數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育捷克摩拉維亞狼骨（約三萬年前）捷克摩拉維亞狼骨（約三萬年前）甲骨文數(shù)字

(1600B.C.)甲骨文數(shù)字

(1600B.C.)形的抽象形的抽象數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件幾何學(xué)的不同文化起源古代埃及—土地丈量古代中國—天文觀測古代印度—宗教禮儀

幾何學(xué)的不同文化起源古代埃及—土地丈量河谷文明與數(shù)學(xué)的起源尼羅河兩河流域—幼發(fā)拉底河與底格里斯河恒河與印度河長江與黃河

河谷文明與數(shù)學(xué)的起源尼羅河古埃及的數(shù)學(xué)非洲的尼羅河是世界上最長的河流之一．早在公元前3000年左右，在這條河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隸制國家，其地理位置與現(xiàn)在的埃及區(qū)別不大．打獵、漁業(yè)及畜牧業(yè)是古埃及人最初的謀生方式．一年一度的尼羅河的洪水給這片谷地帶來了肥沃的淤泥，那些以游牧為生的古埃及人便在這里定居下來，由狩獵轉(zhuǎn)向耕種．在發(fā)展農(nóng)業(yè)的同時，手工業(yè)與貿(mào)易也隨之迅速發(fā)展起來，這些都推動了自然科學(xué)各學(xué)科知識的積累．

古埃及的數(shù)學(xué)非洲的尼羅河是世界上最長的河流之一．早在公元前3法老時代的尼羅河流域圖法老時代的尼羅河流域圖

作為世界七大奇跡之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔，大約建于公元前2500年左右．該金字塔呈正四棱錐形，底面正方形面向東西南北四個正方向，邊長230.5m，塔高146.6m(現(xiàn)高約137m)．近年來，科學(xué)家們通過使用精密的儀器對這一金字塔進行了測量，驚奇地發(fā)現(xiàn)，其底基正方形邊長的相對誤差不超過1：14000，即不超過2cm；四底角的相對誤差不超過1：27000，即不超過12″，四個方向的誤差也僅在2′～5′之間，這些都說明當(dāng)時的測量水平已相當(dāng)高.

作為世界七大奇跡之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔，大約胡夫金字塔（公元前2500年左右）胡夫金字塔（公元前2500年左右）流傳至今的古埃及文獻，大部分是以僧侶文書寫在紙草上保存下來的，人們通常稱其為紙草書.保存至今有關(guān)數(shù)學(xué)的紙草書主要有兩種，都是公元前2000年前后的作品。

一種是陳列于英國倫敦大不列顛博物館東方展室中的蘭德紙草書，這是由英國人蘭德1858年搜集到的；蘭德紙草書長544cm,寬33cm,共載有85個問題。

另一種收藏于俄國莫斯科美術(shù)博物館，被稱為莫斯科紙草書，這是由俄羅斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的.莫斯科紙草書長544cm,寬8cm，共載有25個問題.流傳至今的古埃及文獻，大部分是以僧侶文書寫在紙草上保存下來的萊茵德紙草書(1650B.C.)

大英博物館萊茵德紙草書莫斯科紙草書(1890B.C.)莫斯科普希金博物館莫斯科紙草書(1890B.C.)莫斯科普希金博物館羅賽塔石碑

(1799發(fā)現(xiàn))1799年，拿破侖遠征軍的士兵在距離亞歷山大城不遠的記述的古港口羅賽塔地方發(fā)現(xiàn)一塊石碑，碑上刻有三種文字——希臘文、埃及僧侶文和象形文記述的同一銘文。19世紀初，法國文字學(xué)家商博良和英國物理學(xué)家托馬斯·楊

利用這塊碑文，破譯了古埃及文字。羅賽塔石碑

(1799發(fā)現(xiàn))1799年，拿破侖遠征軍的士兵古埃及人使用的是十進記數(shù)制，并且有數(shù)字的專門符號.在當(dāng)一個數(shù)中出現(xiàn)某個數(shù)碼的若干倍時，就將它的符號重復(fù)寫若干次，即遵守加法的法則。古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及人已有了分數(shù)的概念，但他們僅使用單位分數(shù)也就是分子為1的分數(shù)。在整數(shù)上方簡單地畫一個長橢圓，就表示該整數(shù)的倒數(shù)。只有2/3是一個例外.

1/7:

2/3:古埃及的記數(shù)制與算術(shù)1/7:2/3:古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及人的乘法運算與除法運算是通過疊加來進行的．例如計算：26×33．他們先將33的倍數(shù)列表，然后從左邊一列中選取出和為26的數(shù)2，8和16，再將右邊一列中它們各自對應(yīng)的數(shù)相加，即將66，264，528相加得到858即為所求．又如計算：19÷8．他們將8的倍數(shù)與部分列表，再從右邊一列中選取出其和為19的16，2，1這三個數(shù)，并將其對應(yīng)的左邊一列中的三個數(shù)2，1/4,1/8相加即為所求。古埃及人的乘法運算與除法運算是通過疊加來進行的．古埃及紙草書中出現(xiàn)的“計算若干”的問題，實際上相當(dāng)于方程問題，其解法是試位法．例如對于方程

，先給

選定一個數(shù)值，譬如說7，于是

，而不是24，因為8必須乘以3才是24，故

的正確的值一定是7乘以3即21．古埃及人還用它來解二次甚至更高次的方程．例如在卡洪(Kahun)發(fā)現(xiàn)的一份大約是公元前1950年的紙草書中記載了下列問題：將給定的100單位的面積分為兩個正方形，使二者的邊長之比為4:3．設(shè)此二正方形的邊長分別為

，且

，由題設(shè)

首先取,則

，

此時

而不是100，因此

的取值需修正．事實上，只需將原數(shù)值加倍，即可得方程的解

古埃及的代數(shù)古埃及紙草書中出現(xiàn)的“計算若干”的問題，實際上相當(dāng)于方程問題在古埃及紙草書中還有有關(guān)數(shù)列問題的記載．如蘭德紙草書中有這樣一個問題：今將10斗麥子分給10個人，每人依次遞降l／8斗，問各得多少?這是已知一個等差數(shù)列的前若干項和、項數(shù)以及公差求其各項的問題．

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蘭德紙草書中給出一個階梯圖形(如圖)，對此，數(shù)學(xué)史家康托爾是這樣解釋的：在一個人的財產(chǎn)中，有七間房子，每間房子里七只貓，每只貓能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麥，而每穗大麥又能長出七俄斗大麥，問這份財產(chǎn)中房子、貓、老鼠、麥穗和麥子總共有多少?按照這樣的解釋，顯然是一個公比為7的等比數(shù)列求和問題，階梯圖形給出的是這個數(shù)列中的各項．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件古埃及人在建筑規(guī)模宏大的教堂、金字塔和修建復(fù)雜的灌溉系統(tǒng)時，都需要測量；尼羅河水泛濫后沖刷去了許多邊界標記，洪水退后也需要重新勘測土地的界線;……所有這一切，為他們認識基本幾何形狀和形成幾何概念提供了實際背景．因此，古埃及人的幾何學(xué)知識較為豐富.

在上述兩種紙草書的110個問題中，有26個是幾何問題，其中大部分是計算土地的面積與谷物的體積，還有許多與金字塔有關(guān)．例如，古埃及人知道，任何三角形的面積均為底與高的乘積的一半；圓的面積等于直徑的8/9的平方，由此可知，他們把圓周率近似地取為3.16；直圓柱的體積為底面積與高的乘積．古埃及的幾何學(xué)古埃及人在建筑規(guī)模宏大的教堂、金字塔和修建復(fù)雜的灌溉系統(tǒng)時，在蘭德紙草書中有這樣一個問題：“已知金字塔的陡度為每肘五手又一指(一肘為七手，一手為五指)，底面邊長為140肘，求其高．”在莫斯科紙草書中還有這樣一個問題：“如果告訴你一個截頂金字塔的垂直高度為6，底邊為4，頂邊為2，求其體積．”

古埃及人的算法是：4的平方為16，4的二倍為8，2的平方是4，把16，8和4相加得28，取6的三分之一為2，取28的二倍為56，則它的體積就是這個數(shù)．由此我們可以看出，古埃及人是通過具體問題說明了高為h、底邊長為a和b的正四棱臺的體積公式是

在蘭德紙草書中有這樣一個問題：古巴比倫，又稱美索波達米亞，位于亞洲西部的幼發(fā)拉底與底格里斯兩河流域，大體上相當(dāng)于今天的伊拉克。大約是在公元前3000年左右，古巴比倫人在這里建立起了自己的奴隸制王國。在過去相當(dāng)長的一段時間內(nèi)，人們對于古巴比倫數(shù)學(xué)的認識是通過古希臘文化中的零星資料得到的。19世紀后期，考古學(xué)家開始發(fā)掘美索波達米亞遺址。在發(fā)掘的過程中，人們發(fā)現(xiàn)了數(shù)以萬計的不同時期的泥板，它們是用膠泥制成的。一塊完整的泥板與手掌的大小差不多，上面寫有符號。這種符號是用斷面呈三角形的尖棍刻寫的，呈楔形，故人們稱之為楔形文字。古巴比倫的數(shù)學(xué)古巴比倫，又稱美索波達米亞，位于亞洲西部的幼發(fā)拉底與底格里斯普林頓322號泥板書(1600B.C.)普林頓322號泥板書(1600B.C.)古巴比倫人很早就有了數(shù)的寫法，他們用楔形文字中較?。ㄘQ寫）

的

代表1，較大的（豎寫）

代表60.由此可知，古巴比倫人的記數(shù)系統(tǒng)是60進制.他們還用較小的（橫寫）

代表10，較大的（橫寫）

代表100.

古巴比倫人也使用分數(shù)，他們總是用60作分母，例如

作為分數(shù)來記時可以表示20/60，而

作為分數(shù)來記時可以表示21/60=20/60+1/60.因此,古巴比倫人的分數(shù)系統(tǒng)是不成熟的.古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù)古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù)與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運算也是借助于各種各樣的表來進行的.在已發(fā)現(xiàn)的泥板書中，大約有200塊是乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表，甚至還有指數(shù)表.倒數(shù)表用于把除法轉(zhuǎn)化為乘法進行，指數(shù)表和插值法一起用來解決復(fù)利問題的.例如，設(shè)有本金為1，利率為20%，問需要多久即可使利息與本金相等.這需要求解指數(shù)方程由指數(shù)表，古巴比倫人首先確定出

的取值范圍是：

然后使用一次插入法求出4與

的差，相當(dāng)于：

故得(年)．與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運算也是借助于各種各樣的表來

在公元前2000年前后，古巴比倫數(shù)學(xué)己出現(xiàn)了用文字敘述的代數(shù)問題．如英國大不列顛博物館13901號泥板記載了這樣一個問題：“我把我的正方形的面積加上正方形邊長的三分之二得,求該正方形的邊長．”這個問題相當(dāng)于求解方程該泥板上給出的解法是：1的三分之二是，其一半是,將它自乘得,并把它加到上得，其平方根是，再從中減去的一半得，于是

就是所求正方形的邊長。古巴比倫的代數(shù)古巴比倫的代數(shù)這一解法相當(dāng)于將方程

的系數(shù)代入公式

求解，只不過在計算時用的是60進制．又如，已知兩個正方形的面積之和為1000，其中一個正方形的邊長為另一個正方形的邊長的

減去10，求這兩個正方形的邊長．設(shè)較大的正方形的邊長為

，則另一正方形的邊長為

，故只需解二次方程這一解法相當(dāng)于將方程古巴比倫人將這一解法所需的步驟簡單地敘述為“平方10，得100；1000減去100，就得900，開平方得30”，求得該正方形的邊長為30，另一個正方形邊長為10．這就是說，古巴比倫人那時可能已經(jīng)知道某些類型的一元二次方程的求根公式．由于他們沒有負數(shù)的概念，二次方程的負根不予考慮．至于他們是如何得到上述這些解法的，泥板書上沒有具體說明．他們還討論了某些三次方程和雙二次方程的解法．在一塊泥板上，他們給出這樣的數(shù)表，它不僅包含了從1到30的整數(shù)的平方和立方，還包含這個范圍內(nèi)的整數(shù)組合

，專家經(jīng)研究認為，這個數(shù)表是用來解決形如

的三次方程的．

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件此外，在洛佛爾博物館的一塊泥板上，人們還發(fā)現(xiàn)了兩個級數(shù)問題．用現(xiàn)代形式可表述為最令人感興趣的是哥倫比亞大學(xué)普林頓收集館中收藏的第322號泥板，該泥板已缺損了一部分，在殘留的部分上刻有三列數(shù)，專家研究認為：這是一張勾股數(shù)(即

的整數(shù)解)表，并且極有可能用到了下列參數(shù)式：

這正是在一千多年以后古希臘數(shù)學(xué)中一個極為重要的成就．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件在古巴比倫人的心目中，幾何是不重要的，因為實際中的幾何問題都很容易轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．他們的面積和體積計算是按照一些固定的法則和公式給出的．例如古巴比倫人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了長方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面積的計算．他們還掌握了長方體以及特殊梯形為底的直棱柱體積計算的一般規(guī)則，他們知道取直徑的三倍為圓周的長，取圓周平方的1/12為圓的面積，還用底和高相乘求得直圓柱的體積．在泥板中有足夠的證據(jù)表明，古巴比倫人還有把相當(dāng)復(fù)雜的圖形拆成一些簡單圖形的組合的本領(lǐng).但他們錯誤地認為，圓臺或棱臺的體積是兩底之和的一半與高的乘積．這一事實表明，古巴比倫的計算方法還是經(jīng)驗型的，這些結(jié)果都沒有經(jīng)過證明．古巴比倫的幾何古巴比倫的幾何在公元前5000年到公元前4000年間，古巴比倫人就已開始使用年、月、日的天文歷法，他們的年歷是從春分開始的，一年有12個月，第一個月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13個月作為閏月．一個星期有7天，這7天是以太陽、月亮和金、木、水、火、土七星來命名的，每個星神主管一天，如太陽神主管星期日．因此，所謂“星期”也就是指星的日期，我們現(xiàn)在的“星期制”就是在古巴比倫時代所創(chuàng)立的，這種表示方法在今天的英語單詞中還能找到一些痕跡．此外，圓周分為360度，每度60分，每分60秒，1小時60分，1分60秒的記法，也是來自古巴比倫．古巴比倫的天文學(xué)古巴比倫的天文學(xué)小結(jié)

古代美索不達米亞數(shù)學(xué)與埃及數(shù)學(xué)主要是解決各類具體問題的實用知識，處于原始算法積累時期。幾何學(xué)作為一門獨立的學(xué)問甚至還不存在。埃及紙草書和巴比倫泥版文書中匯集的各種幾何圖形面積、體積的計算法則，本質(zhì)上屬于算術(shù)的應(yīng)用。古代實用算法積累到一定階段，對它們進行系統(tǒng)整理與理論概括必然形成趨勢，但這一任務(wù)并不是由早期河谷文明本身來擔(dān)當(dāng)?shù)?。向理論?shù)學(xué)的過渡，是大約公元前6世紀在地中海沿岸開始的，歷史學(xué)家常稱之為“海洋文明”，帶來了初等數(shù)學(xué)的第一個黃金時代，即以論證幾何為主的希臘數(shù)學(xué)時代。小結(jié)古代美索不達米亞數(shù)學(xué)與埃及數(shù)學(xué)主要是解決各類印度數(shù)學(xué)

地處恒河流域的印度與古巴比倫、埃及和中國一樣，也是人類文明的發(fā)樣地之一。印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的達羅毗荼人的哈拉帕青銅文化。大約在5000年前印度人就興建起了具有相當(dāng)規(guī)模的城市與宮殿，并且有了書寫、計算和度量衡的體系。由于印度以農(nóng)業(yè)為經(jīng)濟來源，很早就開始觀察星象，編造歷書，因而帶動了數(shù)學(xué)研究。另外，印度是一個宗教盛行的國家，釋迦牟尼創(chuàng)建的佛教曾流傳到中國等地，這一教派的“繩法經(jīng)”在科學(xué)文化方面有較高的水平，也是在數(shù)學(xué)史上有意義的為數(shù)不多的宗教作品之一。印度數(shù)學(xué)公元3世紀至12世紀是印度數(shù)學(xué)的繁榮時期，而其繁榮的標志表現(xiàn)為出現(xiàn)了一些著名的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家。他們主要是：

阿耶波多

婆羅門笈多

摩訶毗羅

婆什迦羅數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件阿耶波多寫了一部關(guān)于天文學(xué)的著作《阿耶波多文集》，其中有一章專講數(shù)學(xué)，介紹了比例、開方、二次方程、一次不定方程、算術(shù)級數(shù)等問題，他得出了圓周率為3.1416的較精確的近似值。婆羅門笈多30歲時寫成一部重要著作《婆羅門修正體系》，包括“算術(shù)講義”、“不定方程講義”等章，其中有算術(shù)、勾股定理、面積、體積等內(nèi)容，并討論了二次方程，線性方程組及一次和二次不定方程的解法。他還利用內(nèi)插公式造了一張正弦表，其著作曾譯成阿拉伯文，對伊斯蘭教國家的數(shù)學(xué)和天文學(xué)都產(chǎn)生過重大影響。阿耶波多

摩訶毗羅著有《數(shù)學(xué)九章》一書，其內(nèi)容主要是算術(shù)運算、開平方和開立方、二次方程及組合問題，也講到解二次不定方程等。

婆什迦羅著有《麗羅娃提》和《算法本原》。這兩部著作除了整理前人的成果之外還論述了有理數(shù)的四則運算、線性方程組和不定方程。他指出二次方程有兩個根，并對形如

的二次不定方程提出解法。他的著作還被譯成波斯文，影響很大。

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件在印度數(shù)學(xué)中最值得稱道的是印度數(shù)碼和10進位值制記數(shù)法。人們所說的“阿拉伯?dāng)?shù)碼”實際上最早是由印度人發(fā)明的，這是他們對數(shù)學(xué)乃至整個人類文化的重要貢獻．印度數(shù)碼的完善是經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程．印度的算術(shù)在印度數(shù)學(xué)中最值得稱道的是印度數(shù)碼和10進位值制記數(shù)法。人們印度古代數(shù)碼字的演變印度古代數(shù)碼字的演變印度人也很早就引進了負數(shù)．婆羅門笈多在628年左右系統(tǒng)地給出了負數(shù)四則運算的正確法則．婆什伽羅在《根的計算》中又進一步討論了負數(shù)，他把負數(shù)叫做“負債”或“損失”，并用在數(shù)碼上加一點表示負數(shù)，在數(shù)碼的右下方加一點表示減號，例如

(用現(xiàn)代數(shù)碼表示)即－3－2＝5；

即3－(－2)＝5．不過，當(dāng)一個問題得出正負兩個解的時候，他會解釋說：“負數(shù)解不合適，因為人們不贊成負數(shù)，故應(yīng)舍棄．”印度人分數(shù)的概念也是較早的，除了在天文學(xué)中的分數(shù)仍沿用巴比倫的60進制記號外，他們在其他場合都用整數(shù)之比表示分數(shù)．他們會對分數(shù)進行四則運算，在分數(shù)相加減時取分母的乘積為公分母而不求它們的最小公倍數(shù)．在著名的巴克沙里手稿中，印度人將分子記在分母之上，無分數(shù)線分隔．在帶分數(shù)的情形，則把整數(shù)部分寫在分子之上．例如：印度人也很早就引進了負數(shù)．婆羅門笈多在628年左右系統(tǒng)地給出開平方和開立方的方法最早見于阿耶波多的著作．當(dāng)開方不盡時，他們用近似值表示，如巴克沙里手稿中取

他們還給出了相當(dāng)于婆什伽羅“按照整數(shù)那樣”對無理數(shù)進行運算，并給出具體的運算法則．開平方和開立方的方法最早見于阿耶波多的著作．當(dāng)開方不盡時，他在阿耶波多的著作中還給出了一些級數(shù)求和公式，

例如遺憾的是，我們還不能搞清楚他們是如何得到這些計算公式的。

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件印度數(shù)學(xué)家使用縮寫文字和記號來記述代數(shù)方程，有時也用于其他場合．他們使用符號的程度大體上要比丟番圖的簡寫代數(shù)稍有進步，不過兩者使用的符號是完全不同的．例如婆什伽羅使用“yavat-tavat”(那么多)的前兩個字母“ya”表示未知數(shù)，在含有多個未知數(shù)的場合，再使用表示顏色的詞，如用calaca(黑)，nilaca(藍)，pitaca(黃)，lohitaca(紅)，haritaca(綠)等的前兩個字母表示其他未知數(shù)．不過，不同數(shù)學(xué)家使用的符號也不盡相同．

印度的代數(shù)印度數(shù)學(xué)家使用縮寫文字和記號來記述代數(shù)方程，有時也用于其他場印度數(shù)學(xué)家常用假設(shè)法作為解方程或方程組的工具．婆什伽羅提供了這樣一個例子：兩數(shù)立方之和為一平方數(shù)，兩數(shù)平方之和為一立方數(shù)，求這兩個數(shù)．用現(xiàn)代記號即求解方程組(為自然數(shù)．)婆什伽羅先假設(shè)滿足(1)但不滿足(2)，為此必須在的兩端同乘上5的乘冪，使右端變成立方數(shù)同時滿足方程(1)和(2)．他用試驗法，在(2)的兩邊同乘以獲得成功，結(jié)果得

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件二次方程是印度數(shù)學(xué)家最感興趣的課題之一，他們允許方程的某些系數(shù)是負數(shù)，從而可以把二次方程歸結(jié)為標準類型婆羅門笈多求得這個方程的一個根為這與現(xiàn)代的求根公式完全相同．不定方程的研究可能是使印度數(shù)學(xué)家自己最值得自豪的．阿耶波多在他的文集中最先提出方程（是正整數(shù)，互素）的正整數(shù)解的求法．此外婆羅門笈多和婆什伽羅還研究過二次不定方程，特別是后者研究了這樣一個問題，其可歸結(jié)為所得的解為

二次方程是印度數(shù)學(xué)家最感興趣的課題之一，他們允許方程的某些系印度數(shù)學(xué)家在公元11世紀給出了所謂金字塔圖，這就是由二項式展開式系數(shù)所構(gòu)成的三角形，從中他們發(fā)現(xiàn)組合數(shù)公式印度數(shù)學(xué)家在公元11世紀給出了所謂金字塔圖，這就是由二項式展在印度數(shù)學(xué)中，幾何相對于代數(shù)來說，顯得有些平淡無奇，主要是一些常見的幾何體的體積公式，遠遠不如希臘人所達到的水平．印度的三角學(xué)研究繼承并發(fā)展了希臘人的工作．他們雖然沿用古希臘數(shù)學(xué)家托勒密的方法，把圓分成360度或21600分，但不像托勒密那樣把直徑分為120等分，而是把半徑分為120等分．他們計算的是半弦的長而不是全弦，這樣，他們的“正弦”就相當(dāng)于現(xiàn)在的正弦線，與今天的正弦僅相差r(r為半徑)倍．此外，婆羅門笈多還首次利用內(nèi)插法編制了一張正弦表，所用的內(nèi)插公式在計算效能上與牛頓—斯特林公式是等價的．

印度的幾何與三角印度的幾何與三角此課件下載可自行編輯修改，僅供參考！

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(1600B.C.)甲骨文數(shù)字

(1600B.C.)形的抽象形的抽象數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件幾何學(xué)的不同文化起源古代埃及—土地丈量古代中國—天文觀測古代印度—宗教禮儀

幾何學(xué)的不同文化起源古代埃及—土地丈量河谷文明與數(shù)學(xué)的起源尼羅河兩河流域—幼發(fā)拉底河與底格里斯河恒河與印度河長江與黃河

河谷文明與數(shù)學(xué)的起源尼羅河古埃及的數(shù)學(xué)非洲的尼羅河是世界上最長的河流之一．早在公元前3000年左右，在這條河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隸制國家，其地理位置與現(xiàn)在的埃及區(qū)別不大．打獵、漁業(yè)及畜牧業(yè)是古埃及人最初的謀生方式．一年一度的尼羅河的洪水給這片谷地帶來了肥沃的淤泥，那些以游牧為生的古埃及人便在這里定居下來，由狩獵轉(zhuǎn)向耕種．在發(fā)展農(nóng)業(yè)的同時，手工業(yè)與貿(mào)易也隨之迅速發(fā)展起來，這些都推動了自然科學(xué)各學(xué)科知識的積累．

古埃及的數(shù)學(xué)非洲的尼羅河是世界上最長的河流之一．早在公元前3法老時代的尼羅河流域圖法老時代的尼羅河流域圖

作為世界七大奇跡之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔，大約建于公元前2500年左右．該金字塔呈正四棱錐形，底面正方形面向東西南北四個正方向，邊長230.5m，塔高146.6m(現(xiàn)高約137m)．近年來，科學(xué)家們通過使用精密的儀器對這一金字塔進行了測量，驚奇地發(fā)現(xiàn)，其底基正方形邊長的相對誤差不超過1：14000，即不超過2cm；四底角的相對誤差不超過1：27000，即不超過12″，四個方向的誤差也僅在2′～5′之間，這些都說明當(dāng)時的測量水平已相當(dāng)高.

作為世界七大奇跡之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔，大約胡夫金字塔（公元前2500年左右）胡夫金字塔（公元前2500年左右）流傳至今的古埃及文獻，大部分是以僧侶文書寫在紙草上保存下來的，人們通常稱其為紙草書.保存至今有關(guān)數(shù)學(xué)的紙草書主要有兩種，都是公元前2000年前后的作品。

一種是陳列于英國倫敦大不列顛博物館東方展室中的蘭德紙草書，這是由英國人蘭德1858年搜集到的；蘭德紙草書長544cm,寬33cm,共載有85個問題。

另一種收藏于俄國莫斯科美術(shù)博物館，被稱為莫斯科紙草書，這是由俄羅斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的.莫斯科紙草書長544cm,寬8cm，共載有25個問題.流傳至今的古埃及文獻，大部分是以僧侶文書寫在紙草上保存下來的萊茵德紙草書(1650B.C.)

大英博物館萊茵德紙草書莫斯科紙草書(1890B.C.)莫斯科普希金博物館莫斯科紙草書(1890B.C.)莫斯科普希金博物館羅賽塔石碑

(1799發(fā)現(xiàn))1799年，拿破侖遠征軍的士兵在距離亞歷山大城不遠的記述的古港口羅賽塔地方發(fā)現(xiàn)一塊石碑，碑上刻有三種文字——希臘文、埃及僧侶文和象形文記述的同一銘文。19世紀初，法國文字學(xué)家商博良和英國物理學(xué)家托馬斯·楊

利用這塊碑文，破譯了古埃及文字。羅賽塔石碑

(1799發(fā)現(xiàn))1799年，拿破侖遠征軍的士兵古埃及人使用的是十進記數(shù)制，并且有數(shù)字的專門符號.在當(dāng)一個數(shù)中出現(xiàn)某個數(shù)碼的若干倍時，就將它的符號重復(fù)寫若干次，即遵守加法的法則。古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及人已有了分數(shù)的概念，但他們僅使用單位分數(shù)也就是分子為1的分數(shù)。在整數(shù)上方簡單地畫一個長橢圓，就表示該整數(shù)的倒數(shù)。只有2/3是一個例外.

1/7:

2/3:古埃及的記數(shù)制與算術(shù)1/7:2/3:古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及人的乘法運算與除法運算是通過疊加來進行的．例如計算：26×33．他們先將33的倍數(shù)列表，然后從左邊一列中選取出和為26的數(shù)2，8和16，再將右邊一列中它們各自對應(yīng)的數(shù)相加，即將66，264，528相加得到858即為所求．又如計算：19÷8．他們將8的倍數(shù)與部分列表，再從右邊一列中選取出其和為19的16，2，1這三個數(shù)，并將其對應(yīng)的左邊一列中的三個數(shù)2，1/4,1/8相加即為所求。古埃及人的乘法運算與除法運算是通過疊加來進行的．古埃及紙草書中出現(xiàn)的“計算若干”的問題，實際上相當(dāng)于方程問題，其解法是試位法．例如對于方程

，先給

選定一個數(shù)值，譬如說7，于是

，而不是24，因為8必須乘以3才是24，故

的正確的值一定是7乘以3即21．古埃及人還用它來解二次甚至更高次的方程．例如在卡洪(Kahun)發(fā)現(xiàn)的一份大約是公元前1950年的紙草書中記載了下列問題：將給定的100單位的面積分為兩個正方形，使二者的邊長之比為4:3．設(shè)此二正方形的邊長分別為

，且

，由題設(shè)

首先取,則

，

此時

而不是100，因此

的取值需修正．事實上，只需將原數(shù)值加倍，即可得方程的解

古埃及的代數(shù)古埃及紙草書中出現(xiàn)的“計算若干”的問題，實際上相當(dāng)于方程問題在古埃及紙草書中還有有關(guān)數(shù)列問題的記載．如蘭德紙草書中有這樣一個問題：今將10斗麥子分給10個人，每人依次遞降l／8斗，問各得多少?這是已知一個等差數(shù)列的前若干項和、項數(shù)以及公差求其各項的問題．

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件

蘭德紙草書中給出一個階梯圖形(如圖)，對此，數(shù)學(xué)史家康托爾是這樣解釋的：在一個人的財產(chǎn)中，有七間房子，每間房子里七只貓，每只貓能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麥，而每穗大麥又能長出七俄斗大麥，問這份財產(chǎn)中房子、貓、老鼠、麥穗和麥子總共有多少?按照這樣的解釋，顯然是一個公比為7的等比數(shù)列求和問題，階梯圖形給出的是這個數(shù)列中的各項．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件古埃及人在建筑規(guī)模宏大的教堂、金字塔和修建復(fù)雜的灌溉系統(tǒng)時，都需要測量；尼羅河水泛濫后沖刷去了許多邊界標記，洪水退后也需要重新勘測土地的界線;……所有這一切，為他們認識基本幾何形狀和形成幾何概念提供了實際背景．因此，古埃及人的幾何學(xué)知識較為豐富.

在上述兩種紙草書的110個問題中，有26個是幾何問題，其中大部分是計算土地的面積與谷物的體積，還有許多與金字塔有關(guān)．例如，古埃及人知道，任何三角形的面積均為底與高的乘積的一半；圓的面積等于直徑的8/9的平方，由此可知，他們把圓周率近似地取為3.16；直圓柱的體積為底面積與高的乘積．古埃及的幾何學(xué)古埃及人在建筑規(guī)模宏大的教堂、金字塔和修建復(fù)雜的灌溉系統(tǒng)時，在蘭德紙草書中有這樣一個問題：“已知金字塔的陡度為每肘五手又一指(一肘為七手，一手為五指)，底面邊長為140肘，求其高．”在莫斯科紙草書中還有這樣一個問題：“如果告訴你一個截頂金字塔的垂直高度為6，底邊為4，頂邊為2，求其體積．”

古埃及人的算法是：4的平方為16，4的二倍為8，2的平方是4，把16，8和4相加得28，取6的三分之一為2，取28的二倍為56，則它的體積就是這個數(shù)．由此我們可以看出，古埃及人是通過具體問題說明了高為h、底邊長為a和b的正四棱臺的體積公式是

在蘭德紙草書中有這樣一個問題：古巴比倫，又稱美索波達米亞，位于亞洲西部的幼發(fā)拉底與底格里斯兩河流域，大體上相當(dāng)于今天的伊拉克。大約是在公元前3000年左右，古巴比倫人在這里建立起了自己的奴隸制王國。在過去相當(dāng)長的一段時間內(nèi)，人們對于古巴比倫數(shù)學(xué)的認識是通過古希臘文化中的零星資料得到的。19世紀后期，考古學(xué)家開始發(fā)掘美索波達米亞遺址。在發(fā)掘的過程中，人們發(fā)現(xiàn)了數(shù)以萬計的不同時期的泥板，它們是用膠泥制成的。一塊完整的泥板與手掌的大小差不多，上面寫有符號。這種符號是用斷面呈三角形的尖棍刻寫的，呈楔形，故人們稱之為楔形文字。古巴比倫的數(shù)學(xué)古巴比倫，又稱美索波達米亞，位于亞洲西部的幼發(fā)拉底與底格里斯普林頓322號泥板書(1600B.C.)普林頓322號泥板書(1600B.C.)古巴比倫人很早就有了數(shù)的寫法，他們用楔形文字中較?。ㄘQ寫）

的

代表1，較大的（豎寫）

代表60.由此可知，古巴比倫人的記數(shù)系統(tǒng)是60進制.他們還用較小的（橫寫）

代表10，較大的（橫寫）

代表100.

古巴比倫人也使用分數(shù)，他們總是用60作分母，例如

作為分數(shù)來記時可以表示20/60，而

作為分數(shù)來記時可以表示21/60=20/60+1/60.因此,古巴比倫人的分數(shù)系統(tǒng)是不成熟的.古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù)古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù)與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運算也是借助于各種各樣的表來進行的.在已發(fā)現(xiàn)的泥板書中，大約有200塊是乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表，甚至還有指數(shù)表.倒數(shù)表用于把除法轉(zhuǎn)化為乘法進行，指數(shù)表和插值法一起用來解決復(fù)利問題的.例如，設(shè)有本金為1，利率為20%，問需要多久即可使利息與本金相等.這需要求解指數(shù)方程由指數(shù)表，古巴比倫人首先確定出

的取值范圍是：

然后使用一次插入法求出4與

的差，相當(dāng)于：

故得(年)．與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運算也是借助于各種各樣的表來

在公元前2000年前后，古巴比倫數(shù)學(xué)己出現(xiàn)了用文字敘述的代數(shù)問題．如英國大不列顛博物館13901號泥板記載了這樣一個問題：“我把我的正方形的面積加上正方形邊長的三分之二得,求該正方形的邊長．”這個問題相當(dāng)于求解方程該泥板上給出的解法是：1的三分之二是，其一半是,將它自乘得,并把它加到上得，其平方根是，再從中減去的一半得，于是

就是所求正方形的邊長。古巴比倫的代數(shù)古巴比倫的代數(shù)這一解法相當(dāng)于將方程

的系數(shù)代入公式

求解，只不過在計算時用的是60進制．又如，已知兩個正方形的面積之和為1000，其中一個正方形的邊長為另一個正方形的邊長的

減去10，求這兩個正方形的邊長．設(shè)較大的正方形的邊長為

，則另一正方形的邊長為

，故只需解二次方程這一解法相當(dāng)于將方程古巴比倫人將這一解法所需的步驟簡單地敘述為“平方10，得100；1000減去100，就得900，開平方得30”，求得該正方形的邊長為30，另一個正方形邊長為10．這就是說，古巴比倫人那時可能已經(jīng)知道某些類型的一元二次方程的求根公式．由于他們沒有負數(shù)的概念，二次方程的負根不予考慮．至于他們是如何得到上述這些解法的，泥板書上沒有具體說明．他們還討論了某些三次方程和雙二次方程的解法．在一塊泥板上，他們給出這樣的數(shù)表，它不僅包含了從1到30的整數(shù)的平方和立方，還包含這個范圍內(nèi)的整數(shù)組合

，專家經(jīng)研究認為，這個數(shù)表是用來解決形如

的三次方程的．

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件此外，在洛佛爾博物館的一塊泥板上，人們還發(fā)現(xiàn)了兩個級數(shù)問題．用現(xiàn)代形式可表述為最令人感興趣的是哥倫比亞大學(xué)普林頓收集館中收藏的第322號泥板，該泥板已缺損了一部分，在殘留的部分上刻有三列數(shù)，專家研究認為：這是一張勾股數(shù)(即

的整數(shù)解)表，并且極有可能用到了下列參數(shù)式：

這正是在一千多年以后古希臘數(shù)學(xué)中一個極為重要的成就．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件在古巴比倫人的心目中，幾何是不重要的，因為實際中的幾何問題都很容易轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．他們的面積和體積計算是按照一些固定的法則和公式給出的．例如古巴比倫人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了長方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面積的計算．他們還掌握了長方體以及特殊梯形為底的直棱柱體積計算的一般規(guī)則，他們知道取直徑的三倍為圓周的長，取圓周平方的1/12為圓的面積，還用底和高相乘求得直圓柱的體積．在泥板中有足夠的證據(jù)表明，古巴比倫人還有把相當(dāng)復(fù)雜的圖形拆成一些簡單圖形的組合的本領(lǐng).但他們錯誤地認為，圓臺或棱臺的體積是兩底之和的一半與高的乘積．這一事實表明，古巴比倫的計算方法還是經(jīng)驗型的，這些結(jié)果都沒有經(jīng)過證明．古巴比倫的幾何古巴比倫的幾何在公元前5000年到公元前4000年間，古巴比倫人就已開始使用年、月、日的天文歷法，他們的年歷是從春分開始的，一年有12個月，第一個月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13個月作為閏月．一個星期有7天，這7天是以太陽、月亮和金、木、水、火、土七星來命名的，每個星神主管一天，如太陽神主管星期日．因此，所謂“星期”也就是指星的日期，我們現(xiàn)在的“星期制”就是在古巴比倫時代所創(chuàng)立的，這種表示方法在今天的英語單詞中還能找到一些痕跡．此外，圓周分為360度，每度60分，每分60秒，1小時60分，1分60秒的記法，也是來自古巴比倫．古巴比倫的天文學(xué)古巴比倫的天文學(xué)小結(jié)

古代美索不達米亞數(shù)學(xué)與埃及數(shù)學(xué)主要是解決各類具體問題的實用知識，處于原始算法積累時期。幾何學(xué)作為一門獨立的學(xué)問甚至還不存在。埃及紙草書和巴比倫泥版文書中匯集的各種幾何圖形面積、體積的計算法則，本質(zhì)上屬于算術(shù)的應(yīng)用。古代實用算法積累到一定階段，對它們進行系統(tǒng)整理與理論概括必然形成趨勢，但這一任務(wù)并不是由早期河谷文明本身來擔(dān)當(dāng)?shù)?。向理論?shù)學(xué)的過渡，是大約公元前6世紀在地中海沿岸開始的，歷史學(xué)家常稱之為“海洋文明”，帶來了初等數(shù)學(xué)的第一個黃金時代，即以論證幾何為主的希臘數(shù)學(xué)時代。小結(jié)古代美索不達米亞數(shù)學(xué)與埃及數(shù)學(xué)主要是解決各類印度數(shù)學(xué)

地處恒河流域的印度與古巴比倫、埃及和中國一樣，也是人類文明的發(fā)樣地之一。印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的達羅毗荼人的哈拉帕青銅文化。大約在5000年前印度人就興建起了具有相當(dāng)規(guī)模的城市與宮殿，并且有了書寫、計算和度量衡的體系。由于印度以農(nóng)業(yè)為經(jīng)濟來源，很早就開始觀察星象，編造歷書，因而帶動了數(shù)學(xué)研究。另外，印度是一個宗教盛行的國家，釋迦牟尼創(chuàng)建的佛教曾流傳到中國等地，這一教派的“繩法經(jīng)”在科學(xué)文化方面有較高的水平，也是在數(shù)學(xué)史上有意義的為數(shù)不多的宗教作品之一。印度數(shù)學(xué)公元3世紀至12世紀是印度數(shù)學(xué)的繁榮時期，而其繁榮的標志表現(xiàn)為出現(xiàn)了一些著名的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家。他們主要是：

阿耶波多

婆羅門笈多

摩訶毗羅

婆什迦羅數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件阿耶波多寫了一部關(guān)于天文學(xué)的著作《阿耶波多文集》，其中有一章專講數(shù)學(xué)，介紹了比例、開方、二次方程、一次不定方程、算術(shù)級數(shù)等問題，他得出了圓周率為3.1416的較精確的近似值。婆羅門笈多30歲時寫成一部重要著作《婆羅門修正體系》，包括“算術(shù)講義”、“不定方程講義”等章，其中有算術(shù)、勾股定理、面積、體積等內(nèi)容，并討論了二次方程，線性方程組及一次和二次不定方程的解法。他還利用內(nèi)插公式造了一張正弦表，其著作曾譯成阿拉伯文，對伊斯蘭教國家的數(shù)學(xué)和天文學(xué)都產(chǎn)生過重大影響。阿耶波多

摩訶毗羅著有《數(shù)學(xué)九章》一書，其內(nèi)容主要是算術(shù)運算、開平方和開立方、二次方程及組合問題，也講到解二次不定方程等。

婆什迦羅著有《麗羅娃提》和《算法本原》。這兩部著作除了整理前人的成果之外還論述了有理數(shù)的四則運算、線性方程組和不定方程。他指出二次方程有兩個根，并對形如

的二次不定方程提出解法。他的著作還被譯成波斯文，影響很大。

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件在印度數(shù)學(xué)中最值得稱道的是印度數(shù)碼和10進位值制記數(shù)法。人們所說的“阿拉伯?dāng)?shù)碼”實際上最早是由印度人發(fā)明的，這是他們對數(shù)學(xué)乃至整個人類文化的重要貢獻．印度數(shù)碼的完善是經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程．印度的算術(shù)在印度數(shù)學(xué)中最值得稱道的是印度數(shù)碼和10進位值制記數(shù)法。人們印度古代數(shù)碼字的演變印度古代數(shù)碼字的演變印度人也很早就引進了負數(shù)．婆羅門笈多在628年左右系統(tǒng)地給出了負數(shù)四則運算的正確法則．婆什伽羅在《根的計算》中又進一步討論了負數(shù)，他把負數(shù)叫做“負債