空間幾何0427分解課件

例1：確定，使直線和直線相交。解：所以兩直線不平行

兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成向量s={2,-2,1},與第二條直線在

同一面,法向取,只要共面即相交它與第一條線方向向量垂直，所以混合積例1：確定，使直線和直線相交。解：所以兩直線不平行兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)例2：直線過(guò)點(diǎn)A(-3,5,-9)且和兩直線相交，求此直線方程。解：過(guò)點(diǎn)A及直線l1作平面過(guò)點(diǎn)

A及直線l2作平面則的交線即為所求直線。故作過(guò)直線

l1的平面束將

A點(diǎn)坐標(biāo)代入，所以同理可求得所以所求直線為其它方法？交點(diǎn)例2：直線過(guò)點(diǎn)A(-3,5,-9)且和兩直線相交，求此

2.圓錐面一直線L繞一相交的定直線在空間轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)始終與定直線保持定角則這直線形成動(dòng)直線與定直線的交點(diǎn)，定角

α

稱為求圓錐面的方程。的曲面，稱為圓錐面。稱為頂點(diǎn)，半頂角.2.圓錐面一直線L繞一相交的定直線在空間轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)在yoz坐標(biāo)面上，L的方程為：即現(xiàn)繞

z軸旋轉(zhuǎn)，則所得旋轉(zhuǎn)面（即圓錐面）即其中方程為：在yoz坐標(biāo)面上，L的方程為：即現(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn)，則所得旋轉(zhuǎn)四、二次曲面

與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似，我們把三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面稱為二次曲面。四、二次曲面與平面解析幾何中規(guī)定的二次截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo橢球面截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面xzy0用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面

橢圓拋物面xzy0用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲用x=b截曲面xzy0

（馬鞍面）

雙曲拋物面

用x=b截曲面xzy0（馬鞍面）雙曲拋物面

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面z=a雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面z=a

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用y=0截曲面y=0雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用y=0截曲面y=0——旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面——單葉雙曲面——旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面——雙葉雙曲面負(fù)號(hào)單為單葉，負(fù)號(hào)雙為雙葉。由雙曲面旋轉(zhuǎn)而得——旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面——單葉雙曲面——旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面——雙葉雙橢圓錐面z=c表示兩直線橢圓錐面z=c表示兩直線內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞2.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三☆、空間曲面的參數(shù)表示四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第六節(jié)空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程四、空間曲線在坐一、空間曲線的一般方程空間曲線

C

可看成兩張空間曲面的交線：xyz0C(1)曲線上的點(diǎn)必須同時(shí)滿足兩個(gè)方程,(1)稱為空間曲線

C

的一般方程。即滿足方程組

(1),一、空間曲線的一般方程空間曲線C可看成兩張空間曲面的交線1yxzo1yxzo1yxzoL1yxzoLzxyozxyoaxyozaxyozaxyzo維望尼曲線Laxyzo維望尼曲線L二、空間曲線的參數(shù)方程

設(shè)空間曲線

C

上任一點(diǎn)為

M(x,y,z),如果其坐標(biāo)

x,y,z可表示為參數(shù)

t

的函數(shù)：且隨著

t

在某一范圍內(nèi)變化，點(diǎn)

M

描出了曲線

C

上的全部點(diǎn)。(2)則稱

(2)為空間曲線的參數(shù)方程。二、空間曲線的參數(shù)方程設(shè)空間曲線C上任一點(diǎn)為M

空間曲線——圓柱螺線P同時(shí)又沿平行于z軸的正方向等線速度v上升。其軌跡就是圓柱螺線。

圓柱面yz0xa

x=

y=z=設(shè)時(shí)刻t動(dòng)點(diǎn)在M(x,y,z)θM螺線從點(diǎn)

P

Q叫螺距NQ點(diǎn)P在圓柱面上以等角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)；vt

請(qǐng)同學(xué)們推導(dǎo)圓錐螺線的參數(shù)方程。其中：圓錐面的方程為動(dòng)點(diǎn)在面上任按上述方式運(yùn)動(dòng)。當(dāng)

從02，空間曲線——圓柱螺線P同時(shí)又沿平行于z軸的正方向等線速度v例將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:

根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),得所求為(1)例將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)例將下列曲線化為參數(shù)方程表示:(2)故所求為將第二方程變形為例將下列曲線化為參數(shù)方程表示:(2)故所求為將第二方程例2.

求空間曲線:

繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:點(diǎn)M1繞z軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)過(guò)角度后到點(diǎn)則這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程.例2.求空間曲線:繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程例如,直線繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面消去

t

和,

得旋轉(zhuǎn)曲面方程為方程為例如,直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面消去t和,三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線

求C在

xoy

平面上的投影曲線方程。(1)作投影：過(guò)

C

上每一點(diǎn)作

xoy

平面的垂線，即相當(dāng)于作了一個(gè)母線

//z

軸，準(zhǔn)線為曲線C的柱面

π

——稱為曲線C關(guān)于

xoy

平面的投影柱面。三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線求C在xoy平面投影柱面

π

與

xoy

平面的交線即為曲線

C在xoy平面上的投影曲線。(2)求投影柱面方程：∵投影柱面

//z

軸，方程中應(yīng)無(wú)變量

z?！嘀灰谇€

C

的方程組中消去變量

z,方程變?yōu)?/p>

H(x,y)=0

——即為投影柱面方程則投影曲線方程為：H(x,y)=0z=0投影柱面π與xoy平面的交線即為曲線C在xoy平面求曲線

C

在

yoz

平面上的投影曲線：只要在曲線

C

的方程組中消去變量

x,

R(y,z)=0

則投影曲線方程為：得投影柱面方程：求曲線

C

在

xoz

平面上的投影曲線：只要在曲線

C

的方程組中消去變量

y,得投影柱面方程：

T(x,z)=0

則投影曲線方程為：同理，

R(y,z)=0

x=0

T(x,z)=0

y=0求曲線C在yoz平面上的投影曲線：只要在曲線C的

1解yxzoL：例1解yxzoL：例z=01yxzo解L投影柱面L：例z=01yxzo解L投影柱面L：例例：在

xoy

平面上的投影曲線方程，并說(shuō)明是什么曲線。解:消去

z

，(1)(2)代入

(2)：為投影柱面方程。(1)-(2):例：在xoy平面上的投影曲線方程，并說(shuō)明是什么曲線。解:為投影柱面方程。C

在

xoy

平面上的投影曲線方程：z=0是什么曲線

?曲線為為

xoy平面上的一條橢圓曲線。.(0,1,1)為投影柱面方程。C在xoy平面上的投影曲線方程：z=例：在三坐標(biāo)面上的投影曲線方程，并說(shuō)明是什么曲線。解:方程組中消去

z

，投影在

xoy

平面：(1)-(2):(1)(2)為投影柱面方程。投影曲線方程：為

xoy

平面上的一個(gè)圓。xyz.21例：在三坐標(biāo)面上的投影曲線方程，并說(shuō)明是什么曲線。解:方程組(1)(2)投影在

yoz

平面：方程組中消去

x

，(1)+(2)得：為投影柱面方程。投影曲線

(直線)方程：同理，投影在

xoz

平面：消去

y投影曲線

(直線)方程：xyz.2-111(1)(2)投影在yoz平面：方程組中消去x，(1例：求曲線在

xoy，xoz面上的投影曲線的方程。解：(1)xoy面,消去z，得所以投影曲線的方程為(2)xoz

面例：求曲線在xoy，xoz面上的投影曲線的方程。解：(1例1：確定，使直線和直線相交。解：所以兩直線不平行

兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成向量s={2,-2,1},與第二條直線在

同一面,法向取,只要共面即相交它與第一條線方向向量垂直，所以混合積例1：確定，使直線和直線相交。解：所以兩直線不平行兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)例2：直線過(guò)點(diǎn)A(-3,5,-9)且和兩直線相交，求此直線方程。解：過(guò)點(diǎn)A及直線l1作平面過(guò)點(diǎn)

A及直線l2作平面則的交線即為所求直線。故作過(guò)直線

l1的平面束將

A點(diǎn)坐標(biāo)代入，所以同理可求得所以所求直線為其它方法？交點(diǎn)例2：直線過(guò)點(diǎn)A(-3,5,-9)且和兩直線相交，求此

2.圓錐面一直線L繞一相交的定直線在空間轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)始終與定直線保持定角則這直線形成動(dòng)直線與定直線的交點(diǎn)，定角

α

稱為求圓錐面的方程。的曲面，稱為圓錐面。稱為頂點(diǎn)，半頂角.2.圓錐面一直線L繞一相交的定直線在空間轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)在yoz坐標(biāo)面上，L的方程為：即現(xiàn)繞

z軸旋轉(zhuǎn)，則所得旋轉(zhuǎn)面（即圓錐面）即其中方程為：在yoz坐標(biāo)面上，L的方程為：即現(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn)，則所得旋轉(zhuǎn)四、二次曲面

與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似，我們把三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面稱為二次曲面。四、二次曲面與平面解析幾何中規(guī)定的二次截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo橢球面截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面xzy0用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面

橢圓拋物面xzy0用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲用x=b截曲面xzy0

（馬鞍面）

雙曲拋物面

用x=b截曲面xzy0（馬鞍面）雙曲拋物面

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面z=a雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面z=a

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用y=0截曲面y=0雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用y=0截曲面y=0——旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面——單葉雙曲面——旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面——雙葉雙曲面負(fù)號(hào)單為單葉，負(fù)號(hào)雙為雙葉。由雙曲面旋轉(zhuǎn)而得——旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面——單葉雙曲面——旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面——雙葉雙橢圓錐面z=c表示兩直線橢圓錐面z=c表示兩直線內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞2.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三☆、空間曲面的參數(shù)表示四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第六節(jié)空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程四、空間曲線在坐一、空間曲線的一般方程空間曲線

C

可看成兩張空間曲面的交線：xyz0C(1)曲線上的點(diǎn)必須同時(shí)滿足兩個(gè)方程,(1)稱為空間曲線

C

的一般方程。即滿足方程組

(1),一、空間曲線的一般方程空間曲線C可看成兩張空間曲面的交線1yxzo1yxzo1yxzoL1yxzoLzxyozxyoaxyozaxyozaxyzo維望尼曲線Laxyzo維望尼曲線L二、空間曲線的參數(shù)方程

設(shè)空間曲線

C

上任一點(diǎn)為

M(x,y,z),如果其坐標(biāo)

x,y,z可表示為參數(shù)

t

的函數(shù)：且隨著

t

在某一范圍內(nèi)變化，點(diǎn)

M

描出了曲線

C

上的全部點(diǎn)。(2)則稱

(2)為空間曲線的參數(shù)方程。二、空間曲線的參數(shù)方程設(shè)空間曲線C上任一點(diǎn)為M

空間曲線——圓柱螺線P同時(shí)又沿平行于z軸的正方向等線速度v上升。其軌跡就是圓柱螺線。

圓柱面yz0xa

x=

y=z=設(shè)時(shí)刻t動(dòng)點(diǎn)在M(x,y,z)θM螺線從點(diǎn)

P

Q叫螺距NQ點(diǎn)P在圓柱面上以等角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)；vt

請(qǐng)同學(xué)們推導(dǎo)圓錐螺線的參數(shù)方程。其中：圓錐面的方程為動(dòng)點(diǎn)在面上任按上述方式運(yùn)動(dòng)。當(dāng)

從02，空間曲線——圓柱螺線P同時(shí)又沿平行于z軸的正方向等線速度v例將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:

根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),得所求為(1)例將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)例將下列曲線化為參數(shù)方程表示:(2)故所求為將第二方程變形為例將下列曲線化為參數(shù)方程表示:(2)故所求為將第二方程例2.

求空間曲線:

繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:點(diǎn)M1繞z軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)過(guò)角度后到點(diǎn)則這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程.例2.求空間曲線:繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程例如,直線繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面消去

t

和,

得旋轉(zhuǎn)曲面方程為方程為例如,直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面消去t和,三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線

求C在

xoy

平面上的投影曲線方程。(1)作投影：過(guò)

C

上每一點(diǎn)作

xoy

平面的垂線，即相當(dāng)于作了一個(gè)母線

//z

軸，準(zhǔn)線為曲線C的柱面

π

——稱為曲線C關(guān)于

xoy

平面的投影柱面。三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線求C在xoy平面投影柱面

π

與

xoy

平面的交線即為曲線

C在xoy平面上的投影曲線。(2)求投影柱面方程：∵投影柱面

//z

軸，方程中應(yīng)無(wú)變量

z。∴只要在曲線

C

的方程組中消去變量

z,方程變?yōu)?/p>

H(x,y)=0

——即為投影柱面方程則投影曲線方程為：H(x,y)=0z=0投影柱面π與xoy平面的交線即為曲線C在xoy平面求曲線

C

在

yoz

平面上的投影曲線：只要在曲線

C

的方程組中消去變量

x,

R(y,z)=0

則投影曲線方程為：得投影柱面方程：求曲線

C

在

xoz

平面上的投影曲線：只要在曲線

C

的方程組中消去變量

y,得投影柱面方程：

T(x,z)=0

則投影曲線方程為：同理，

R(y,z)=0

x=0

T(x,z