中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題專題講解

中考動(dòng)點(diǎn)專題所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的要點(diǎn)是動(dòng)中求靜,靈便運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.要點(diǎn):動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)變思想重視對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的觀察從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，經(jīng)過“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來研究與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中浸透空間見解和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷研究的過程，以能力立意，觀察學(xué)生的自主研究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．圖形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不一樣地址的情況，才能做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”研究題的基本思路,這也是動(dòng)向幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正漸漸轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)向幾何、著手操作、實(shí)驗(yàn)研究等方向發(fā)展．這些壓軸題題型眾多、題意創(chuàng)新，目的是觀察學(xué)生的解析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間見解、應(yīng)企圖識(shí)、推理能力等．從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動(dòng)見解；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)變思想等．研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動(dòng)向，它有利于我們教師在授課中研究對(duì)策，掌握方向．只的這樣，才能更好的培養(yǎng)學(xué)生解題涵養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地表現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向．本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)的存在性和區(qū)分度小題辦理手法提出自己的見解．專題一：成立動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭穿了運(yùn)動(dòng)變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動(dòng)點(diǎn)問題反響的是一種函數(shù)思想,由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這類變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們怎樣成立這類函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例解析.一、應(yīng)用勾股定理成立函數(shù)解析式例1(2000年·上海)如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上,有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,PH⊥OA,垂足為H,△OPH的重心為G.當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段?若是有,請指出這樣的線段,并求出相應(yīng)的長度.(2)設(shè)PHx,GPy,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量x的取值范圍).(3)若是△PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長.BPNyGxOMHA圖1解:(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長度保持不變的線段，這條線段是GH=2NH=21OP=2.3321OH1(2)在Rt△POH中,OHOP2PH236x2,∴MH36x2.22在Rt△MPH中,.∴y=GP=2MP=1363x2(0<x<6).3△PGH是等腰三角形有三種可能情況:①GP=PH時(shí),1x2x,解得x6.經(jīng)檢驗(yàn),x6是原方程的根,且吻合題意.3②GP=GH時(shí),1363x22,解得x0.經(jīng)檢驗(yàn),x0是原方程的根,但不吻合題意.3PH=GH時(shí),x2.綜上所述,若是△PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為6或2.二、應(yīng)用比率式成立函數(shù)解析式例2（2006年·山東）如圖2,在△ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動(dòng).設(shè)BD=x,CE=y.若是∠BAC=30°,∠DAE=105°,試確定y與x之間的函數(shù)解析式；(2)若是∠BAC的度數(shù)為,∠DAE的度數(shù)為,當(dāng),滿足怎樣的關(guān)系式時(shí),(1)中y與x之間的函數(shù)解析式還成立?試說明原由.ADEBC圖2解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,

∴

AB

BD

,CE

AC∴

1

x

,

∴y

1

.y1

x(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=90,且2F函數(shù)關(guān)系式成立,∴90=,整理得90.B22當(dāng)90時(shí),函數(shù)解析式y(tǒng)1P成立.2xD例3(2005年·上海)如圖3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.點(diǎn)O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心作半圓,與邊AB相切于點(diǎn)D,CA交線段OC于點(diǎn)E.作EP⊥ED,交射線AB于點(diǎn)P,交射線CB于點(diǎn)F.3(1)EO(1)求證:△ADE∽△AEP.P(2)設(shè)OA=x,AP=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定B義域.F(3)當(dāng)BF=1時(shí),求線段AP的長.DCEAO3(2)解:(1)連接OD.依照題意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD∥BC,∴ODx,ADx,3545∴OD=3x,AD=4x.∴AE=x3x=8x.555584∵△ADE∽△AEP,∴AEADxx16x(0x25,∴55.∴y).APAEy858x5當(dāng)BF=1時(shí)，①若EP交線段∵∠ADE=∠AEP,∴∠F=∠PDE,

CB的延長線于點(diǎn)F,如圖3(1)，則CF=4.∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.∴5-8x=4,得x5.可求得y2,即AP=2.58②若EP交線段CB于點(diǎn)F,如圖3(2),則CF=2.近似①,可得CF=CE.∴5-8x=2,得x15.58可求得y6,即AP=6.綜上所述,當(dāng)BF=1時(shí),線段AP的長為2或6.三、應(yīng)用求圖形面積的方法成立函數(shù)關(guān)系式例4（2004年·上海）如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半徑為1.若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BO=x,△AOC的面積為y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.A以點(diǎn)O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當(dāng)⊙O與⊙A相切時(shí),AOC的面積.BOHC圖8解:(1)過點(diǎn)A作AH⊥BC,垂足為H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22,∴BC=4,AH=1BC=2.∴OC=4-x.1OCAH,2∵SAOC∴yx4(0x4).2(2)①當(dāng)⊙O與⊙A外切時(shí),在Rt△AOH中,OA=x1,OH=2x,∴(x1)222(2x)2.解得x7.6此時(shí),△AOC的面積y=47176.6②當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)切時(shí),在Rt△AOH中,OA=x1,OH=x2,∴(x1)222(x2)2.解得x7.271此時(shí),△AOC的面積y=4.22綜上所述,當(dāng)⊙O與⊙A相切時(shí),△AOC的面積為17或1.62專題二：動(dòng)向幾何型壓軸題動(dòng)向幾何特點(diǎn)----問題背景是特別圖形，觀察問題也是特別圖形，所以要掌握好一般與特其他關(guān)系；解析過程中，特別要關(guān)注圖形的特點(diǎn)（特別角、特別圖形的性質(zhì)、圖形的特別地址。）動(dòng)點(diǎn)問題素來是中考熱點(diǎn)，近幾年觀察研究運(yùn)動(dòng)中的特別性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特別角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常有題型作簡單介紹，解題方法、要點(diǎn)賜予點(diǎn)撥。一、以動(dòng)向幾何為主線的壓軸題（一）點(diǎn)動(dòng)問題．1．（09年徐匯區(qū)）如圖，ABC中，ABAC10，BC12，點(diǎn)D在邊BC上，且BD4，以點(diǎn)D為極點(diǎn)作EDFB，分別交邊AB于點(diǎn)E，交射線CA于點(diǎn)F．（1）當(dāng)AE6時(shí)，求AF的長；2）當(dāng)以點(diǎn)C為圓心CF長為半徑的⊙C和以點(diǎn)A為圓心AE長為半徑的⊙A相切時(shí)，求BE的長；3）當(dāng)以邊AC為直徑的⊙O與線段DE相切時(shí)，求BE的長．此題改編自新教材九上《相似形》(4)例六,典型的一線三角(三等角)問題,試題在原題的基礎(chǔ)上改編出第一小題,當(dāng)E點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，浸透入圓與圓的地址關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第二小題,加入直線與圓的地址關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第三小題．區(qū)分度測量點(diǎn)在直線與圓的地址關(guān)系和圓與圓的地址關(guān)系,進(jìn)而利用方程思想來求解．[區(qū)分度性小題辦理手法]1．直線與圓的相切的存在性的辦理方法：利用d=r成立方程．2．圓與圓的地址關(guān)系的存在性(相切問題)的辦理方法：利用d=R±r(

R

r

)成立方程．3．解題的要點(diǎn)是用含

x的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段

.[

略解]解：（1）證明CDF∽EBD∴CFCD，代入數(shù)據(jù)得CF8，∴AF=2BDBE（2）設(shè)BE=x,則dAC10,AE10x,利用（1）的方法CF32，32x相切時(shí)分外切和內(nèi)切兩種情況考慮：外切，1010，x42；xx32，x10217．0x10內(nèi)切，1010xx∴當(dāng)⊙C和⊙A相切時(shí)，BE的長為42或10217．（3）當(dāng)以邊AC為直徑的⊙O與線段DE相切時(shí)，BE20．3類題⑴一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：09楊浦25題（四月、五月）、09靜安25題、⑵兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：09閘北25題、09松江25題、09盧灣25題、09青浦25題．（二）線動(dòng)問題在矩形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，直線l過點(diǎn)O，且與AC垂直交AD于點(diǎn)E.(1)若直線l過點(diǎn)B，把△ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對(duì)稱中心A＇重合，求BC的長；(2)若直線l與AB訂交于點(diǎn)F，且AO＝1AC，設(shè)AD的長為x，五邊形4lBCDEF的面積為S.①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；AED3②研究：可否存在這樣的x，以A為圓心，以x長為半徑的圓與O4′直線l相切，若存在，央求出x的值；若不存在，請說明原由．ABC[題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)]此題以矩形為背景,結(jié)合軸對(duì)稱、相似、三角等相關(guān)知識(shí)編制獲得．第一小題核查了學(xué)生軸對(duì)稱、矩形、勾股定理三小塊知識(shí)內(nèi)容；當(dāng)直線l沿lAB邊向上平移時(shí)，研究面積函數(shù)解析式為區(qū)分測量點(diǎn)一、加入直線與圓的AED地址關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了區(qū)分度測量點(diǎn)二．O[區(qū)分度性小題辦理手法]1．找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用公式或用割補(bǔ)法，不規(guī)則圖形用割補(bǔ)法．F2．直線與圓的相切的存在性的辦理方法：利用d=r成立方程．BC3．解題的要點(diǎn)是用含x的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解]∵A’是矩形ABCD的對(duì)稱中心∴A’B＝AA’＝1AC2∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6BC33(2)①ACx29，AO1x29，AF1(x29)，AEx294124x∴SAEF1AEAF(x29)2，S3x(x29)2296x96xSx4270x281(3x33)96x②若圓A與直線l相切，則x31x29，x10(舍去)，x28∵x283∴4455不存在這樣的x，使圓A與直線l相切．[類題]09虹口25題．（三）面動(dòng)問題如圖，在

ABC中，

AB

AC

5,BC

6，D、E分別是邊

AB、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（

D不與

A、B重合），且保持（1）試求（2）當(dāng)邊

DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形ABC的面積；FG與BC重合時(shí)，求正方形DEFG的邊長；

DEFG

.（3）設(shè)

AD

x，

ABC與正方形

DEFG

重疊部分的面積為

y，試求

y關(guān)于

x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（4）當(dāng)

BDG是等腰三角形時(shí)，請直接寫出

AD的長．[題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)]此題改編自新教材九上《相似形》(4)例七,典型的共角相似三角形問題,試題為了形成坡度，在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當(dāng)D點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形DEFG整體動(dòng)起來，GF邊落在BC邊上時(shí)，恰好和教材中的例題對(duì)應(yīng)，能夠說是相似三角形對(duì)應(yīng)的小高比大高=對(duì)應(yīng)的小邊比大邊，探望正方形和三角形的重疊部分的面積與線段AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，依舊屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)一，用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)二．[區(qū)分度性小題辦理手法]1．找到三角形與正方形的重疊部分是解決此題的要點(diǎn)，如上圖

3-1、3-2

重疊部分分別為正方形和矩形包括兩種情況．2．正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決．3．解題的要點(diǎn)是用含x的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解]解：（1）SABC12.（2）令此時(shí)正方形的邊長為a，則a4a，解得a12.645236x2，（3）當(dāng)0x2時(shí)，y6x525當(dāng)2x5時(shí)，y6x45x24x24x2.555254）AD125,25,20.73117[類題]改編自09奉賢3月考25題，將條件（2）“當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時(shí)”,去掉，同時(shí)加到第（3）題中.已知：在△中，=，∠=30o，=6，點(diǎn)D在邊上，F(xiàn)ABCABACBBCBC點(diǎn)E在線段DC上，DE=3，△DEF是等邊三角形，邊DF、EFAN與邊BA、CA分別訂交于點(diǎn)M、N．M（1）求證：△BDM∽△CEN；（2）設(shè)=，△與△重疊部分的面積為y，求y關(guān)BDECBDxABCDEF于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．3）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時(shí),可否存在點(diǎn)D，使以M為圓心,BM為半徑的圓與直線EF相切,如果存在，央求出x的值；如不存在，請說明原由．例1：已知⊙O的弦AB的長等于⊙O的半徑，點(diǎn)C在⊙O上變化（不與A、B）重合，求∠ACB的大小.解析：點(diǎn)C的變化可否影響∠ACB的大小的變化呢?我們不如將點(diǎn)C改變一下,怎樣變化呢？可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣樣。那么，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí)，∠ACB所對(duì)的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，所以很自然地想到它的圓心角，連接AO、BO，則由于AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則∠AOB=600，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠1ACB=2

∠AOB=300，優(yōu)弧

當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，∠ACB所對(duì)的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由∠AOB=600得，AB的度數(shù)為3600-600=3000，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠ACB=1500，所以，此題的答案有兩個(gè)，分別為300或1500.反思：此題經(jīng)過點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。進(jìn)而需要分類談?wù)?。這樣由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化性而引起的分類談?wù)撛诮忸}中經(jīng)常出現(xiàn)。變式1：已知△ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若AB23，求∠C的大小.此題與例1的差異可是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上面一致,在三角形AOB11AB3120中,sin2AOBOB2,則2AOB60,即AOB1200,進(jìn)而當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí)，∠C所對(duì)的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，即C600,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，∠C所對(duì)的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由∠AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠C=1200，所以C600或∠C=1200.變式2:如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，若AB=1，判斷∠AOB的大小可否會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則∠AOB=600，即∠AOB的大小不會(huì)隨點(diǎn)A、的變化而變化。3（2）四邊形ABCD的面積由三個(gè)三角形組成，其中三角形AOB的面積為4，而三角1ODAF1OCBG1(AFBG)形AOD與三角形BOC的面積之和為222，又由梯形1(AFBG)EH的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和2，要四邊形3ABCD的面積最大，只要EH最大，顯然EH≤OE=2，當(dāng)AB∥CD時(shí)，EH=OE，所以3333四邊形ABCD的面積最大值為4+2=4.關(guān)于此題同學(xué)們還可以夠連續(xù)思慮:四邊形ABCD的周長的變化范圍.變式3:如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個(gè)極點(diǎn)分別為A、B，另一個(gè)極點(diǎn)C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明原由（廣州市2000年考題）解析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只要大即可。過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，連接CO，由于CD≤CO，當(dāng)O與D重合，CD=CO，所以，當(dāng)CO與AB垂直時(shí)，即C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，其三角形ABC的面積最大。此題也能夠先猜想，點(diǎn)C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積最大，故只要另選一個(gè)地址重合），，證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖

AB邊上的高最C1（不與

C1

1

1顯然三角形

ABC1的面積

=2AB×C1D，而

C1D<C1O=CO,則三角形

ABC1的面積=2

AB×C1D<2

AB×C1O=三角形ABC的面積,所以,關(guān)于除點(diǎn)

C外的任意點(diǎn)

C1,都有三角形

ABC1的面積小于三角形三角形

ABC的面積,故點(diǎn)C為半圓中點(diǎn)時(shí),三角形

ABC面積最大

.此題還可研究三角形ABC的周長何時(shí)最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長最大，AB為常數(shù)，只要AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ΔABC的面積，所以ABC的面積最大時(shí)，AC+BC最大，進(jìn)而ABC的周長最大。從以上一道題及其三個(gè)變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動(dòng)向幾何問題的常有方法有:一、特別探路，一般推證例2：（2004年廣州市中考題第11題）如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于A，⊙O1的半徑為3，⊙O2的半BP徑為2，點(diǎn)P為⊙O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），直線PA交⊙O2于點(diǎn)C，PB切⊙O2于點(diǎn)B，則PC的值為36（A）2（B）3（C）2（D）2解析：此題是一道選擇題，給出四個(gè)答案有且只有一個(gè)是正確的，所以能夠取一個(gè)特別地址進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn)P滿足PB⊥AB時(shí)，能夠經(jīng)過計(jì)算得出PB=321222BC×AP=BP×AB，所以ABBP828242BC=AB2BP2168266，BP2BC226在三角形BPC中，PC=3，BP所以，PC=3選（B）BPAP自然，此題還可以夠依照三角形相似得PCBP，即可計(jì)算出結(jié)論。作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但若是是一道解答題，我們得出的結(jié)論可是一個(gè)特別情況，還要進(jìn)一步證明對(duì)一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積可否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積可否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。解析：此題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特別情況下手。最特別情況為E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，顯然有EOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E與A無量湊近時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C無量湊近，此時(shí)EOF無量湊近AOC，而AOC為等腰直角三角形，幾種特別情況都能夠得出EOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？∠EOF為直角嗎？可否證明。若是它們成立，便能夠推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個(gè)三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC，∠OCF=∠OAE，而AE=CF，則OEA≌ΔOFC，則OE=OF，且∠FOC=∠EOA，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，則∠EOF為直角，故EOF為等腰直角三角形。二、著手實(shí)踐，操作確認(rèn)例4（2003年廣州市中考試題）在⊙O中，C為弧AB的中點(diǎn)，D為弧AC上任一點(diǎn)（與A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB(B)AC+CB<AD+DB(C)AC+CB>AD+DB(D)AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定解析:此題能夠經(jīng)過著手操作一下,胸襟AC、CB、AD、DB的長度，能夠試一試換幾個(gè)地址量一量，得出結(jié)論（C）例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點(diǎn)C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延長CA和CD與大圓分別交于點(diǎn)B、E，則以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是（*）（A）DEAB（B）DEAB（C）DEAB（D）DE,AB的大小不確定解析：此題能夠經(jīng)過重量的方法進(jìn)行，選（B）此題也能夠能夠證明得出結(jié)論，連接DO、EO，則在三角形OED中，由于兩邊之差小于第三邊，則OE—OD<DE,即OB—OA<DE,所以ABED,即DEAB三、成立聯(lián)系，計(jì)算說明例6：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM=1，N為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，則DN+MN的最小值為.解析：可否將DN和NM進(jìn)行轉(zhuǎn)變，與成立三角形兩邊之和大于第三邊等問題，很自然地想到軸對(duì)稱問題，由于ABCD為正方形，所以連接BN，顯然有ND=NB，則問題就轉(zhuǎn)化為BN+NM的最小值問題了，一般情況下：BN+NM≥BM,只有在B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=BC2CM25此題經(jīng)過成立平面上三個(gè)點(diǎn)中組成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時(shí)的兩邊之和等于第三邊的特別情況求最小值，最后經(jīng)過勾股定理計(jì)算得出結(jié)論。例7：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷四邊形AEOF的面積可否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積可否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。（即例3的第2、第3問）解析：(2)此題的方法很多，其一，能夠成立四邊形AEOF與AE長的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè)AE=x，則AF=22x，221OA2xOB而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=，而三角形AOB的面積=2，x22x則三角形AOE的面積=2，同理三角形AOF的面積=2，所以四邊形AEOF的面積x(22x)2=2；即AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn)自然，此題也能夠這樣思慮，由于三角形角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2，所以值，且為2.此題經(jīng)過成立函數(shù)關(guān)系或相關(guān)圖形之間的關(guān)系較廣泛.

E、F的變化而變化，是一個(gè)定值，且為2.AOE與三角形COF全等，則四邊形AEOF的面積與三AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個(gè)定爾后經(jīng)過簡單的計(jì)算得出結(jié)論的方法應(yīng)用比第(3)問,也能夠經(jīng)過成立函數(shù)關(guān)系求得,1x(22x)1(x2)21AEF的面積=22,又x的變化范圍為0x22,由二次函數(shù)知識(shí)得AEF的面積的范圍為:0AEF的面積1.此題也能夠依照三角形AEF與三角形OEF的面積關(guān)系確定AEF的面積范圍:不難證明AEF的面積≤OEF的面積，它們公用邊EF，取EF的中點(diǎn)H，顯然由于OEF為等腰直1EF角三角形，則OH⊥EF，作AG⊥EF，顯然AG≤AH=AG（=2），所以AEF的面積≤OEF的面積，而它們的和為2，所以0AEF的面積1.此題包括的內(nèi)涵十分豐富，還可以夠提出很多問題研究：比方，比較線段EF與AO長度大小等（能夠經(jīng)過A、E、O、F四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上得出很多結(jié)論）例8：如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度搬動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度搬動(dòng)。若是Ｐ、Ｑ同時(shí)出發(fā)，用t秒表示搬動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6），那么：1）當(dāng)t為什么值時(shí)，三角形QAP為等腰三角形？2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果相關(guān)的結(jié)論；3）當(dāng)t為什么值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為極點(diǎn)的三角形與△ABC相似？解析：（1）當(dāng)三角形QAP為等腰三角形時(shí)，由于∠A為直角，只能是AQ=AP，成立等量關(guān)系，2t6t，即t2時(shí)，三角形QAP為等腰三角形；（2）四邊形QAPC的面積=ABCD的面積—三角形QDC的面積—三角形PBC的面積126112x1(122x)6=22=36，即當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形QAPC的面積不變。（3）顯然有兩種情況：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，2x122x6由相似關(guān)系得6x6或6x12，解之得x3或x1.2成立關(guān)系求解，包括的內(nèi)容多，能夠是函數(shù)關(guān)系，能夠是方程組或不等式等，經(jīng)過解方程、或函數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來解決問題；也能夠是經(jīng)過一些幾何上的關(guān)系，描述圖形的特點(diǎn)，如全等、相似、共圓等方面的知識(shí)求解。作為訓(xùn)練同學(xué)們能夠綜合上述方法求解：練習(xí)1：2003年廣州市中考?jí)狠S題（全卷得分最低的一道）已知ABC為直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB為直角，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是

BC邊上動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)

B、C不重合）（1）如圖，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)，求線段CP的長。當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，求出線段可能，請說明原由。

CQ的長的取值范圍；若不1AB13第1問很易得出P為AB中點(diǎn)，則CP=22第2問：若是CPQ為直角三角形，由于PQ與AC不平行，則∠Q不能能為直角又點(diǎn)P不與A重合，則∠PCQ也不能能為直角，只能是∠CPQ為直角，即以CQ為直徑的圓與AB有交點(diǎn)，設(shè)CQ=2x，CQ的中點(diǎn)D到AB的距離DM不大于CD，DMDBDM12x5(12x)5(12x)xACAB，即513DMDMCD，所以13，由13，即101020CQ12x6，故3x63，而x，亦即3時(shí)，CPQ可能為直角三角形。自然還有其他方法。同學(xué)們能夠連續(xù)研究。練習(xí)2：（廣東省2003年中考試題最后一題）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC的中點(diǎn)，1）寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)極點(diǎn)A、B、C距離的大小關(guān)系。2）若是點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上搬動(dòng)，搬動(dòng)中保持AN＝BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論。該題與例3近似，同學(xué)們能夠仿本大類習(xí)題的共性：1．代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及核心內(nèi)容的觀察;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類談?wù)摗⒎匠?、函?shù)．2．以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；經(jīng)過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特別情況下的函數(shù)值．專題三：雙動(dòng)點(diǎn)問題點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)組成的問題稱之為動(dòng)向幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的觀察學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及解析問題和解決問題的能力.其中以靈便多變而著稱的雙動(dòng)點(diǎn)問題更成為今年中考試題的熱點(diǎn)，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，研究函數(shù)圖象問題例1(2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如圖1).動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA，AD，DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是1cm/s.而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C.設(shè)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過的時(shí)間為t(s)時(shí)，△BPQ的面積為y(cm)2(如圖2).分別以t，y為橫、縱坐標(biāo)成立直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P在AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN.分別求出梯形中BA，AD的長度；寫出圖3中M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；分別寫出點(diǎn)P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補(bǔ)全整個(gè)運(yùn)動(dòng)中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大體圖象.評(píng)析此題將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖象有機(jī)的結(jié)合在一起，兩者相輔相成，給人以清爽、淡雅之感.此題彰顯數(shù)形結(jié)合、分類談?wù)摗⒑瘮?shù)建模與參數(shù)思想在解題過程中的靈活運(yùn)用.解決此題的要點(diǎn)是從函數(shù)圖象中確定線段AB、梯形的高與t的函數(shù)關(guān)系式，成立起y與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而依照函數(shù)關(guān)系式補(bǔ)充函數(shù)圖象.以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，研究結(jié)論開放性問題例2(2007年泰州市)如圖5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的極點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，極點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，53)，AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0，2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.求∠BAO的度數(shù).當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.(3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(4)若是點(diǎn)P，Q保持(2)中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請說明原由.解(1)∠BAO=60°.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒.評(píng)析此題是以雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成立的集函數(shù)、開放、最值問題于一體的綜合題.試題有難度、有梯度也有區(qū)分度，是一道擁有很好的選拔功能的好題.解決此題的要點(diǎn)是從圖象中獲得P的速度為2，爾后成立S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解得問題(3).此題的難點(diǎn)是題(4)，考生要從題目的信息中確定成立以B為直角極點(diǎn)的三角形，以B為臨界點(diǎn)進(jìn)行分類談?wù)?，進(jìn)而確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，研究存在性問題例3(2007年揚(yáng)州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿B→A，B→C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米；若a=5厘米，求時(shí)間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；(4)可否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請說明原由.評(píng)析此題是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，矩形為背景創(chuàng)立的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，將幾何與代數(shù)知識(shí)圓滿的綜合為一題，重視對(duì)相似和梯形面積等知識(shí)點(diǎn)的觀察，此題的難點(diǎn)主若是題(3)，解決此題的要點(diǎn)是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進(jìn)而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍.第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的過程中，要有全局見解以及對(duì)問題的整體掌握.以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，研究函數(shù)最值問題例4(2007年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1cm/s的相同速度運(yùn)動(dòng)，過E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角邊于H；過F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角邊于G，連接HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止.若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，解答以下問題：(1)當(dāng)0<X(2)①若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(圖10為備用圖)②求y的最大值.解(1)以E、F、G、H為極點(diǎn)的四邊形是矩形，由于正方形ABCD的邊長為82，所以AC=16，過B作BO⊥AC于O，則OB=89，由于AE=x，所以S2=4x，由于HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)，當(dāng)S1=S2時(shí)，4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當(dāng)x=6時(shí)，S1=S2.(2)①當(dāng)0≤x<8時(shí)，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，當(dāng)8≤x≤16時(shí)，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，所以S1=(16-x)(2x-16)，所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.②當(dāng)0≤x<8時(shí)，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值為50.當(dāng)8≤x≤16時(shí)，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，所以當(dāng)x=13時(shí)，y的最大值為82.綜上可得，y的最大值為82.評(píng)析此題是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，正方形為背景創(chuàng)立的函數(shù)最值問題.要修業(yè)生認(rèn)真讀題、意會(huì)題意、畫出不一樣情況下的圖形，依照圖形成立刻間變量與其他相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而成立面積的函數(shù)表達(dá)式

.此題在知識(shí)點(diǎn)上重視對(duì)二次函數(shù)最值問題的觀察，要修業(yè)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、靈便的解題方法、優(yōu)異的思想質(zhì)量；在解題思想上重視對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、分類談?wù)撍枷?、?shù)學(xué)建模等思想的靈便運(yùn)用.專題四：函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例題如圖1，已知拋物線的極點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。y1x2x⑴求拋物線的解析式；（用極點(diǎn)式求得拋物線的解析式為4）⑵若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為極點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上可否存在點(diǎn)P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明原由。圖1例1題圖圖2．．．．．．．解析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個(gè)極點(diǎn)時(shí)應(yīng)以兩個(gè)極點(diǎn)的連線為四邊形的邊和對(duì)角線來考慮問題以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為極點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類談?wù)?按OB為邊和對(duì)角線兩種情況2.函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個(gè)解題路子①求相似三角形的第三個(gè)極點(diǎn)時(shí)，先要解析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形．．可否為特別三角形。依照未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類談?wù)摗＂诨蚶靡阎切沃袑?duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來推導(dǎo)邊的大小。③若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，此后利用相似來列方程求解。練習(xí)1、已知拋物線y2，，53，及原點(diǎn)O(0，0)．a(chǎn)xbxc經(jīng)過P(33)E02（1）求拋物線的解析式．（由一般式得拋物線的解析式為2253yxx）．．．33（2）過P點(diǎn)作平行于x軸的直線PC交y軸于C點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線PC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線QA平行于y軸交x軸于A點(diǎn)，交直線PC于B點(diǎn)，直線QA與直線PC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OABC．可否存在點(diǎn)Q，使得△OPC與△PQB相似？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明原由．3）若是吻合（2）中的Q點(diǎn)在x軸的上方，連接OQ，矩形OABC內(nèi)的四個(gè)三角形OPC，△PQB，△OQP，△OQA之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習(xí)2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處。已知折疊CE55，且tanEDA3。41）判斷△OCD與△ADE可否相似？請說明原由；2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）可否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？若是存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；若是不存在，請說明原由。練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)yyax2bxc(a0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的CB左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其極點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)(2，3)和E(3，12)．ODAx（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式．．．得拋物線的解析式為練習(xí)2圖yx22x3）（2）若直線l:ykx(k0)與線段BC交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B，C重合），則可否存在這樣的直線l，使得以B，O，D為極點(diǎn)的三角形與△BAC相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明原由；A(1，0)，B(3，0),C(0，3)（3）若點(diǎn)P是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右側(cè)圖象上不與極點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角PCO與y

xlP

CACO的大?。ú挥米C明），并寫出此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍．O練習(xí)4(2008廣東湛江市)以下列圖，已知拋物線yx21與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．3）在x軸上方的拋物線上可否存在一點(diǎn)M，過M作MGx軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，央求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明原由．練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，ACB90o，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A(3，0)3，C(1，0)，tanBAC．4（1）求過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)A(3，0)，C(10)，，3x9yB(13)，，yB42）在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AxOCPQ，設(shè)APDQm，問可否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似，如存在，央求出m的值；如不存在，請說明原由．參照答案例題、解:⑴由題意可設(shè)拋物線的解析式為ya(x2)21∵拋物線過原點(diǎn)，∴0a(02)211∴a.4拋物線的解析式為y1(x2)21,即y1x2x44⑵如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時(shí),CD∥OB,＝由01(x2)21得x10,x24,4B(4,0),OB＝4.∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6將x＝6代入y1(x2)21,得y＝－3,圖14D(6,－3);依照拋物線的對(duì)稱性可知,在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形坐標(biāo)為(－2,－3),當(dāng)OB為對(duì)角線即四邊形OCBD是平行四邊形時(shí),D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)⑶如圖2，由拋物線的對(duì)稱性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP與△AOB相似,必定有∠POB＝∠BOA＝∠BPO設(shè)OP交拋物線的對(duì)稱軸于A′點(diǎn),顯然A′(2,－1)

ODCB是平行四邊形

,此時(shí)

D點(diǎn)的∴直線

OP的解析式為

y

1x

圖22由

1

x

1x2

x,2

4得x1

0,x

2

6.∴P(6,－3)過P作PE⊥x軸,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝13≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO與△BAO不相似,同理可說明在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上也不存在吻合條件的P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得△BOP與△AOB相似.練習(xí)1、解：（1）由已知可得：3a3b375a53b0解之得，a2，b53，c0．4233c0所以得，拋物線的解析式為：y2x253x．33（2）存在．設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，n)，則n2m253m，33BQPB3nm332m253mm3要使△OCP∽△PBQ,，即33CP，則有333OC3解之得，m123，m22．當(dāng)m23時(shí)，n2，即為Q點(diǎn)，所以得Q(23，2)1要使△OCP∽△QBP,BQPB，則有3nm332m253mm3，即33OCCP3333解之得，m133，m23，當(dāng)m3時(shí)，即為P點(diǎn)，y當(dāng)m133時(shí)，n3，所以得Q(33，3)．CB故存在兩個(gè)Q點(diǎn)使得△OCP與△PBQ相似．3EQ點(diǎn)的坐標(biāo)為(23，2)，(33，3)．12CP3．所以COP30o．ODAx（3）在Rt△OCP中，由于tanCOP圖1OC3當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(23，2)時(shí)，BPQCOP30o．所以O(shè)PQOCPBQAO90o．所以，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．又在Rt△OAQ中，由于tanQOAQA3．所以QOA30o．AO3即有POQQOAQPBCOP30o．所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA，又由于QP⊥OP，QA⊥OAPOQAOQ30o，yl所以△OQA≌△OQP．NCBM練習(xí)2GE解：（1）△OCD與△ADE相似。P原由以下：ODAx由折疊知，CDEB，90°∴12，Q1390o，23.90°又∵CODDAE90°，∴△OCD∽△ADE。（2）∵tanAE3EDA，∴設(shè)AE=3t，AD4則AD=4t。由勾股定理得DE=5t?！郞CABAEEBAEDE3t5t8t。由（1）△OCD∽△ADE，得OCCD，ADDE8tCD，4t5tCD10t。在△DCE中，∵CD2DE2CE2，∴(10t)2(5t)2(55)2，解得t=1。OC=8，AE=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，10kb，k1，2∴，解得b8b8，∴y1x8，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16，0）。2（3）滿足條件的直線l有2條：y=－2x+12，=2x－12。如圖2：正確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）Q二次函數(shù)圖象極點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)(2，3)和(3，12)，b，2a1a1，由4a2bc，解得，b239a3b212.c3.此二次函數(shù)的表達(dá)式為yx22x3．（2）假設(shè)存在直線l:ykx(k0)與線段BC交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B，C重合），使得以B，O，D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似．在yx22x3中，令y0，則由x22x30，解得x11，x23xlA(10)，，B(3，0)．令x0，得y3．C(0，3)．C設(shè)過點(diǎn)O的直線l交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．DQ點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)．AOEByAB，OC，OBCo4OB345.BC323232．要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，x1已有BB，則只要BDBO，①BCBA或BOBD.②BCBA成立．若是①，則有BDBOgBC33292．BA44而OBC45o，BEDE．922在Rt△BDE中，由勾股定理，得2222．BEDE2BEBD49解得BEDE（負(fù)值舍去）．493OEOBBE3．44點(diǎn)D的坐標(biāo)為394，．4將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入ykx(k0)中，求得k3．滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y3x．［或求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y3x3，則與直線AC平行的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y3x．此時(shí)易知△BOD∽△BAC，再求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為yx3．聯(lián)立y3x，yx3求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為394，．］4若是②，則有BDBOgBA342．BC232而OBC45o，BEDE．在Rt△BDE中，由勾股定理，得222BD22．BEDE2BE(22)解得BEDE2（負(fù)值舍去）．OEOBBE321．點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，2)．將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入ykx(k0)中，求得k2．∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y2x．存在直線l:y3x或y2x與線段BC交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B，C重合），使得以B，O，D為極點(diǎn)的三角形與△BAC相似，且點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為39或(12)，．4，4（3）設(shè)過點(diǎn)C(0，3)，E(1，0)的直線ykx3(k0)與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P．將點(diǎn)E(10)，的坐標(biāo)代入ykx3中，求得k3．此直線的函數(shù)表達(dá)式為y3x3．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，3x3)，并代入yx22x3，得x25x0．解得x15，x20（不合題意，舍去）．xC·Cx5，y12．點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，12)．此時(shí)，銳角PCOACO．又Q二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x1，點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，3)．當(dāng)xp5時(shí)，銳角PCOACO；當(dāng)xp5時(shí)，銳角PCOACO；當(dāng)2xp5時(shí)，銳角PCOACO．練習(xí)四解：（1）令y0，得x210解得x1令x0，得y1∴A(1,0)B(1,0)C(0,1)2）∵OA=OB=OC=1∴BAC=ACO=BCO=45o∵AP∥CB，∴PAB=45o過點(diǎn)P作Px軸于，則P為等腰直角三角形EEAE

yPAoBxC圖1令OE=a，則PE=a1∴P(a,a1)∵點(diǎn)P在拋物線yx21上∴a1a21解得a12，a21（不合題意，舍去）∴PE=3∴四邊形ACBP的面積S=1AB?OC+1AB?PE=12112342222(3)．假設(shè)存在∵PAB=BAC=45o∴PAAC∵M(jìn)Gx軸于點(diǎn)G，∴MGA=PAC=90o在Rt△AOC中，OA=OC=1∴AC=2y在Rt△PAE中，AE=PE=3∴AP=32MPGAoBx設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則M(m,m21)①點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，則m1(ⅰ)當(dāng)AMG∽PCA時(shí)，有AG=MGPACA∵AG=m1，MG=m21即m1m21322解得m11（舍去）m22（舍去）3(ⅱ)當(dāng)MGP時(shí)有AG=MGA∽CACAPAm1m211（舍去）m22即23解得：m2∴M(2,3)②點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，則m1(ⅰ)當(dāng)AMG∽PCA時(shí)有AG=MGPACAAG=m1，MG=m21m1m21解得m114∴322（舍去）m2347∴M(,)(ⅱ)當(dāng)MAG∽PCA時(shí)有AG=MGCAPA即m1m21232解得：m11（舍去）m24

yPMGAoBxC圖3∴M(4,15)∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)，(4,7)，(4,15)39練習(xí)5、解：（1）Q點(diǎn)A(3，0)，C(10)，AC4，BCtan∠BACAC343，B點(diǎn)坐標(biāo)為(13)，4設(shè)過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式為ykxb，0k(3)b得k3939y由kb，b直線AB的函數(shù)表達(dá)式為yx4B344421B作BDAB，交x軸于點(diǎn)D，P（）如圖，過點(diǎn)在Rt△ABC和Rt△ADB中，Q∠BAC∠DABRt△ABC∽R(shí)t△ADB，AOQCD點(diǎn)為所求又tan∠ADBtan∠ABC4圖1，3CDBCtan∠ADB349ODOCCD1313，3444（3）這樣的m存在y在Rt△ABC中，由勾股定理得AB5如圖，當(dāng)PQ∥BD時(shí)，△APQ∽△ABDB113mPm325則413，解得m539QOCA4圖2如圖2，當(dāng)PQAD時(shí)，△APQ∽△ADB

xxm313m125則4135，解得m3364例1(2008福建福州)如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，、兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答以下問題：PQ1）當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明原由；2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QRSBPQ

12

解:(1)△BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時(shí),AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP又.由于∠B=600,所以△BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QE⊥AB,垂足為E,由QB=2t,得QE=2t·sin6003t,=由AP=t,得PB=6-t,所以SBPQ=1×BP×QE=1(6-t)×3t=－3t2+33t；222(3)由于QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又由于∠C=600,所以△QRC是等邊三角形,這時(shí)BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.由于BE=BQ·cos600=1×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,2所以EP=QR,又EP∥QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=3t,由△APR∽△PRQ,獲得APPR,即t3t,解得t=6,PRRQ3t62t5所以當(dāng)t=6時(shí),△APR∽△PRQ.5談?wù)?此題是雙動(dòng)點(diǎn)問題.動(dòng)向問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,對(duì)同學(xué)們獲守信息和辦理信息的能力要求較高;解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過程,并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特別關(guān)系,動(dòng)中取靜,靜中求動(dòng).例2(2008浙江溫州)如圖，在Rt△ABC中，A90o，AB6，AC8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQBC于Q，過點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQx，QRy．（1）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長；2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；3）可否存在點(diǎn)P，使△PQR為等腰三角形？若存在，央求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明原由．解析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;由腰相等列方程可得x的值;注意需分類談?wù)?解：（1）QARt，AB6，AC8，BC10．Q點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，BD1AB3．2QDHBA90o，BB．△BHD∽△BAC，DHBD，BD312ACBCAC∴DH85BC10（2）QQR∥AB，QRCA90o．QCC，△RQC∽△ABC，RQQCy10xyABBC，10，即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：6（3）存在.按腰相均分三種情況：①當(dāng)PQPR時(shí)，過點(diǎn)P作PMQR于M，則QMRM．Q1290o，C290o，1C．

x6．ARcos1cosC84QM4DPE，QP5，1M105B2CHQ13x618254，x125．5A5②當(dāng)PQRQ時(shí)，3x612，DPE55Rx6．BCHQ③當(dāng)PRQR時(shí)，則R為PQ中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)R為EC的中點(diǎn)，CR1CE1AC2．24QtanCQRBACR，CA3x66155，x28．2綜上所述，當(dāng)x為18或6或15時(shí)，△PQR為等腰三角形．52談?wù)?成立函數(shù)關(guān)系式,實(shí)質(zhì)就是把函數(shù)y用含自變量x的代數(shù)式表示;要求使△PQR為等腰三角形的x的值,可假設(shè)△PQR為等腰三角形,找到等量關(guān)系,列出方程求解,由于題設(shè)中沒有指明等腰三角形的腰,故還須分類談?wù)?五、以圓為載體的動(dòng)點(diǎn)問題動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，中考經(jīng)常觀察，有一類動(dòng)點(diǎn)問題，題中未說到圓，卻與圓相關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為載體，利用圓的相關(guān)性質(zhì)，問題便會(huì)瓜熟蒂落；此類問題方法巧妙，耐人尋味。例1.在RtABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不能能，請說明原由。（03年廣州市中考）解析：不論P(yáng)、Q怎樣運(yùn)動(dòng)，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又由于PQ與AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判斷△CPQ可否為直角三角形，只要構(gòu)造以CQ為直徑的圓，依照直徑所對(duì)的圓周角為直角，若AB邊上的動(dòng)點(diǎn)P在圓上，∠CPQ就為直角，否則∠CPQ就不能能為直角。以CQ為直徑做半圓D。①當(dāng)半圓D與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連接DM，則DM⊥AB，且AC＝AM＝5所以MBABAM1358設(shè)CDx，則DMx，DB12x在RtDMB中，DB2DM2MB2，即122x282x解得：x10，所以CQ2x2033即當(dāng)CQ20且點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)M的地址時(shí)，△CPQ為直角三角形。3②當(dāng)20CQ12時(shí)，半圓D與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到這兩個(gè)交點(diǎn)的地址時(shí)，△CPQ3為直角三角形。③當(dāng)0CQ

20

時(shí)，半圓D與直線AB相離，即點(diǎn)P在半圓D之外，0＜∠CPQ＜90°，3此時(shí)，△CPQ不能能為直角三角形。所以，當(dāng)20CQ12時(shí)，△CPQ可能為直角三角形。3例2.如圖2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有動(dòng)點(diǎn)P，使AP⊥BP，則這樣的點(diǎn)有多少個(gè)？解析：由條件AP⊥BP，想到以AB為直徑作圓，若CD與圓訂交，依照直徑所對(duì)的圓周角是90°，兩個(gè)交點(diǎn)即為點(diǎn)P；若CD與圓相切，切點(diǎn)即是點(diǎn)P；若CD與圓相離，則DC上不存在動(dòng)點(diǎn)P，使AP⊥BP。解：如圖3，以AB為直徑做⊙O，設(shè)⊙O與CD切于點(diǎn)E由于∠B＝∠A＝90°所以AD、BC為⊙O的切線即AD＝DE，BC＝CE所以AD＋BC＝CD而條件中AD＋BC＜DC，我們把CD向左平移，如圖4，CD的長度不變，AD與BC的長度縮短，此時(shí)AD＋BC＜DC，點(diǎn)O到CD的距離OE小于⊙O的半徑OE，CD與⊙O訂交，∠AP1B和∠AP2B是直徑AB所對(duì)的圓周角，都為90°，所以交點(diǎn)P1、P2即為所求。所以，腰DC上使AP⊥BP的動(dòng)點(diǎn)P有2個(gè)。例3.如圖5，△ABC的外面有一動(dòng)點(diǎn)P（在直線BC上方），分別連接PB、PC，試確定∠BPC與∠BAC的大小關(guān)系。（02年廣州市中考）解析：∠BPC與∠BAC之間沒有聯(lián)系，要確定∠BPC與∠BAC的大小關(guān)系，必定找合適的載體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，經(jīng)過構(gòu)造△ABC的外接圓，問題就會(huì)瓜熟蒂落。（1）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓外時(shí)，如圖5，連接BD，依照外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，∠BPC＜∠BDC又由于∠BDC＝∠BAC，所以∠BPC＜∠BAC；2）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓上時(shí)，如圖6，依照同弧所對(duì)的圓周角相等，∠BPC＝∠BAC；3）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓內(nèi)時(shí)，如圖7，延長BP交△ABC外接圓于點(diǎn)D，連接CD，則∠BPC＞∠BDC，又∠BDC＝∠BAC，故∠BPC＞∠BAC。綜上，知當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓外時(shí)，∠BPC＜∠BAC；當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓上時(shí)，∠BPC＝∠BAC；當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓內(nèi)時(shí)，∠BPC＞∠BAC。專題七、2010中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題打破訓(xùn)練――動(dòng)點(diǎn)問題動(dòng)點(diǎn)試題是近幾年中考命題的熱點(diǎn)，與一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí)綜合，組成中考試題的壓軸題.動(dòng)點(diǎn)試題大體分為點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、圖形動(dòng)三各種類.動(dòng)點(diǎn)試題要以靜代動(dòng)的解題思想解題.下面就中考動(dòng)點(diǎn)試題進(jìn)行解析.例1（2006年福建晉州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一動(dòng)點(diǎn)

P從

A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線PM，使PM⊥AD.1．當(dāng)點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)

2秒時(shí)，設(shè)直線

PM與

AD訂交于點(diǎn)

E，求△APE的面積；2．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A→B的路線運(yùn)動(dòng)，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，（當(dāng)P、Q中的某一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).）過Q作直線QN，使QN∥PM，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)2的時(shí)間為t秒（0≤t≤8），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S（cm）.1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；2）求S的最大值.1.解析：此題為點(diǎn)動(dòng)題，所以，1)搞清動(dòng)點(diǎn)所走的路線及速度，這樣就能求出相應(yīng)線段的長；2）分析在運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的幾種特別地址.由題意知，點(diǎn)

P為動(dòng)點(diǎn)，所走的路線為：

A→B→C

速度為

1cm/s。而

t=2s，故可求出

AP的值，進(jìn)而求出△APE的面積.略解：由AP=2，∠A=60°得AE=1，EP=.所以.解析：兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在前，點(diǎn)Q在后，速度相等，所以兩點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)A的距離相差總是在AB邊上運(yùn)動(dòng)后，又到BC邊上運(yùn)動(dòng).所以PM、QN截平行四邊形ABCD所得圖形不一樣.故分兩種情況：（1）①當(dāng)

P、Q都在

AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM、QN截平行四邊形

ABCD所得的圖形永遠(yuǎn)為直角梯形

.此時(shí)

0≤t≤6.②當(dāng)

P在

BC上運(yùn)動(dòng)，而

Q在

AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出相應(yīng)圖形，所成圖形為六邊形

DFQBPG不.規(guī)則圖形面積用割補(bǔ)法.此時(shí)6＜t≤8.⑴略解：①當(dāng)P、Q同時(shí)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t≤6.AQ=t,AP=t+2,AF=t,QF=t,AG=(t+2),由三角函數(shù)PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t==·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+.②當(dāng)6＜t≤8時(shí)，S=S平行四邊形ABCD-S△AQF-S△GCP.易求S平行四邊形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2.而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比率式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.∴S=16-t22-(10-t)=(6＜t≤8⑵解析:求面積的最大值時(shí),應(yīng)用函數(shù)的增減性求.若題中分多種情況,那么每一種情況都要分別求出最大值，爾后綜合起來得出一個(gè)結(jié)論.此題分兩種情況,那么就分別求出0≤t≤6和6＜t≤8時(shí)的最大值.0≤t≤6時(shí),是一次函數(shù),應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì),由于一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù),面積S隨t的增大而增大.當(dāng)6＜t≤8時(shí),是二次函數(shù),應(yīng)用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6時(shí)，S最大＝；由于

S＝(6＜t≤8,所以

t=8

時(shí)，S最大=6.綜上所述

,

當(dāng)

t=8

時(shí)，S最大=6.例2．（2006年錦州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方).

OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線

，

l求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2.設(shè)△OMN的面積為S，直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤6)，試求S與t的函數(shù)表達(dá)式；在題(2)的條件下，t為什么值時(shí)，S的面積最大？最大面積是多少？解析：由菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)易求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).解：∵四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，OA=AB=BC=CO=4如圖.①，過點(diǎn)A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=.A(2,)，B（6,）.解析：直線l在運(yùn)動(dòng)過程中，隨時(shí)間t的變化，△MON的形狀也不斷變化，所以，第一要把所有情況畫出相應(yīng)的圖形，每一種圖形都要相應(yīng)寫出自變量的取值范圍。這是解決動(dòng)點(diǎn)題要點(diǎn)之一.直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊訂交有三種情況：①0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊訂交(如圖①).②2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊訂交(如圖②).③4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊訂交(如圖③).略解：①∵M(jìn)N⊥OC，∴ON=t.∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t2.②S=ON·MN=t·2=t.③方法一：設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H.∵M(jìn)N＝2-(t-4)=6-t,∴S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t.方法二：設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H.∵S=S△OMH-S△ONH，∴S=t·2-t·(t-4)=-t2+3t.方法三：設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H.∵S=,=4×2=8,=·2·(t-2)=t-2,=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.3.求最大面積的時(shí)候，求出每一種情況的最大面積值，爾后再綜合每種情況，求出最大值.略解：由2知，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，=×22=2；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，=4；當(dāng)4＜t≤6時(shí)，配方得S=-(t-3)2+，2的最大值是.∴當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)S＝-t+3t但t=3不在4＜t≤6內(nèi)，∴在4＜t≤6內(nèi)，函數(shù)S＝-t2+3t的最大值不是.而當(dāng)t＞3時(shí)，函數(shù)S＝-t2+3t隨t的增大而減小，∴當(dāng)4＜t≤6時(shí)，S＜4.綜上所述，當(dāng)t=4秒時(shí)，=4.練習(xí)1（2006年南安市）以下列圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2個(gè)單位長度沿x軸正方向作勻速運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度沿A－B－C－D的路線作勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD也隨之停止運(yùn)動(dòng)．⑴求P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間；⑵設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.當(dāng)t＝5時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若⊿OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍）．解:（1）P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間＝（3+5+3）÷1＝11（秒）.（2）當(dāng)t＝5時(shí)，P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC上，此時(shí)OA=10,AB+BP=5，∴BP=2.過點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，則PE=AB=3,AE=BP=2.OE=OA+AE=10+2=12∴.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，3）．分三種情況：．當(dāng)0＜t≤3時(shí)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OA=2t,AP=t，∴s=×2t×t=t2.．當(dāng)3＜t≤8時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OA=2t，∴s=×2t×3=3t.．當(dāng)8＜t＜11時(shí)，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OA=2t,AB+BC+CP=t，∴DP=(AB+BC+CD)-AB+BC+CP)=11-t.∴s=×2t×(11-t)=-t2+11t.綜上所述，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：當(dāng)0＜t≤3時(shí)，s=t2；當(dāng)3＜t≤8時(shí)，s=3t；當(dāng)8＜t＜11時(shí)，s=-t2+11t.練習(xí)2如圖，邊長為4的正方形的極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸OABC的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)D在線段BC上搬動(dòng)（不與B，C重合），連接OD，過點(diǎn)D作DE⊥OD，交邊AB于點(diǎn)E，連接OE．1）當(dāng)CD=1時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；2）若是設(shè)CD=t，梯形COEB的面積為S，那么可否存在S的最大值？若存在，央求出這個(gè)最大值及此時(shí)t的值；若不存在，請說明原由．解：(1)正方形OABC中，由于ED⊥OD，即∠ODE=90°，所以∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，所以∠COD=∠EDB.又由于∠OCD=∠DBE=90°，所以△CDO∽△BED.所以，即，BE=，則.所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，）．存在S的最大值．由于△∽△，所以，即，BE=－t2.CDOBEDt2×4×(4＋t－t)．故當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值10．1、（09包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）若是點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與可否全等，請說明原由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)第一次在的哪條邊上相遇？AQDQBPC解：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．··································（4分）②∵，∴，又∵，，則，∴點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒，∴厘米/秒．······························（7分）（2）設(shè)經(jīng)過秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，由題意，得，解得秒．∴點(diǎn)共運(yùn)動(dòng)了厘米．∵，∴點(diǎn)、點(diǎn)在邊上相遇，∴經(jīng)過秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇．···················（12分）2、（09齊齊哈爾）直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止．點(diǎn)沿線段運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)沿路線→→運(yùn)動(dòng)．1）直接寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2）設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；3）當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)為極點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)極點(diǎn)的坐標(biāo)．y解（1）A（8，0）B（0，6）·····1分B（2）點(diǎn)由到的時(shí)間是（秒）P點(diǎn)的速度是（單位/秒）·······1分當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)（或0）時(shí)，xOQ1分······································A當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)（或）時(shí)，,如圖，作于點(diǎn)，由，得，···························1分······································1分（自變量取值范圍寫對(duì)給1分，否則不給分．）（3）···································1分······································3分3（09深圳）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=－2x－8分別與x軸，y軸訂交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（0，）是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙.kP（1）連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的地址關(guān)系，并說明原由；（2）當(dāng)k為什么值時(shí)，以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為極點(diǎn)的三角形是正三角形？解：（1）⊙P與x軸相切.∵直線y=－2x－8與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由題意，OP=－k，PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半徑，∴⊙P與x軸相切.2）設(shè)⊙P與直線l交于C，D兩點(diǎn)，連接PC，PD當(dāng)圓心P在線段OB上時(shí),作PE⊥CD于E.∵△PCD為正三角形，∴DE=CD=，PD=3，PE=.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴，∴∴，∴，∴.當(dāng)圓心P在線段OB延長線上時(shí),同理可得P(0,－－8)，∴k=－－8，∴當(dāng)k=－8或k=－－8時(shí)，以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為極點(diǎn)的三角形是正三角形.4（09哈爾濱）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－3，4），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H．（1）求直線AC的解析式；（2）連接BM，如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個(gè)單位／秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PMB的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為什么值時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，并求此時(shí)直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．解：5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿以每秒1個(gè)單AB位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．陪同著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直均分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)．點(diǎn)、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)