛度應滿足：（1.7.4）（1.7.5）§1.7振動的隔離即：顯然，只有當即139§1.7振動的隔離由式(1.7.3)和式(1.7.4)可見：無論是隔力還是隔幅，其傳遞率與頻率比的關系是相同的.從幅頻特性曲線還可以進一步看到：當后，隨著頻率比增大，傳遞率逐漸趨于零；當時，傳遞率隨阻尼比增大而提高，也就是說此時增大阻尼是不利隔振的．必須選擇合適的阻尼.由于阻尼比一般很小,和在高頻段可近似為：（1.7.6）§1.7振動的隔離由式(1.7.3)和式(1.7.4)可140§1.7振動的隔離例1.7.1已知：某直升機在旋翼額定轉(zhuǎn)速時，引起機身強烈振動，為使飛機上的電子設備的隔振效果達到，求：隔振器的彈簧在設備自重下的靜變形。解：記隔振器彈簧在設備自重下的靜變形為則隔振系統(tǒng)的的固有頻率可寫作：若工作頻率為，要求隔振效果達到，由式（1.7.6）有，§1.7振動的隔離例1.7.1已知：某直升機在旋翼額定轉(zhuǎn)速141§1.7振動的隔離代入得，將參數(shù)和代入得，此例說明，低頻隔振器的彈簧必須很柔軟。柔軟彈簧帶來的問題：1）隔振系統(tǒng)要有足夠大的靜變形空間；2）側(cè)向穩(wěn)定性差。因此，隔離低頻振動是工程實踐中的難題。§1.7振動的隔離代入142§1.7振動的隔離例1.7.2已知：如圖所示，。

初始設計時，系統(tǒng)振動強烈。為此采用三種措施：求：各種狀態(tài)下，系統(tǒng)的絕對位移和傳遞到基礎上的力。解：分別由式（1.5.10)和（1.7.2)：①②③（書上給的條件有問題）§1.7振動的隔離例1.7.2已知：如圖所示，143§1.7振動的隔離解：分別由式（1.5.10)和（1.7.2)得：初始設計：§1.7振動的隔離解：分別由式（1.5.10)和（1.7.144§1.7振動的隔離①增加質(zhì)量§1.7振動的隔離①增加質(zhì)量145②增加剛度②增加剛度146③增加阻尼③增加阻尼147振動力學機械科學與工程學院振動力學機械科學與工程學院148第一章單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)振動方程無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動等效單自由度系統(tǒng)有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動簡諧激勵下的強迫振動基礎簡諧激勵下的強迫振動振動的隔振等效線粘性阻尼周期激勵下的振動分析瞬時激勵下的振動分析第一章單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)振動方程149建立系統(tǒng)振動運動方程：找出力與運動量之間微分關系求解方程，找出系統(tǒng)的響應分析響應的時頻特性離散化建立有限自由度物理模型§1.1單自由度系統(tǒng)振動方程振動分析：建立振動微分方程：是振動分析的基礎。動靜法、拉格朗日方程法、能量法等。建立系統(tǒng)振動運動方程：找出力與運動量之間微分關系求解方程，找1501）質(zhì)塊-彈簧系統(tǒng)（最簡單的振動模型）m

m靜平衡位置

建立坐標系；取分離體畫受力圖；牛頓第二定率建立力和運動要素之間的關系式。1、動靜法：單自由度無阻尼振動方程一般形式無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動方程(1.1.1)(1.1.2)若外力為零，則有：1）質(zhì)塊-彈簧系統(tǒng)（最簡單的振動模型）mm靜平衡位置建立151情況1：以初始位置為基準，情況2：以靜平衡位置為基準2）質(zhì)塊-彈簧-阻尼系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)振動方程一般式單自由系統(tǒng)的自由振動方程(1.1.3)(1.1.4)(1.1.5)情況1：以初始位置為基準，2）質(zhì)塊-彈簧-阻尼系統(tǒng)單自由度152例1-1（利用動量矩平衡）如圖，抗彎剛度無窮大的直桿，兩端有兩個集中質(zhì)量。例1-1（利用動量矩平衡）如圖，抗彎剛度無窮大的直桿，153拉格朗日方程法：對單自由度系統(tǒng)，拉格朗日方程為：對于具有定常約束系統(tǒng)，上式進一步簡化為：對于具有定常約束保守系統(tǒng)，進一步簡化為：或?qū)哂卸ǔ＜s束保守系統(tǒng)利用機械能守恒，也可導出運動微分方程（1.1.6）（1.1.7）（1.1.8）（1.1.9）拉格朗日方程法：（1.1.6）（1.1.7）（1.1.8）（154例1-2：如圖：光滑水平面上質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。解：系統(tǒng)的動能和勢能分別為：系統(tǒng)的廣義力為：代入到拉格朗日方程得：

m例1-2：如圖：光滑水平面上質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。m155例1-3：如圖所示：圓弧形滑道上，有一均質(zhì)圓柱體作純滾動。建立其運動方程。解：因為純滾動，所以振動系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，以圓柱中心繞軌道中心轉(zhuǎn)過的角度為自由度。圓柱質(zhì)心速度：圓柱純滾動角速度：系統(tǒng)動能為：例1-3：如圖所示：圓弧形滑道上，有一均質(zhì)圓柱體作純滾動。156系統(tǒng)的勢能為：①機械能守恒方法：因為系統(tǒng)為定常約束保守系統(tǒng)，機械能守恒，故有：即：此方程是非線性的。對圓柱微幅運動，，方程可近似線性化為：系統(tǒng)的勢能為：157②拉格朗日方法代入拉格朗日方程有：（有勢力場，Q=0)②拉格朗日方法代入拉格朗日方程有：（有勢力場，Q=0)158§1.2無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動特征解初始擾動引起的自由振動簡諧振動及其特征彈簧阻尼器的串聯(lián)并聯(lián)（等效剛度）§1.2無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動特征解159§1.2.1特征解無阻尼：系統(tǒng)在運動過程中沒有任何阻尼力。自由振動：系統(tǒng)振動是由初始擾動激勵的， 沒有任何外力作用于系統(tǒng)。任何的單自由度系統(tǒng)都可等價為特定的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)：系統(tǒng)運動的微分方程：m令：，則方程變?yōu)椋海?.2.1b）(1.2.1a)§1.2.1特征解無阻尼：系統(tǒng)在運動過程中沒有任何阻尼力。160由方程（1.2.1）可知：其解具有下列形式：

代入方程得：振動位移不恒為零，有其解為特征根：式中：（弧度/秒）特征方程（1.2.2）（1.2.3）（1.2.4）系統(tǒng)的固有圓頻率，簡稱固有頻率。（1.2.5）一對共軛復根。由方程（1.2.1）可知：其解具有下列形式：特征方程（1.2161系統(tǒng)的解為：其中，系數(shù)由系統(tǒng)的初始條件：確定。把解改寫為振幅相位形式：其中：分別為振幅和初相位。（1.2.6）（1.2.7）系統(tǒng)的解為：（1.2.6）（1.2.7）162§1.2.2初始擾動引起的自由振動給定初始條件確定：代入初始條件到位移響應中得：則位移通解（系統(tǒng)的響應）為（1.2.8）（1.2.9）（1.2.10a）（1.2.10b）另一種表達式：分別為單位初位移、單位初速度引起單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動。§1.2.2初始擾動引起的自由振動給定初始條件（1.2.8163此式可表達為振幅相位形式：其中，振幅：初相位：（1.2.11）（1.2.12a）（1.2.12b）此式可表達為振幅相位形式：（1.2.11）（1.2.12a）164§1.2.3簡諧振動及其特征單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動。是兩種同頻率的簡諧運動的合運動，一種是由初始速度產(chǎn)生的，另一種是由初始位移產(chǎn)生的。兩種運動的相位差是90度。確定簡諧振動的三要素：頻率、振幅和初相位。振動圓頻率=系統(tǒng)的固有頻率，與初始條件無關。振幅和初相位依賴系統(tǒng)的初始條件。也就是說，取決于初始時刻輸入系統(tǒng)的能量。§1.2.3簡諧振動及其特征單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡165簡諧振動的重要特征：簡諧振動是一種周期振動周期振動滿足條件：即每經(jīng)過固定時間間隔，振動將重復原來的過程。最小正常數(shù)-振動周期。（1.2.14）（1.2.13）—無阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動的固有周期。簡諧振動的重要特征：（1.2.14）（1.2.13）—無阻166由頻率公式可以看出：1）質(zhì)量不變下，剛度越大或剛度不變下，質(zhì)量越小。其振動的頻率越大，振動的周期越短。振動的恢復力越大，物體越容易回到靜平衡位置。2）反之，情況恰好相反。(赫茲）表示1秒內(nèi)重復振動的次數(shù)。（1.2.15-1.2.16）固有頻率的另一種形式：(赫茲）表示1秒內(nèi)重復振動的次數(shù)。（1.2.15-固有頻率的167(a)圖:簡諧振動時間域內(nèi)變化特征周期:兩個波峰或波谷間的水平距離T稱為周期.它也是振動一次需要的時間;頻率:周期的倒數(shù)為頻率.表示振動的快慢程度,即在1秒之內(nèi)振動的次數(shù).振幅:波峰或波谷的高度.初相角:初始時刻OR矢量與x軸之間的夾角.(b)表示長度為A的矢量OR從角初始位置出發(fā),以等角速度在xOy平面內(nèi)做圓周運動.該矢量在t時刻在y軸上的投影即為位移響應在同一時刻的值.(b)用旋轉(zhuǎn)矢量表示簡諧運動

旋轉(zhuǎn)矢量表達的簡諧振動：(a)圖:簡諧振動時間域內(nèi)變化特征(b)表示長度為A的矢量168簡諧運動的位移、速度和加速度之間的關系：速度和加速度可分別表達為：速度和加速度也是簡諧函數(shù)，并與位移具有相同頻率；在相位上，速度超前位移90，加速度超前位移180°。加速度始終與位移反向：速度和加速度的幅值分別是振幅的（1.2.17）（1.2.18）簡諧運動的位移、速度和加速度之間的關系：（1.2.17）（1169機械振動基礎-單自由度系統(tǒng)-1課件170靜平衡位置最大振幅A-A0x初始位置速度為零，位移，加速度絕對值最大，方向反向。速度為零，位移，加速度絕對值最大，方向反向。速度減小速度增加速度減小速度增加速度最大位移，加速度為零最大振幅最大速度簡諧振動過程動能最大勢能為零動能為零勢能最大動能為零勢能最大靜平衡位置最大振幅A-A0x初始位置速度為零，速度為零，速度171振動方向相同的簡諧振動合成：運用三角函數(shù)公式容易證明：

兩個同頻率簡諧振動的合成結(jié)果仍然為簡諧振動，且頻率不變。兩個不同頻率的簡諧振動合成結(jié)果一般為周期運動，特殊情況下為非周期振動（頻率比為無理數(shù)）。振動方向相同的簡諧振動合成：172兩個頻率十分接近的簡諧振動合成后會產(chǎn)生周期性的拍振。(振幅按著兩個振動頻率的差頻簡諧變化)兩個頻率十分接近的簡諧振動合成后會產(chǎn)生周期性的拍振。173振動方向相互垂直的簡諧振動合成利用解析幾何知識可以證明：同頻率兩個簡諧振動在同一平面內(nèi)沿相互垂直方向合成后的運動軌跡一般為橢圓。若頻率不同，合成后的運動軌跡則較為復雜。當頻率間存在一定的比例關系時，合成后的運動軌跡呈現(xiàn)出穩(wěn)定有規(guī)律的圖像。——這些圖形-李沙育圖振動方向相互垂直的簡諧振動合成174設兩個簡諧振動為

動點獨立地在水平方向作圓頻率為1rad/s,振幅為的振動；在垂直方向作圓頻率為，振幅為的振動。（見P11圖1.2.3）李沙育圖形在平面u1,u2上的投影與頻率，相位有很大關系。設兩個簡諧振動為動點獨立地175機械振動基礎-單自由度系統(tǒng)-1課件176機械振動基礎-單自由度系統(tǒng)-1課件177§1.2.4彈簧和阻尼器的串聯(lián)與并聯(lián)在較復雜的單自由度結(jié)構系統(tǒng)中，有較多的彈性元件，每個彈性元件相當于一個彈簧，它們之間串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)關系，可用一個等效彈簧來代替。利用等效彈簧剛度，使固有頻率計算簡化。彈簧并聯(lián)：兩個彈簧并聯(lián)：彈性變形相等?？紤]到：由上兩式求得：（1.2.20）§1.2.4彈簧和阻尼器的串聯(lián)與并聯(lián)在較復雜的單自由度結(jié)構178顯然，彈簧并聯(lián)后，等效彈簧剛度加強，即：n個彈簧并聯(lián)：彈簧串聯(lián)：兩個彈簧串聯(lián)：彈性力相等。顯然，彈簧并聯(lián)后，等效彈簧剛度加強，即：179聯(lián)立得：顯然，彈簧串聯(lián)，等效彈簧剛度減弱，即：n個彈簧串聯(lián)：彈簧的串聯(lián)、并聯(lián)，不能按表面形式劃分，要根據(jù)力學特性的分析來判斷。（1.2.23）聯(lián)立得：（1.2.23）180例2-4:一卷揚機通過鋼絲繩,繞過定滑輪吊起一重物.已知:重物重噸,鋼絲繩的彈簧剛度下降速度：求:

卷揚機突然剎車,鋼絲繩上端突然停止時,鋼絲繩的最大張力.解:重物勻速下降時,鋼絲繩中的張力:當鋼絲繩上端突然停止,重物由于慣性繼續(xù)往下運動,開始在靜平衡位置上下自由振動.靜平衡位置例2-4:一卷揚機通過鋼絲繩,繞過定滑輪吊起一重物.靜平衡181固有頻率為: