隨機(jī)信號(hào)分析：CH6 6.1 希爾伯特變換與解析信號(hào)

電子科技大學(xué)通信學(xué)院隨機(jī)信號(hào)分析第6章帶通隨機(jī)信號(hào)電子科技大學(xué)通信學(xué)院第6章帶通隨機(jī)信號(hào)帶通：功率譜集中在某個(gè)非零頻率處應(yīng)用背景：通信、雷達(dá)和無線電技術(shù)。本章討論：

1）希爾伯特變換與復(fù)隨機(jī)信號(hào)的分析方法，

2）帶通信號(hào)的基本特性、表示方法與重要關(guān)系、以及頻譜搬移的原理；

3）兩種帶通信號(hào)的幾種基本概率分布。窄帶高斯信號(hào)、窄帶高斯噪聲

符號(hào)注意：本章小寫字母也表示隨機(jī)信號(hào)。第6章帶通隨機(jī)信號(hào)6.1希爾伯特變換域解析信號(hào)6.1.1希爾伯特變換6.1.2解析信號(hào)舉例6.2復(fù)隨機(jī)信號(hào)（自學(xué)）6.3帶通信號(hào)與調(diào)制6.4窄帶高斯信號(hào)電子科技大學(xué)通信學(xué)院電子科技大學(xué)通信學(xué)院一、希爾伯特變換定義：實(shí)信號(hào)實(shí)信號(hào)的希爾伯特變換：時(shí)域正變換反變換h(t)實(shí)信號(hào)通過線性系統(tǒng)電子科技大學(xué)通信學(xué)院實(shí)信號(hào)的希爾伯特變換：頻域-90度相移器h(t)j-j0希爾伯特變換定義：續(xù)電子科技大學(xué)通信學(xué)院希爾伯特變換定義：續(xù)電子科技大學(xué)通信學(xué)院二、希爾伯特變換定義：隨機(jī)信號(hào)線性時(shí)系統(tǒng)不變LTIh(t)X(t)Y(t)分布特性矩特性平穩(wěn)性功率譜樣本函數(shù)輸出過程電子科技大學(xué)通信學(xué)院三、希爾伯特變換性質(zhì)1）-希爾伯特逆變換電子科技大學(xué)通信學(xué)院希爾伯特變換性質(zhì)2）-90度相移器電子科技大學(xué)通信學(xué)院設(shè)具有有限帶寬的信號(hào)的傅立葉變換為，假定，則有：a(t)的頻譜

a(t)的信號(hào)波形

電子科技大學(xué)通信學(xué)院證明：的頻譜

電子科技大學(xué)通信學(xué)院的波形

電子科技大學(xué)通信學(xué)院電子科技大學(xué)通信學(xué)院還可證明：還可證明：電子科技大學(xué)通信學(xué)院還可證明：電子科技大學(xué)通信學(xué)院電子科技大學(xué)通信學(xué)院HilbertFilter電子科技大學(xué)通信學(xué)院性質(zhì)3：希爾伯特變換的平穩(wěn)性電子科技大學(xué)通信學(xué)院性質(zhì)4若X(t)是WSSR.S.，則有：證明：

等功率正交變換電子科技大學(xué)通信學(xué)院性質(zhì)4若X(t)是WSSR.S.，則有：證明：

等功率正交變換電子科技大學(xué)通信學(xué)院性質(zhì)4若X(t)是WSSR.S.，則有：證明一：

等功率正交變換證明二：

電子科技大學(xué)通信學(xué)院兩式左右兩邊分別相加

又第6章帶通隨機(jī)信號(hào)6.1希爾伯特變換域解析信號(hào)6.1.1希爾伯特變換6.1.2解析信號(hào)舉例6.2復(fù)隨機(jī)信號(hào)（自學(xué)）6.3帶通信號(hào)與調(diào)制6.4窄帶高斯信號(hào)電子科技大學(xué)通信學(xué)院電子科技大學(xué)通信學(xué)院解析信號(hào)Inmathematicsandsignalprocessing,theanalyticrepresentationofareal-valuedfunctionorsignalfacilitatesmanymathematicalmanipulationsofthesignal.ThebasicideaisthatthenegativefrequencycomponentsoftheFouriertransform(orspectrum)ofareal-valuedfunctionaresuperfluous,duetotheHermitiansymmetryofsuchaspectrum.Thesenegativefrequencycomponentscanbediscardedwithnolossofinformation,providingoneiswillingtodealwithacomplex-valuedfunctioninstead.Thatmakescertainattributesofthesignalmoreaccessibleandfacilitatethederivationofmodulationanddemodulationtechniques,especiallysingle-sideband.Aslongasthemanipulatedfunctionhasnonegativefrequencycomponents(thatis,itisstillanalytic),theconversionfromcomplexbacktorealisjustamatterofdiscardingtheimaginarypart.NottobeconfusedwithAnalyticfunction

afunctionwhichsatisfiescertainpropertiesregardingdifferentiability電子科技大學(xué)通信學(xué)院Ifx(t)isareal-valuedsignalwithFouriertransformX(ω),andu(ω)istheHeavisidestepfunction,thenthefunction:containsonlythenon-negativefrequencycomponentsofX(ω).Andtheoperationisreversible,duetotheHermitianpropertyofX(ω).Analyticsignal:解析信號(hào)TheinverseFouriertransformofZ(jω)iscalledtheanalyticsignal:Definition:Hilberttransform電子科技大學(xué)通信學(xué)院解析信號(hào)jh(t)+電子科技大學(xué)通信學(xué)院從解析信號(hào)得到原信號(hào)從解析信號(hào)得到原信號(hào)0解析信號(hào)本質(zhì)上是原信號(hào)的正頻率部分電子科技大學(xué)通信學(xué)院解析信號(hào)的譜原信號(hào)是確定信號(hào)：其解析信號(hào)是確定的。原信號(hào)是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)：其解析信號(hào)是隨機(jī)的。第6章帶通隨機(jī)信號(hào)6.1希爾伯特變換域解析信號(hào)6.1.1希爾伯特變換6.1.2解析信號(hào)舉例6.2復(fù)隨機(jī)信號(hào)（自學(xué)）6.3帶通信號(hào)與調(diào)制6.4窄帶高斯信號(hào)電子科技大學(xué)通信學(xué)院電子科技大學(xué)通信學(xué)院例：解析隨機(jī)信號(hào)的矩(輸入信號(hào)平穩(wěn))均值相關(guān)函數(shù)：方法一（直接計(jì)算）相關(guān)函數(shù)電子科技大學(xué)通信學(xué)院輸入平穩(wěn)輸出平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)相關(guān)函數(shù)：方法二（X(t)通過線性系統(tǒng)）電子科技大學(xué)通信學(xué)院例1：時(shí)域因果性與頻域解析性一物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或一個(gè)實(shí)值函數(shù)的傅立葉變換，其實(shí)部與虛部之間存在某種相互可轉(zhuǎn)換的聯(lián)系，如：=電子科技大學(xué)通信學(xué)院例1：續(xù)即：時(shí)域的因果性與頻域的解析性是等效的。電子科技大學(xué)通信學(xué)院例2：正頻率實(shí)值信號(hào)的解析信號(hào)求信號(hào)的解析信號(hào)(復(fù)信號(hào))。解:

或電子科技大學(xué)通信學(xué)院例3：實(shí)值信號(hào)的解析信號(hào)求信號(hào)的解析信號(hào)(復(fù)信號(hào))。解:

有：電子科技大學(xué)通信學(xué)院例3：續(xù)或：電子科技大學(xué)通信學(xué)院例4：求復(fù)信號(hào)（負(fù)頻率）的解析信號(hào)求信號(hào)的解析信號(hào)(復(fù)信號(hào))。解：總結(jié)：1、任何函數(shù)總可以計(jì)算得到其解析信號(hào)；2、不是任何信號(hào)的解析信號(hào)都可以恢復(fù)其原始信號(hào)；3、只有在正負(fù)頻率軸都有對(duì)稱譜的信號(hào)具有可逆性；因此：解析信號(hào)通常僅應(yīng)用在實(shí)值函數(shù)；不能從解析信號(hào)中恢復(fù)出原始信號(hào)?。?！電子科技大學(xué)通信學(xué)院解析信號(hào)的應(yīng)用解析信號(hào)可以采用幅度相位描述方式：其中：amplitudeenvelopeinstantaneousphase電子科技大學(xué)通信學(xué)院Asignalinblueandthemagnitudeofitsanalyticsignalinred,showingtheenvelopeeffect電子科技大學(xué)通信學(xué)院Thetimederivativeoftheunwrappedinstantaneousphaseiscalledtheinstantaneousfrequency.

Theamplitudefunction,andtheinstantaneousphaseandfrequencyareinsomeapplicationsusedtomeasureanddetectlocalfeaturesofthesignal.Anotherapplicationoftheanalyticrepresentationofasignalrelatestodemodulationofmodu