第二章材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型總結(jié)課件

第二章

材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型第二章材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型總結(jié)課件1

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科學(xué)連接其他非數(shù)學(xué)學(xué)科的中介和科學(xué)研究的有力工具。數(shù)學(xué)建模是一種具有創(chuàng)新性的科學(xué)方法，它將現(xiàn)實(shí)問題簡化，抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解，進(jìn)而對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行定量分析和研究，最終達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。本章將介紹數(shù)學(xué)模型的基本概念，建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟、原則和方法。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科學(xué)連接其他非數(shù)學(xué)學(xué)科的中介和2第一節(jié)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)一.基本概念如在物理學(xué)中，力學(xué)的牛頓三定律，電子學(xué)中的基爾霍夫定律，馬爾薩斯的人口模型。通常把客觀存在的事物及其運(yùn)動(dòng)形態(tài)統(tǒng)稱為實(shí)體，模型則是對實(shí)體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或抽象。

數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)語言對某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系建立起來的符號系統(tǒng)。

第一節(jié)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)一.基本概念3

數(shù)學(xué)模型是有目的的對客觀所做的一種抽象模擬，它是數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號、程序、圖表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，是對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，簡化而又本質(zhì)的描述。數(shù)學(xué)模型是有目的的對客觀所做的一種抽象模4

二．?dāng)?shù)學(xué)模型的分類1）按照對實(shí)體的認(rèn)識(shí)過程來分，數(shù)學(xué)模型可以分為描述性數(shù)學(xué)模型和解釋性數(shù)學(xué)模型。

描述性模型是從特殊到一般，從分析具體客觀事物及其狀態(tài)開始，最終得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型。解釋性數(shù)學(xué)模型是由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助數(shù)學(xué)殼體，對公理系統(tǒng)給出正確解釋。二．?dāng)?shù)學(xué)模型的分類5

2）按照建立模型的數(shù)學(xué)方法分，可以分為初等模型，圖論模型，規(guī)劃論模型，微分方程模型，最優(yōu)控制模型，隨機(jī)模型，模擬模型。

隨機(jī)模型是根據(jù)概率論的方法討論描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。例如描述高分子材料鏈?zhǔn)交瘜W(xué)反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。模擬模型是用其他現(xiàn)象或過程來描述所研究的現(xiàn)象或過程，用模型的性質(zhì)來代表原來的性質(zhì)。例如采用非牛頓流體力學(xué)和流變學(xué)來描述高聚物加工過程、建立液晶高分子材料本構(gòu)方程。2）按照建立模型的數(shù)學(xué)方法分，可以分為6

3）按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分為人口模型、交通模型等。4）按照模型的特征分，可分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型、確定性模型和隨機(jī)模型、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。

3）按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分為人口模型、交通模型等。7

如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是連續(xù)變量，則稱其為連續(xù)系統(tǒng)，它們的數(shù)學(xué)模型為連續(xù)性模型。如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是離散變量，則稱該系統(tǒng)為離散系統(tǒng)，其模型為離散模型，當(dāng)采用有限單元法和有限差分法研究材料某些性質(zhì)時(shí)（如材料的穩(wěn)、瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題），連續(xù)性模型被轉(zhuǎn)化為離散模型。如果系統(tǒng)輸入和輸出成線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為線性模型；如果系統(tǒng)輸入與輸出呈非線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型稱為非線性模型。

如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是連續(xù)變量，則稱其為連續(xù)8

5）按照對模型結(jié)構(gòu)了解的程度可以分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。5）按照對模型結(jié)構(gòu)了解的程度可以分為9

三、數(shù)學(xué)模型的作用

數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型進(jìn)行抽象和簡化，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題。材料科學(xué)從最早的試錯(cuò)法的手工操作到作為當(dāng)代重要科學(xué)支柱，數(shù)學(xué)的應(yīng)用起著非常重要的作用，利用數(shù)學(xué)這一有效工具，可以深刻認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)科發(fā)展。在材料研究和應(yīng)用中，要對有關(guān)問題進(jìn)行計(jì)算，就必須先建立該問題的數(shù)學(xué)模型。（材料設(shè)計(jì)，生產(chǎn)過程（極端條件，納米槍））三、數(shù)學(xué)模型的作用10第二節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則數(shù)學(xué)模型的建立，簡稱數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是構(gòu)造刻畫客觀事物原型的數(shù)學(xué)模型并用以分析、研究和解決實(shí)際問題的一種科學(xué)方法。

運(yùn)用這種科學(xué)方法，必須從實(shí)際問題出發(fā)，緊緊圍繞建模的目的，抽象，簡化，逐步完善，直到構(gòu)造出一個(gè)能夠用于分析、研究和解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。是一種定量解決實(shí)際問題的科學(xué)方法，還是一種從無到有的創(chuàng)新活動(dòng)過程。第二節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則數(shù)學(xué)模型的11一般采用的建?；静襟E如下：1.建模準(zhǔn)備

建模準(zhǔn)備是確立建模課題的過程，就是要了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的。掌握與課題有關(guān)的第一手資料，匯集與課題有關(guān)的信息和數(shù)據(jù)，弄清問題的實(shí)際背景和建模的目的，進(jìn)行建?；I劃。一般采用的建?；静襟E如下：1.建模準(zhǔn)備12

2.建模假設(shè)

建模假設(shè)就是根據(jù)建模的目的對原型進(jìn)行適當(dāng)?shù)某橄?、簡化，把那些反映問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來，簡化掉那些非本質(zhì)的因素，使之?dāng)[脫原來的具體復(fù)雜形態(tài)，形成對建模有用的信息資源和前提條件，這是建立模型最關(guān)鍵的一步。

2.建模假設(shè)13

對模型的抽象、簡化不是無條件的，必須按照假設(shè)的合理性原理進(jìn)行，假設(shè)合理性原則有以下幾點(diǎn)：(1)目的性原則從原型中抽象出與建模目的有關(guān)的因素，簡化那些與建模無關(guān)的或關(guān)系不大的因素。(2)簡明性原則所給出的假設(shè)條件要簡單、準(zhǔn)確，有利于構(gòu)造模型。(3)真實(shí)性原則假設(shè)要科學(xué)，簡化帶來的誤差應(yīng)滿足實(shí)際問題所能允許的誤差范圍。(4)全面性原則對事物原型本身作出假設(shè)的同時(shí)，還要給出原型所處的環(huán)境條件。對模型的抽象、簡化不是無條件的，必須按照假設(shè)的合理性14

建模假設(shè)實(shí)例：聚合物熔體的動(dòng)態(tài)流變學(xué)分析聚合物熔體在毛細(xì)管中完全發(fā)展區(qū)的流場可以簡化為如圖的形式。rRLdz熔體流速方向?yàn)閦方向，速度梯度方向?yàn)閞方向，方向?yàn)閳A周方向。對聚合物熔體在毛細(xì)管內(nèi)的動(dòng)態(tài)流動(dòng)作理論分析時(shí)，進(jìn)行如下假設(shè)：動(dòng)態(tài)擠出時(shí)，料筒內(nèi)經(jīng)毛細(xì)管擠出的物料已完全塑化熔融。建模假設(shè)實(shí)例：聚合物熔體的動(dòng)態(tài)流變學(xué)分析聚合物熔體在毛細(xì)管15

(2)熔體為不可壓縮的流體，即其熔體密度保持不變；(3)熔體在毛細(xì)管中的流動(dòng)為充分發(fā)展流動(dòng)；(4)毛細(xì)管內(nèi)的溫度沿全長不變，即聚合物熔體為等溫流動(dòng)；(5)熔體流動(dòng)為軸向?qū)恿?，z向?yàn)榱鲃?dòng)方向，z向的速度uz不為零，r與方向的速度為零，即ur=u=0；(6)熔體在流道壁面上r=R處沒有滑動(dòng)，即當(dāng)r=R時(shí)，uz=0；(7)重力可以忽略；根據(jù)以上假設(shè)，可知聚合物熔體擠出過程中的流場具有以下分布形式：Uz=uz(r,z)(2)熔體為不可壓縮的流體，即其熔體密度保持不變；16

3.構(gòu)造模型

在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的內(nèi)容，首先區(qū)分哪些是常量、哪些是變量，哪些是已知的量，哪些是未知的量，然后查明各種量所處的地位、作用和它們之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對其進(jìn)行表征，構(gòu)造出刻畫實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。

3.構(gòu)造模型17

4．模型求解

構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解模型的數(shù)學(xué)方法和算法，然后編寫計(jì)算機(jī)程序或運(yùn)用與算法相適應(yīng)的軟件包，并借助計(jì)算機(jī)完成對模型的求解。4．模型求解18

5.模型分析

根據(jù)建模目的要求，對模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析、誤差分析。通過分析，如果不符合要求，就修改或增減建模假設(shè)條件，重新建模。如果通過分析符合要求，還可以對模型進(jìn)行評價(jià)、預(yù)測、優(yōu)化等方面的分析和探討。5.模型分析19

6.模型檢驗(yàn)

模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實(shí)際中去對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合客觀實(shí)際。7.模型應(yīng)用

模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的目的。一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型，必須根據(jù)建模的目的，將其用于分析、研究和解決實(shí)際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中特殊作用。

以上介紹的數(shù)學(xué)建?；静襟E應(yīng)該根據(jù)具體問題靈活應(yīng)用，或交叉進(jìn)行，或平行進(jìn)行，不必拘泥于一種模式，最大限度地發(fā)揮主觀能動(dòng)性和聰明才智。6.模型檢驗(yàn)20

實(shí)例：激光沖擊殘余應(yīng)力的估算

目前，人們對殘余應(yīng)力的測試一般采用的是一種破壞性的測試方法，而這種方法極大的防礙了激光沖擊強(qiáng)化技術(shù)在工程中的應(yīng)用，造成大量人力物力的浪費(fèi)，增加了生產(chǎn)的成本，限制了人們對被加工性能的有效控制。激光沖擊的基本力學(xué)模型：彈性形變塑性形變Shockwave實(shí)例：激光沖擊殘余應(yīng)力的估算彈性形變塑性形變Shockw21

１.假設(shè)：1)假設(shè)在微秒時(shí)間內(nèi)結(jié)構(gòu)在厚度方向上所有質(zhì)量都受到波及，而結(jié)構(gòu)塑性動(dòng)力響應(yīng)通常需要經(jīng)歷毫秒以至更長時(shí)間才會(huì)達(dá)到結(jié)構(gòu)的最大形變；２）假設(shè)被沖擊的工件材料為理想的剛塑性材料；３）激光沖擊壓力為GPa;１.假設(shè)：22

激光沖擊應(yīng)力為一維平面波，在激光沖擊區(qū)取一個(gè)微體積元，僅在x方向考慮被壓縮，即沖擊波沿X方向傳播，考慮應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，為保持x的單軸應(yīng)變條件而假設(shè)y=z,形變側(cè)面Y、Z方向尺寸不變，X方向有彈塑性變形，激光沖擊后彈性變形恢復(fù)不完全，導(dǎo)致了殘余應(yīng)力的產(chǎn)生。xyxyxX0激光沖擊應(yīng)力為一維平面波，在激光沖擊區(qū)取一個(gè)微體積x23

2.根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則有：x-y|b在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：x=+2xy=+2yz=+2z式中：＝x＋y＋z，因?yàn)槭菃屋S變形，側(cè)面受到介質(zhì)約束，

x＝（V0-V)/V,y=z=0,V是體積，＝／2(+u)，和u是材料的拉梅常數(shù)，是泊松比。（１）2.根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則有：x=+2xy=24

在塑性變形狀態(tài)，應(yīng)變增量是彈性和塑性增量之和。因而在X方向有：dx=dxe+dxp因?yàn)椴淮嬖谒苄耘蛎?，所以有dxp＋dyp+dzp=0微元體中的殘余應(yīng)力是彈性和塑性應(yīng)變引起的，dx=d+2(dxe+dxp)dy=d+2（dye+dyp）dz=d+2(dze+dzp）（２）在塑性變形狀態(tài)，應(yīng)變增量是彈性和塑性增量之和。因?yàn)椴淮?5

激光沖擊應(yīng)力作用后，在沖擊強(qiáng)化區(qū)的r，z方向上由彈性應(yīng)力引起的彈性變形難以完全恢復(fù)，所以，在激光沖擊區(qū)形成殘余應(yīng)力，于是可得簡單算式：y=1-x實(shí)際上x是隨沖擊應(yīng)力波的衰減而變化，故殘余應(yīng)力y也是隨x的變化而變化，設(shè)：xe-x有x=maxe-bx(3)(4)其中b為參量；激光沖擊應(yīng)力作用后，在沖擊強(qiáng)化區(qū)的r，z1-x實(shí)26

在玻璃（K9)的約束層的條件下，激光沖擊產(chǎn)生的峰壓可以估算為：Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3如果有max=pmax代入公式（４）x=pmaxe-bxy=pmaxe-bx1-(5)在玻璃（K9)的約束層的條件下，激光沖擊Pmax=0.2827

顯然該式(5)所表達(dá)的是Pmax未卸載時(shí)殘余應(yīng)力的情形。令x=0，取Pmax＝2.8GPa，＝0.29，則b不論取何值，y=-1.12GPa，這顯然與實(shí)際測量值y=-400MPa相去甚遠(yuǎn)，因此必須對式（５）加以修正。

首先，由彈性力學(xué)原理可知：＝／E因此，材料的彈塑性形變與彈性模量關(guān)系較大，材料受到相同外力作用時(shí)，彈性模量大的材料，彈塑性形變??；因此有：yE（6)顯然該式(5)所表達(dá)的是Pmax未卸載時(shí)殘余28

其次，由沖擊動(dòng)力學(xué)原理可知，，當(dāng)材料的沖擊變形深度相同時(shí)，材料本身的彈性模量大，屈服極限高，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的影響就深。如果材料本身彈性模量小，局部極限低，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力深度就淺。因此有：

ye-bx/E(7)結(jié)合（４）（５）（６）（７）xEPmaxe-bx/E

yEPmaxe-bx/E1-(8)其次，由沖擊動(dòng)力學(xué)原理可知，，當(dāng)材料的沖擊變形深度相同時(shí)29

然而此時(shí)，還需使公式（８）滿足邊界條件X=0時(shí)，解決y與實(shí)際殘余應(yīng)力值相差太遠(yuǎn)的問題，因此還必須在公式（８）中加入一個(gè)系數(shù)K,即：x=EkPmaxe-bx/Ey=EkPmaxe-bx/E1-(9)公式(9)較好地反映了材料受到激光沖擊作用時(shí)的綜合力學(xué)性能與殘余應(yīng)力之間的關(guān)系，只需代入相應(yīng)的參數(shù)并利用相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對式(9)進(jìn)行擬合，從而求得K和b，就可以擬合出激光沖擊強(qiáng)化工作產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的一般計(jì)算公式。然而此時(shí)，還需使公式（８）滿足邊界條件X=0時(shí)，解決y與30

利用45鋼試樣的一組殘余應(yīng)力數(shù)據(jù)對式（9)進(jìn)行擬合，從而求得K=2.3x10-6(MPa)-1;b=2.16x108(MPa/m)，將所得的k,b數(shù)據(jù)代入公式（9）得到激光沖擊強(qiáng)化殘余應(yīng)力的一般估算經(jīng)驗(yàn)公式：

x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x10x/Ey=2.3x10-6Pmaxe-2.16x10x/E8E-1式中：y-殘余應(yīng)力E-材料彈性模量x-沿激光沖擊波方向的深度

Pmax-激光沖擊波的峰值壓力利用45鋼試樣的一組殘余應(yīng)力數(shù)據(jù)對式（9)進(jìn)行擬合，從而31第三節(jié)材料科學(xué)的數(shù)學(xué)建模方法在材料科學(xué)中常用的數(shù)學(xué)建模方法有理論分析法、模擬方法、類比分析法、數(shù)據(jù)分析法。第三節(jié)材料科學(xué)的數(shù)學(xué)建模方法在材料科學(xué)中常用32

一、理論分析法

理論分析法指應(yīng)用自然科學(xué)中的定理和定律，對被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在工藝比較成熟，對機(jī)理比較了解時(shí)，可采用理論分析法。根據(jù)問題的性質(zhì)可直接建立模型。

例：在滲碳工藝過程中通過平衡理論找出控制參量與爐氣碳勢之間的理論關(guān)系式。

一、理論分析法33

二、模擬方法

模型的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量及其求解卻相當(dāng)麻煩。如果有另一種系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同，而且構(gòu)造出的模型也類似，就可以把后一種模型看成是原來模型的模擬，而對后一個(gè)模型去分析或?qū)嶒?yàn)并求得其結(jié)果。分為：實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠砟M理論模型和簡單理論模型來模擬分析較復(fù)雜理論模型。

二、模擬方法34

中國載人潛水器蛟龍?zhí)?000m航天模擬裝置航天服在水槽中模擬失重中國載人潛水器蛟龍?zhí)柡教炷M裝置航天服在水槽中模擬失重35

例如，研究鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布。步驟：1）采用環(huán)氧樹脂（EP）制備出同樣結(jié)構(gòu)的模型，并加工出裂紋。2)將環(huán)氧樹脂放入恒溫箱內(nèi)，對環(huán)氧樹脂模型在冷凍溫度下加載，并在室溫和不變的條件下緩慢冷卻到室溫卸載。3)將已凍結(jié)應(yīng)力的環(huán)氧樹脂模型在平面偏振光場或圓偏振光場下觀察，環(huán)氧樹脂模型中出現(xiàn)一定分布的條紋，這些條紋反映了模型在受載時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變情況。4)用照相法將條紋記錄下來并確定條紋級數(shù)，再根據(jù)條紋級數(shù)計(jì)算應(yīng)力。5)根據(jù)相似原理，材料等因素確定一定的比例系數(shù)，將計(jì)算出的應(yīng)力換算成鋼鐵材料中的應(yīng)力，從而獲得裂紋尖端的應(yīng)力，應(yīng)變分布。例如，研究鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)36

三、類比分析法

若兩個(gè)不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來描述，則此兩個(gè)系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法根據(jù)兩個(gè)（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其他屬性或關(guān)系也可能相似的一種方法。

三、類比分析法37

例在聚合物結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動(dòng)力學(xué)過程。例在聚合物結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后38

采用類比分析法。聚合物結(jié)晶過程包括成核和晶體生長兩個(gè)階段，這與下雨時(shí)雨滴落在水面上生成一個(gè)個(gè)圓形水波并向外擴(kuò)展的情形相類似，因此可通過水波擴(kuò)散模型來推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時(shí)的結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。

在水面上任選一參考點(diǎn)，根據(jù)概率分析，在時(shí)間從

0到t時(shí)刻的范圍內(nèi)通過該點(diǎn)的水波數(shù)為m的概率P(m)符合Poisson分布（假設(shè)落下的雨滴數(shù)量大于m,t時(shí)刻通過任意點(diǎn)P的水波數(shù)的平均值為E)。采用類比分析法。聚合物結(jié)晶過程包括成核和39

（1）

顯然有（２）

把水波擴(kuò)散模型作為結(jié)晶前期的模型來討論薄層熔體形成“二維球晶”的情況。雨滴接觸水面相當(dāng)于形成晶核，水波相當(dāng)于二維球晶的生長表面，當(dāng)m=0時(shí)，意味著所有的球晶面都不經(jīng)過p點(diǎn)，即p點(diǎn)仍處于非晶態(tài)。根據(jù)式（１）可知其概率為：（1）顯然有（２）把水波擴(kuò)散模型作為結(jié)晶前40

設(shè)此時(shí)球晶部分占有的體積分?jǐn)?shù)為，則有

（３）

下面求平均值E，它應(yīng)為時(shí)間的函數(shù)。

(a)先考慮平面內(nèi)一次性同時(shí)成核的情況，它對應(yīng)所有雨滴同時(shí)落入水面，到t時(shí)刻，水波前進(jìn)的距離為，那么，以為半徑的圓面內(nèi)的雨滴所產(chǎn)生的水波都將通過p點(diǎn)。（見圖）。rrr設(shè)此時(shí)球晶部分占有的體積分?jǐn)?shù)為，則有41drr

rrdr

把這個(gè)面積稱為有效面積，通過p點(diǎn)的水波數(shù)等于這個(gè)有效面積內(nèi)落入的雨滴數(shù)。設(shè)單位面積內(nèi)的平均雨滴數(shù)為N,當(dāng)時(shí)間由t增加到t+dt時(shí)，有效面積的增量，即圖中陰影部分的面積，為，平均值E的增量為:pdrrrrdr把這個(gè)面積稱為有效面積，通過p點(diǎn)的水42

若水波前進(jìn)速度即球晶徑向生長速度為，則，積分得平均值同t的關(guān)系為：代入式（1）得（4）

式（4）表示晶核密度為N，一次性成核時(shí)體系中的非晶部分與時(shí)間的關(guān)系。若水波前進(jìn)速度即球晶徑向生長速度為，則43

(b)如果平面內(nèi)晶核是不斷形成的，相當(dāng)于不斷下雨的情況，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)單位面積上平均產(chǎn)生的晶核數(shù)即晶核生長速度為I,到t時(shí)刻產(chǎn)生的晶核數(shù)（相當(dāng)于生成的水波）則為It。時(shí)間增加dt，有效面積的增量仍為，其中，只有滿足的條件下產(chǎn)生的水波才是有效的，因此有：(b)如果平面內(nèi)晶核是不斷形成的，相當(dāng)44

積分得代入式（１）中得（5）

此為晶核不斷形成時(shí)，聚合物的非結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。積分得代入式（１）中得（5）此為晶45

(c)同樣的方法可以用來處理三維球晶，這時(shí)把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量來代替，對于同時(shí)成核體系（N為單位體積的晶核數(shù)），則對于不斷成核體系，定義I為單位時(shí)間，單位體積中產(chǎn)生的晶核數(shù)，則代入１－（c)=e-E(c)同樣的方法可以用來處理三維球晶，這時(shí)把圓環(huán)確46

將上述情況歸納起來，可用一個(gè)通式表示：

式中，k是同核密度及晶體一維生長速度有關(guān)的常數(shù)，稱為結(jié)晶速度常數(shù)。該式稱為Avrami方程。下面對所建的模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

將上述情況歸納起來，可用一個(gè)通式表示：式中，k47

尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的Avrami處理結(jié)果lgt尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的Avrami處理結(jié)48

四、數(shù)據(jù)分析法

當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，無法從理論分析中得到系統(tǒng)的規(guī)律，也不便于類比分析，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律、描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時(shí)，就可以通過描述系統(tǒng)功能的數(shù)據(jù)分析來連接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型?；貧w方程是處理這類問題的有利工具。四、數(shù)據(jù)分析法49求一條通過或系統(tǒng)回歸方程的一般方法如下：

設(shè)有一未知系統(tǒng)，已測得該系統(tǒng)有n個(gè)輸入-輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)為：或現(xiàn)尋求其函數(shù)關(guān)系求一條通過或系統(tǒng)回歸方程的一般方法如下：設(shè)有一未知系50

無論x，y為什么函數(shù)關(guān)系，假設(shè)用一多項(xiàng)式作為對輸出（觀測值）y

的估計(jì)。若能確定其階數(shù)及系數(shù)

，則所得到的就是回歸方程-數(shù)學(xué)模型。各項(xiàng)系數(shù)即回歸系數(shù)。當(dāng)輸入為，輸出為

時(shí)，多項(xiàng)式擬合曲線相應(yīng)于的估計(jì)值為：

無論x，y為什么函數(shù)關(guān)系，假設(shè)用一多項(xiàng)式作為對輸出（51

現(xiàn)在要使多項(xiàng)式估計(jì)值與觀測值的差的平方和為最小，這就是最小二乘法，令得到下列正規(guī)方程組現(xiàn)在要使多項(xiàng)式估計(jì)值與觀測值的差的平方和為52

（1-65）

一般數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)大于多項(xiàng)式階數(shù)，這樣，從式（1-65）可求出回歸系數(shù)，從而建立所回歸方程數(shù)學(xué)模型。由已知觀測值尋求x與y之間函數(shù)關(guān)系的方法在工業(yè)控制應(yīng)用中稱為“系統(tǒng)辯識(shí)”（1-65）一般數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)大于多項(xiàng)式階數(shù)53

例經(jīng)實(shí)驗(yàn)獲得低碳鋼的屈服點(diǎn)與晶粒直徑d對應(yīng)關(guān)系見表1-3中，用最小二乘法建立起與之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。表1-3低碳鋼屈服點(diǎn)與晶粒直徑400501052d86121180242345例經(jīng)實(shí)驗(yàn)獲得低碳鋼的屈服點(diǎn)與晶粒直徑d對應(yīng)關(guān)54

以作為x，作為，取為一直線。設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)為，一般來說，直線并不通過其中任一實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，因?yàn)槊奎c(diǎn)均有偶然誤差，有所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)誤差的平方和為以作為x，作為，取所55

按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最小的直線是最佳直線。求最小值的條件是:及得出（1）按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最及得出（1）56

最小二乘法過程中的各計(jì)算值12345861211802423459740.050.140.3160.4470.7071.6673961464132400585641190252320260.00250.020.10.20.50.82254.316.9456.88108.74243.915430.20912345861211802423459740.050.157

將計(jì)算結(jié)果代入方程（1），聯(lián)立求解得得到以下公式這是典型的霍爾-配奇公式。將計(jì)算結(jié)果代入方程（1），聯(lián)立求解得得到以下公式這是典型58第四節(jié)聚合物加工模型化聚合物加工過程模型主要是傳遞現(xiàn)象模型研究及計(jì)算機(jī)應(yīng)用,一些主要加工單元操作擠出、注射、壓延、吹塑等，均已建立了不同目的的多種數(shù)學(xué)模型。1.擠出對于單螺桿、雙螺桿以及口模已作過詳細(xì)的研究。單螺桿擠出機(jī)的模擬通常包括固體輸送段、熔化段及計(jì)量段。流體模型為無彈性流體。計(jì)量段早期模型基于等溫、充分發(fā)展流，包括壓力流和拖曳流。非等溫模擬通過引入通道寬度方向的熱傳導(dǎo)以及沿流動(dòng)第四節(jié)聚合物加工模型化聚合物加工過程模型主要是傳59

方向的熱對流而逐漸發(fā)展。數(shù)值技術(shù)方面，初期解非等溫模型就已應(yīng)用有限差分法，而有限元法的應(yīng)用則是近年來發(fā)展起來的。三維有限元模擬仍屬于發(fā)展的初期，流動(dòng)分析網(wǎng)絡(luò)法已用于銷釘機(jī)筒螺桿擠出機(jī)?？谀Ｊ菙D出系統(tǒng)的重要組成部分，口模流動(dòng)分析的目的在于計(jì)算壓力、應(yīng)力、速度及溫度場以及擠出產(chǎn)物的尺寸或者按所要求的擠出物形狀，確定口模幾何結(jié)構(gòu)。多數(shù)模型中使用潤滑近似。擠出口模的放大、擠出脹大現(xiàn)象也受到重視。方向的熱對流而逐漸發(fā)展。60

擠出脹大效應(yīng)（Barus效應(yīng)）當(dāng)擠出物熔體從一口模中擠出時(shí)，擠出物的截面尺寸大于口模尺寸，稱為擠出物脹大、出口膨脹或離模膨脹。

原因：

一般來說，擠出物脹大主要是由于拉伸了的大分子鏈的彈性記憶效應(yīng)引起的。應(yīng)用：在模具設(shè)計(jì)中，擠出物脹大是必須預(yù)先考慮的問題。當(dāng)擠出溫度升高或擠出速度下降，或加入填料二導(dǎo)致聚合物熔體彈性下降時(shí)，擠出脹大現(xiàn)象明顯減輕。

擠出脹大效應(yīng)（Barus效應(yīng)）當(dāng)擠出物熔體從一口模中擠61

2.注射

注射是最廣泛的聚合物加工操作，模型研究也較早，50年代提出的一維模型，考察了冪律流體充模時(shí)間與壓降的關(guān)系。60年代建立了矩形薄腔的非等溫模型并研究了取向問題，考察了注塑制品中取向的發(fā)展，模具設(shè)計(jì)、過程條件對取向分布及取向?qū)χ破沸阅艿挠绊?。這期間模型化研究突出的進(jìn)展表現(xiàn)在“噴泉效應(yīng)”的提出。70年代有限差解、計(jì)算機(jī)模擬迅速興起，開發(fā)了粘彈性流體、中心澆口圓盤、非等溫流等較復(fù)雜情況下的注射模型。80年代以來熱塑性、熱固性聚合物，彈性體以及反應(yīng)系統(tǒng)注射理論模型有很大進(jìn)展。2.注射62注射成型設(shè)備注射機(jī)注射成型設(shè)備注射機(jī)63注射成型設(shè)備注射裝置合模裝置電氣控制系統(tǒng)電氣控制系統(tǒng)合模裝置注射裝置注射成型設(shè)備注射裝置電氣控制系統(tǒng)合模裝置注射裝置64

3.壓延

壓延是熱塑性熔體從受熱的反向旋轉(zhuǎn)輥筒間通過，制造薄膜及薄板的連續(xù)過程。最早的模型是在潤滑近似基礎(chǔ)上提出的，這些模型分析相等直徑、相同轉(zhuǎn)速的輥筒間牛頓流體或冪律流體的對稱壓延。隨后推廣到輥筒直徑不同、轉(zhuǎn)速不等的非對稱壓延。

有限元法最適合解壓延問題，應(yīng)用這一技術(shù)模擬壓延過程，所得結(jié)果可預(yù)測自由面的形狀與位置、旋渦流型、溫度、壓力分布、輥筒分離力，力矩及功耗等。

3.壓延65第二章

材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型第二章材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型總結(jié)課件66

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科學(xué)連接其他非數(shù)學(xué)學(xué)科的中介和科學(xué)研究的有力工具。數(shù)學(xué)建模是一種具有創(chuàng)新性的科學(xué)方法，它將現(xiàn)實(shí)問題簡化，抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解，進(jìn)而對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行定量分析和研究，最終達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。本章將介紹數(shù)學(xué)模型的基本概念，建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟、原則和方法。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科學(xué)連接其他非數(shù)學(xué)學(xué)科的中介和67第一節(jié)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)一.基本概念如在物理學(xué)中，力學(xué)的牛頓三定律，電子學(xué)中的基爾霍夫定律，馬爾薩斯的人口模型。通常把客觀存在的事物及其運(yùn)動(dòng)形態(tài)統(tǒng)稱為實(shí)體，模型則是對實(shí)體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或抽象。

數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)語言對某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系建立起來的符號系統(tǒng)。

第一節(jié)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)一.基本概念68

數(shù)學(xué)模型是有目的的對客觀所做的一種抽象模擬，它是數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號、程序、圖表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，是對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，簡化而又本質(zhì)的描述。數(shù)學(xué)模型是有目的的對客觀所做的一種抽象模69

二．?dāng)?shù)學(xué)模型的分類1）按照對實(shí)體的認(rèn)識(shí)過程來分，數(shù)學(xué)模型可以分為描述性數(shù)學(xué)模型和解釋性數(shù)學(xué)模型。

描述性模型是從特殊到一般，從分析具體客觀事物及其狀態(tài)開始，最終得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型。解釋性數(shù)學(xué)模型是由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助數(shù)學(xué)殼體，對公理系統(tǒng)給出正確解釋。二．?dāng)?shù)學(xué)模型的分類70

2）按照建立模型的數(shù)學(xué)方法分，可以分為初等模型，圖論模型，規(guī)劃論模型，微分方程模型，最優(yōu)控制模型，隨機(jī)模型，模擬模型。

隨機(jī)模型是根據(jù)概率論的方法討論描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。例如描述高分子材料鏈?zhǔn)交瘜W(xué)反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。模擬模型是用其他現(xiàn)象或過程來描述所研究的現(xiàn)象或過程，用模型的性質(zhì)來代表原來的性質(zhì)。例如采用非牛頓流體力學(xué)和流變學(xué)來描述高聚物加工過程、建立液晶高分子材料本構(gòu)方程。2）按照建立模型的數(shù)學(xué)方法分，可以分為71

3）按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分為人口模型、交通模型等。4）按照模型的特征分，可分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型、確定性模型和隨機(jī)模型、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。

3）按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分為人口模型、交通模型等。72

如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是連續(xù)變量，則稱其為連續(xù)系統(tǒng)，它們的數(shù)學(xué)模型為連續(xù)性模型。如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是離散變量，則稱該系統(tǒng)為離散系統(tǒng)，其模型為離散模型，當(dāng)采用有限單元法和有限差分法研究材料某些性質(zhì)時(shí)（如材料的穩(wěn)、瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題），連續(xù)性模型被轉(zhuǎn)化為離散模型。如果系統(tǒng)輸入和輸出成線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為線性模型；如果系統(tǒng)輸入與輸出呈非線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型稱為非線性模型。

如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是連續(xù)變量，則稱其為連續(xù)73

5）按照對模型結(jié)構(gòu)了解的程度可以分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。5）按照對模型結(jié)構(gòu)了解的程度可以分為74

三、數(shù)學(xué)模型的作用

數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型進(jìn)行抽象和簡化，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題。材料科學(xué)從最早的試錯(cuò)法的手工操作到作為當(dāng)代重要科學(xué)支柱，數(shù)學(xué)的應(yīng)用起著非常重要的作用，利用數(shù)學(xué)這一有效工具，可以深刻認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)科發(fā)展。在材料研究和應(yīng)用中，要對有關(guān)問題進(jìn)行計(jì)算，就必須先建立該問題的數(shù)學(xué)模型。（材料設(shè)計(jì)，生產(chǎn)過程（極端條件，納米槍））三、數(shù)學(xué)模型的作用75第二節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則數(shù)學(xué)模型的建立，簡稱數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是構(gòu)造刻畫客觀事物原型的數(shù)學(xué)模型并用以分析、研究和解決實(shí)際問題的一種科學(xué)方法。

運(yùn)用這種科學(xué)方法，必須從實(shí)際問題出發(fā)，緊緊圍繞建模的目的，抽象，簡化，逐步完善，直到構(gòu)造出一個(gè)能夠用于分析、研究和解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。是一種定量解決實(shí)際問題的科學(xué)方法，還是一種從無到有的創(chuàng)新活動(dòng)過程。第二節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則數(shù)學(xué)模型的76一般采用的建模基本步驟如下：1.建模準(zhǔn)備

建模準(zhǔn)備是確立建模課題的過程，就是要了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的。掌握與課題有關(guān)的第一手資料，匯集與課題有關(guān)的信息和數(shù)據(jù)，弄清問題的實(shí)際背景和建模的目的，進(jìn)行建?；I劃。一般采用的建模基本步驟如下：1.建模準(zhǔn)備77

2.建模假設(shè)

建模假設(shè)就是根據(jù)建模的目的對原型進(jìn)行適當(dāng)?shù)某橄?、簡化，把那些反映問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來，簡化掉那些非本質(zhì)的因素，使之?dāng)[脫原來的具體復(fù)雜形態(tài)，形成對建模有用的信息資源和前提條件，這是建立模型最關(guān)鍵的一步。

2.建模假設(shè)78

對模型的抽象、簡化不是無條件的，必須按照假設(shè)的合理性原理進(jìn)行，假設(shè)合理性原則有以下幾點(diǎn)：(1)目的性原則從原型中抽象出與建模目的有關(guān)的因素，簡化那些與建模無關(guān)的或關(guān)系不大的因素。(2)簡明性原則所給出的假設(shè)條件要簡單、準(zhǔn)確，有利于構(gòu)造模型。(3)真實(shí)性原則假設(shè)要科學(xué)，簡化帶來的誤差應(yīng)滿足實(shí)際問題所能允許的誤差范圍。(4)全面性原則對事物原型本身作出假設(shè)的同時(shí)，還要給出原型所處的環(huán)境條件。對模型的抽象、簡化不是無條件的，必須按照假設(shè)的合理性79

建模假設(shè)實(shí)例：聚合物熔體的動(dòng)態(tài)流變學(xué)分析聚合物熔體在毛細(xì)管中完全發(fā)展區(qū)的流場可以簡化為如圖的形式。rRLdz熔體流速方向?yàn)閦方向，速度梯度方向?yàn)閞方向，方向?yàn)閳A周方向。對聚合物熔體在毛細(xì)管內(nèi)的動(dòng)態(tài)流動(dòng)作理論分析時(shí)，進(jìn)行如下假設(shè)：動(dòng)態(tài)擠出時(shí)，料筒內(nèi)經(jīng)毛細(xì)管擠出的物料已完全塑化熔融。建模假設(shè)實(shí)例：聚合物熔體的動(dòng)態(tài)流變學(xué)分析聚合物熔體在毛細(xì)管80

(2)熔體為不可壓縮的流體，即其熔體密度保持不變；(3)熔體在毛細(xì)管中的流動(dòng)為充分發(fā)展流動(dòng)；(4)毛細(xì)管內(nèi)的溫度沿全長不變，即聚合物熔體為等溫流動(dòng)；(5)熔體流動(dòng)為軸向?qū)恿?，z向?yàn)榱鲃?dòng)方向，z向的速度uz不為零，r與方向的速度為零，即ur=u=0；(6)熔體在流道壁面上r=R處沒有滑動(dòng)，即當(dāng)r=R時(shí)，uz=0；(7)重力可以忽略；根據(jù)以上假設(shè)，可知聚合物熔體擠出過程中的流場具有以下分布形式：Uz=uz(r,z)(2)熔體為不可壓縮的流體，即其熔體密度保持不變；81

3.構(gòu)造模型

在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的內(nèi)容，首先區(qū)分哪些是常量、哪些是變量，哪些是已知的量，哪些是未知的量，然后查明各種量所處的地位、作用和它們之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對其進(jìn)行表征，構(gòu)造出刻畫實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。

3.構(gòu)造模型82

4．模型求解

構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解模型的數(shù)學(xué)方法和算法，然后編寫計(jì)算機(jī)程序或運(yùn)用與算法相適應(yīng)的軟件包，并借助計(jì)算機(jī)完成對模型的求解。4．模型求解83

5.模型分析

根據(jù)建模目的要求，對模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析、誤差分析。通過分析，如果不符合要求，就修改或增減建模假設(shè)條件，重新建模。如果通過分析符合要求，還可以對模型進(jìn)行評價(jià)、預(yù)測、優(yōu)化等方面的分析和探討。5.模型分析84

6.模型檢驗(yàn)

模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實(shí)際中去對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合客觀實(shí)際。7.模型應(yīng)用

模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的目的。一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型，必須根據(jù)建模的目的，將其用于分析、研究和解決實(shí)際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中特殊作用。

以上介紹的數(shù)學(xué)建?；静襟E應(yīng)該根據(jù)具體問題靈活應(yīng)用，或交叉進(jìn)行，或平行進(jìn)行，不必拘泥于一種模式，最大限度地發(fā)揮主觀能動(dòng)性和聰明才智。6.模型檢驗(yàn)85

實(shí)例：激光沖擊殘余應(yīng)力的估算

目前，人們對殘余應(yīng)力的測試一般采用的是一種破壞性的測試方法，而這種方法極大的防礙了激光沖擊強(qiáng)化技術(shù)在工程中的應(yīng)用，造成大量人力物力的浪費(fèi)，增加了生產(chǎn)的成本，限制了人們對被加工性能的有效控制。激光沖擊的基本力學(xué)模型：彈性形變塑性形變Shockwave實(shí)例：激光沖擊殘余應(yīng)力的估算彈性形變塑性形變Shockw86

１.假設(shè)：1)假設(shè)在微秒時(shí)間內(nèi)結(jié)構(gòu)在厚度方向上所有質(zhì)量都受到波及，而結(jié)構(gòu)塑性動(dòng)力響應(yīng)通常需要經(jīng)歷毫秒以至更長時(shí)間才會(huì)達(dá)到結(jié)構(gòu)的最大形變；２）假設(shè)被沖擊的工件材料為理想的剛塑性材料；３）激光沖擊壓力為GPa;１.假設(shè)：87

激光沖擊應(yīng)力為一維平面波，在激光沖擊區(qū)取一個(gè)微體積元，僅在x方向考慮被壓縮，即沖擊波沿X方向傳播，考慮應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，為保持x的單軸應(yīng)變條件而假設(shè)y=z,形變側(cè)面Y、Z方向尺寸不變，X方向有彈塑性變形，激光沖擊后彈性變形恢復(fù)不完全，導(dǎo)致了殘余應(yīng)力的產(chǎn)生。xyxyxX0激光沖擊應(yīng)力為一維平面波，在激光沖擊區(qū)取一個(gè)微體積x88

2.根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則有：x-y|b在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：x=+2xy=+2yz=+2z式中：＝x＋y＋z，因?yàn)槭菃屋S變形，側(cè)面受到介質(zhì)約束，

x＝（V0-V)/V,y=z=0,V是體積，＝／2(+u)，和u是材料的拉梅常數(shù)，是泊松比。（１）2.根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則有：x=+2xy=89

在塑性變形狀態(tài)，應(yīng)變增量是彈性和塑性增量之和。因而在X方向有：dx=dxe+dxp因?yàn)椴淮嬖谒苄耘蛎?，所以有dxp＋dyp+dzp=0微元體中的殘余應(yīng)力是彈性和塑性應(yīng)變引起的，dx=d+2(dxe+dxp)dy=d+2（dye+dyp）dz=d+2(dze+dzp）（２）在塑性變形狀態(tài)，應(yīng)變增量是彈性和塑性增量之和。因?yàn)椴淮?0

激光沖擊應(yīng)力作用后，在沖擊強(qiáng)化區(qū)的r，z方向上由彈性應(yīng)力引起的彈性變形難以完全恢復(fù)，所以，在激光沖擊區(qū)形成殘余應(yīng)力，于是可得簡單算式：y=1-x實(shí)際上x是隨沖擊應(yīng)力波的衰減而變化，故殘余應(yīng)力y也是隨x的變化而變化，設(shè)：xe-x有x=maxe-bx(3)(4)其中b為參量；激光沖擊應(yīng)力作用后，在沖擊強(qiáng)化區(qū)的r，z1-x實(shí)91

在玻璃（K9)的約束層的條件下，激光沖擊產(chǎn)生的峰壓可以估算為：Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3如果有max=pmax代入公式（４）x=pmaxe-bxy=pmaxe-bx1-(5)在玻璃（K9)的約束層的條件下，激光沖擊Pmax=0.2892

顯然該式(5)所表達(dá)的是Pmax未卸載時(shí)殘余應(yīng)力的情形。令x=0，取Pmax＝2.8GPa，＝0.29，則b不論取何值，y=-1.12GPa，這顯然與實(shí)際測量值y=-400MPa相去甚遠(yuǎn)，因此必須對式（５）加以修正。

首先，由彈性力學(xué)原理可知：＝／E因此，材料的彈塑性形變與彈性模量關(guān)系較大，材料受到相同外力作用時(shí)，彈性模量大的材料，彈塑性形變??；因此有：yE（6)顯然該式(5)所表達(dá)的是Pmax未卸載時(shí)殘余93

其次，由沖擊動(dòng)力學(xué)原理可知，，當(dāng)材料的沖擊變形深度相同時(shí)，材料本身的彈性模量大，屈服極限高，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的影響就深。如果材料本身彈性模量小，局部極限低，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力深度就淺。因此有：

ye-bx/E(7)結(jié)合（４）（５）（６）（７）xEPmaxe-bx/E

yEPmaxe-bx/E1-(8)其次，由沖擊動(dòng)力學(xué)原理可知，，當(dāng)材料的沖擊變形深度相同時(shí)94

然而此時(shí)，還需使公式（８）滿足邊界條件X=0時(shí)，解決y與實(shí)際殘余應(yīng)力值相差太遠(yuǎn)的問題，因此還必須在公式（８）中加入一個(gè)系數(shù)K,即：x=EkPmaxe-bx/Ey=EkPmaxe-bx/E1-(9)公式(9)較好地反映了材料受到激光沖擊作用時(shí)的綜合力學(xué)性能與殘余應(yīng)力之間的關(guān)系，只需代入相應(yīng)的參數(shù)并利用相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對式(9)進(jìn)行擬合，從而求得K和b，就可以擬合出激光沖擊強(qiáng)化工作產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的一般計(jì)算公式。然而此時(shí)，還需使公式（８）滿足邊界條件X=0時(shí)，解決y與95

利用45鋼試樣的一組殘余應(yīng)力數(shù)據(jù)對式（9)進(jìn)行擬合，從而求得K=2.3x10-6(MPa)-1;b=2.16x108(MPa/m)，將所得的k,b數(shù)據(jù)代入公式（9）得到激光沖擊強(qiáng)化殘余應(yīng)力的一般估算經(jīng)驗(yàn)公式：

x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x10x/Ey=2.3x10-6Pmaxe-2.16x10x/E8E-1式中：y-殘余應(yīng)力E-材料彈性模量x-沿激光沖擊波方向的深度

Pmax-激光沖擊波的峰值壓力利用45鋼試樣的一組殘余應(yīng)力數(shù)據(jù)對式（9)進(jìn)行擬合，從而96第三節(jié)材料科學(xué)的數(shù)學(xué)建模方法在材料科學(xué)中常用的數(shù)學(xué)建模方法有理論分析法、模擬方法、類比分析法、數(shù)據(jù)分析法。第三節(jié)材料科學(xué)的數(shù)學(xué)建模方法在材料科學(xué)中常用97

一、理論分析法

理論分析法指應(yīng)用自然科學(xué)中的定理和定律，對被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在工藝比較成熟，對機(jī)理比較了解時(shí)，可采用理論分析法。根據(jù)問題的性質(zhì)可直接建立模型。

例：在滲碳工藝過程中通過平衡理論找出控制參量與爐氣碳勢之間的理論關(guān)系式。

一、理論分析法98

二、模擬方法

模型的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量及其求解卻相當(dāng)麻煩。如果有另一種系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同，而且構(gòu)造出的模型也類似，就可以把后一種模型看成是原來模型的模擬，而對后一個(gè)模型去分析或?qū)嶒?yàn)并求得其結(jié)果。分為：實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠砟M理論模型和簡單理論模型來模擬分析較復(fù)雜理論模型。

二、模擬方法99

中國載人潛水器蛟龍?zhí)?000m航天模擬裝置航天服在水槽中模擬失重中國載人潛水器蛟龍?zhí)柡教炷M裝置航天服在水槽中模擬失重100

例如，研究鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布。步驟：1）采用環(huán)氧樹脂（EP）制備出同樣結(jié)構(gòu)的模型，并加工出裂紋。2)將環(huán)氧樹脂放入恒溫箱內(nèi)，對環(huán)氧樹脂模型在冷凍溫度下加載，并在室溫和不變的條件下緩慢冷卻到室溫卸載。3)將已凍結(jié)應(yīng)力的環(huán)氧樹脂模型在平面偏振光場或圓偏振光場下觀察，環(huán)氧樹脂模型中出現(xiàn)一定分布的條紋，這些條紋反映了模型在受載時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變情況。4)用照相法將條紋記錄下來并確定條紋級數(shù)，再根據(jù)條紋級數(shù)計(jì)算應(yīng)力。5)根據(jù)相似原理，材料等因素確定一定的比例系數(shù)，將計(jì)算出的應(yīng)力換算成鋼鐵材料中的應(yīng)力，從而獲得裂紋尖端的應(yīng)力，應(yīng)變分布。例如，研究鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)101

三、類比分析法

若兩個(gè)不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來描述，則此兩個(gè)系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法根據(jù)兩個(gè)（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其他屬性或關(guān)系也可能相似的一種方法。

三、類比分析法102

例在聚合物結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動(dòng)力學(xué)過程。例在聚合物結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后103

采用類比分析法。聚合物結(jié)晶過程包括成核和晶體生長兩個(gè)階段，這與下雨時(shí)雨滴落在水面上生成一個(gè)個(gè)圓形水波并向外擴(kuò)展的情形相類似，因此可通過水波擴(kuò)散模型來推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時(shí)的結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。

在水面上任選一參考點(diǎn)，根據(jù)概率分析，在時(shí)間從

0到t時(shí)刻的范圍內(nèi)通過該點(diǎn)的水波數(shù)為m的概率P(m)符合Poisson分布（假設(shè)落下的雨滴數(shù)量大于m,t時(shí)刻通過任意點(diǎn)P的水波數(shù)的平均值為E)。采用類比分析法。聚合物結(jié)晶過程包括成核和104

（1）

顯然有（２）

把水波擴(kuò)散模型作為結(jié)晶前期的模型來討論薄層熔體形成“二維球晶”的情況。雨滴接觸水面相當(dāng)于形成晶核，水波相當(dāng)于二維球晶的生長表面，當(dāng)m=0時(shí)，意味著所有的球晶面都不經(jīng)過p點(diǎn)，即p點(diǎn)仍處于非晶態(tài)。根據(jù)式（１）可知其概率為：（1）顯然有（２）把水波擴(kuò)散模型作為結(jié)晶前105

設(shè)此時(shí)球晶部分占有的體積分?jǐn)?shù)為，則有

（３）

下面求平均值E，它應(yīng)為時(shí)間的函數(shù)。

(a)先考慮平面內(nèi)一次性同時(shí)成核的情況，它對應(yīng)所有雨滴同時(shí)落入水面，到t時(shí)刻，水波前進(jìn)的距離為，那么，以為半徑的圓面內(nèi)的雨滴所產(chǎn)生的水波都將通過p點(diǎn)。（見圖）。rrr設(shè)此時(shí)球晶部分占有的體積分?jǐn)?shù)為，則有106drr

rrdr

把這個(gè)面積稱為有效面積，通過p點(diǎn)的水波數(shù)等于這個(gè)有效面積內(nèi)落入的雨滴數(shù)。設(shè)單位面積內(nèi)的平均雨滴數(shù)為N,當(dāng)時(shí)間由t增加到t+dt時(shí)，有效面積的增量，即圖中陰影部分的面積，為，平均值E的增量為:pdrrrrdr把這個(gè)面積稱為有效面積，通過p點(diǎn)的水107

若水波前進(jìn)速度即球晶徑向生長速度為，則，積分得平均值同t的關(guān)系為：代入式（1）得（4）

式（4）表示晶核密度為N，一次性成核時(shí)體系中的非晶部分與時(shí)間的關(guān)系。若水波前進(jìn)速度即球晶徑向生長速度為，則108

(b)如果平面內(nèi)晶核是不斷形成的，相當(dāng)于不斷下雨的情況，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)單位面積上平均產(chǎn)生的晶核數(shù)即晶核生長速度為I,到t時(shí)刻產(chǎn)生的晶核數(shù)（相當(dāng)于生成的水波）則為It。時(shí)間增加dt，有效面積的增量仍為，其中，只有滿足的條件下產(chǎn)生的水波才是有效的，因此有：(b)如果平面內(nèi)晶核是不斷形成的，相當(dāng)109

積分得代入式（１）中得（5）

此為晶核不斷形成時(shí)，聚合物的非結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。積分得代入式（１）中得（5）此為晶110

(c)同樣的方法可以用來處理三維球晶，這時(shí)把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量來代替，對于同時(shí)成核體系（N為單位體積的晶核數(shù)），則對于不斷成核體系，定義I為單位時(shí)間，單位體積中產(chǎn)生的晶核數(shù)，則代入１－（c)=e-E(c)同樣的方法可以用來處理三維球晶，這時(shí)把圓環(huán)確111

將上述情況歸納起來，可用一個(gè)通式表示：

式中，k是同核密度及晶體一維生長速度有關(guān)的常數(shù)，稱為結(jié)晶速度常數(shù)。該式稱為Avrami方程。下面對所建的模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

將上述情況歸納起來，可用一個(gè)通式表示：式中，k112

尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的Avrami處理結(jié)果lgt尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的Avrami處理結(jié)113

四、數(shù)據(jù)分析法

當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，無法從理論分析中得到系統(tǒng)的規(guī)律，也不便于類比分析，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律、描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時(shí)，就可以通過描述系統(tǒng)功能的數(shù)據(jù)分析來連接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型?；貧w方程是處理這類問題的有利工具。四、數(shù)據(jù)分析法114求一條通過或系統(tǒng)回歸方程的一般方法如下：

設(shè)有一未知系統(tǒng)，已測得該系統(tǒng)有n個(gè)輸入-輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)為：或現(xiàn)尋求其函數(shù)關(guān)系求一條通過或系統(tǒng)回歸方程的一般方法如下：設(shè)有一未知系115

無論x，y為什么函數(shù)關(guān)系，假設(shè)用一多項(xiàng)式作為對輸出（觀測值）y

的估計(jì)。若能確定其階數(shù)及系數(shù)

，則所得到的就是回歸方程-數(shù)學(xué)模型。各項(xiàng)系數(shù)即回歸系數(shù)。當(dāng)輸入為，輸出為

時(shí)，多項(xiàng)式擬合曲線相應(yīng)于的估計(jì)值為：