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畢業(yè)班解決方案模塊課程 初三數(shù)學(xué).幾何模塊突破.旋轉(zhuǎn)3.教師版 Page2012015年中考解決方案旋轉(zhuǎn)3旋轉(zhuǎn)3—對角互補(bǔ)及最值問題學(xué)生姓名:學(xué)生姓名:上課時(shí)間上課時(shí)間:旋轉(zhuǎn)3旋轉(zhuǎn)3中考中考說明內(nèi)容基本要求略高要求較高要求旋轉(zhuǎn)了解圖形的旋轉(zhuǎn),理解對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì);會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形,能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形,指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角能運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識解決簡單問題?對角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)模型圖(全等型—90°)(全等型—120°)(全等型—任意角)中考滿分必做題中考滿分必做題此類題目有角含半角的旋轉(zhuǎn)圖形轉(zhuǎn)化而來。去掉,五邊形就是對角互補(bǔ)模型,此題關(guān)鍵是出現(xiàn)對角互補(bǔ)和連有公共頂點(diǎn)的想等線段,這是解題的關(guān)鍵。如圖所示,在四邊形中,,,,、分別是、上的點(diǎn),若的周長為的2倍,求的度數(shù).如圖所示,在五邊形中,,,求此五邊形的面積.【鞏固】如圖,已知五邊形中,,.求該五邊形的面積.五邊形中,已知,,,連接.求證:平分.四邊形被對角線分為等腰直角三角形和直角三角形,其中和都是直角,另一條對角線的長度為,求四邊形的面積.如圖,已知,在的平分線上有一點(diǎn),將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與重合,它的兩條直角邊分別與、(或它們的反向延長線)相交于點(diǎn)、.當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí),如圖⑴,易證:.當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí),在圖⑵、圖⑶這兩種情況下,上述結(jié)論是否還成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段、、之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,不需證明.(和第二問講義的某題一樣)已知,平分.(1)在圖1中,若,,求證:;(2)在圖2中,若,,則⑴中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;(3)在圖3中:①若,,則=____②若,,則=____(用含的三角函數(shù)表示),并給出證明.已知,點(diǎn)是的平分線上的一動點(diǎn),射線交射線于點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線于點(diǎn),且使.(1)利用圖1,求證:PA=PB;(2)如圖1,若點(diǎn)是與的交點(diǎn),當(dāng)時(shí),求PB與PC的比值;(3)若∠MON=60°,OB=2,射線交于點(diǎn),且滿足且,請借助圖3補(bǔ)全圖形,并求的長.圖1圖2圖3最值問題與共用頂點(diǎn),固定將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中的,會出現(xiàn)的最大值與最小值,如圖.如圖所示,是等邊三角形,在中,,,問:當(dāng)為何值時(shí),、兩點(diǎn)的距離最大?最大值是多少?已知:,,以為一邊作正方形,使、兩點(diǎn)落在直線的兩側(cè).⑴如圖,當(dāng)時(shí),求及的長;⑵當(dāng)變化,且其它條件不變時(shí),求的最大值及相應(yīng)的大?。?9西城一模)已知:,,以為一邊作等邊三角形ABC.使C、D兩點(diǎn)落在直線的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠ADB=60°時(shí),求及的長;(2)當(dāng)∠ADB變化,且其它條件不變時(shí),求的最大值,及相應(yīng)的大小.(13年通州一模)已知:中,,中,,.連接、,點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn).圖1圖2(1)如圖1,若、、三點(diǎn)在同一直線上,且,則的形狀是________________,此時(shí)________;(2)如圖2,若、、三點(diǎn)在同一直線上,且,證明,并計(jì)算的值(用含的式子表示);(3)在圖2中,固定,將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),直接寫出的最大值.如圖1,已知是等腰直角三角形,,點(diǎn)是的中點(diǎn).作正方形,使點(diǎn)、分別在和上,連接,.(1)試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系是________________;(2)將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),①判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請利用圖2證明你的結(jié)論;②若,當(dāng)取最大值時(shí),求的值.(2014年燕山一模)在中,,,,將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí),求的度數(shù);(2)如圖2,連接,.若的面積為,求的面積;(3)如圖3,點(diǎn)為線段中點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動點(diǎn),在繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn),直接寫出線段長度的最大值與最小值.(2013年昌平一模)
費(fèi)馬點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)?考點(diǎn)說明:到三個(gè)定理的三條線段之和最小,夾角都為°.旋轉(zhuǎn)與最短路程問題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題,同時(shí)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問題,比較重要的就是費(fèi)馬點(diǎn)問題皮耶·德·費(fèi)馬(PierredeFermat)是一個(gè)17世紀(jì)的法國律師,也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家.之所以稱業(yè)余,是由于皮耶·德·費(fèi)馬具有律師的全職工作.他的姓氏根據(jù)法文與英文實(shí)際發(fā)音也常譯為“費(fèi)爾瑪”(注意“瑪”字).費(fèi)馬最后定理在中國習(xí)慣稱為費(fèi)馬大定理,西方數(shù)學(xué)界原名“最后”的意思是:其它猜想都證實(shí)了,這是最后一個(gè).著名的數(shù)學(xué)史學(xué)家貝爾(E.T.Bell)在20世紀(jì)初所撰寫的著作中,稱皮耶·德·費(fèi)馬為”業(yè)余數(shù)學(xué)家之王“.貝爾深信,費(fèi)馬比皮耶·德·費(fèi)馬同時(shí)代的大多數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就,然而皮耶·德·費(fèi)馬并未在其他方面另有成就,本人也漸漸退出人們的視野,考慮到17世紀(jì)是杰出數(shù)學(xué)家活躍的世紀(jì),因而貝爾認(rèn)為費(fèi)馬是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星.費(fèi)馬點(diǎn)問題最早是由法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家埃萬杰利斯塔·托里拆利(氣壓計(jì)的發(fā)明者)的信中提出的.托里拆利最早解決了這個(gè)問題,而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題,并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣,因此這個(gè)點(diǎn)也稱為托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn),相關(guān)的問題也被稱作費(fèi)馬-托里拆利-斯坦納問題.這一問題的解決極大推動了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展,在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義.結(jié)論:(1)平面內(nèi)一點(diǎn)到△ABC三頂點(diǎn)的之和為,當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí),距離之和最?。厥馊切沃校?2).三內(nèi)角皆小于120°的三角形,分別以,,為邊,向三角形外側(cè)做正三角形,,然后連接,,,則三線交于一點(diǎn),則點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn).(3).若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn).(4)當(dāng)為等邊三角形時(shí),此時(shí)內(nèi)心與費(fèi)馬點(diǎn)重合下面簡單說明如何找點(diǎn)使它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小?這就是所謂的費(fèi)爾馬問題.圖1解析:如圖1,把繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′,連接PP′.則△APP′為等邊三角形,AP=PP′,P′C′=PC,所以=PP′+PB+P′C′.點(diǎn)C′可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn),BC′為定長,所以當(dāng)B、P、P′、C′四點(diǎn)在同一直線上時(shí),最?。@時(shí)∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°,∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°,∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此,當(dāng)?shù)拿恳粋€(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí),所求的點(diǎn)P對三角形每邊的張角都是120°,可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧,兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是P點(diǎn);當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí),所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn).費(fèi)爾馬問題告訴我們,存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小,解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換.閱讀下列材料對于任意的,若三角形內(nèi)或三角形上有一點(diǎn),若有最小值,則取到最小值時(shí),點(diǎn)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).①若三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于,這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)②若三角形內(nèi)角均小于,則滿足條件時(shí),點(diǎn)既為費(fèi)馬點(diǎn)解決問題:(1)如圖,中,三個(gè)內(nèi)角均小于,分別以、為邊向外作等邊、,連接、交于點(diǎn),證明:點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn).(即證明)且(2)如圖,點(diǎn)為三角形內(nèi)部異于點(diǎn)的一點(diǎn),證明:(3)若,,,直接寫出的最小值【鞏固】若點(diǎn)P為△ABC所在平面上一點(diǎn),且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).(1)若P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,則PB的值為_________;(2)如圖8,在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′,連結(jié)BB′.求證:BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB′=PA+PB+PC.圖8【鞏固】如圖所示,在四邊形中,,,為四邊形內(nèi)部一點(diǎn),,證明:.小華遇到這樣一個(gè)問題,如圖1,△ABC中,∠ACB=30o,BC=6,AC=5,在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.小華是這樣思考的:要解決這個(gè)問題,首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離,然后再將它們連接成一條折線,并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn),這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,就可以求出這三條線段和的最小值了.他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法,發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題.他的做法是,如圖2,將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o,得到△EDC,連接PD、BE,則BE的長即為所求.(1)請你寫出圖2中,PA+PB+PC的最小值為________;(2)參考小華的思考問題的方法,解決下列問題:圖2①如圖3,菱形ABCD中,∠ABC=60o,在菱形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P,請?jiān)趫D3中畫出并指明長度等于PA+PB+PC最小值的線段(保留畫圖痕跡,畫出一條即可);②若①中菱形ABCD的邊長為4,請直接寫出當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長圖2圖圖3圖1圖1(1)如圖1,和都是等邊三角形,且、、三點(diǎn)共線,聯(lián)結(jié)、相交于點(diǎn),求證:.(2)如圖2,在中,,分別以、和為邊在外部作等邊、等邊和等邊,聯(lián)結(jié)、和交于點(diǎn),下列結(jié)論中正確的是_______(只填序號即可)①;②;③;(3)如圖2,在(2)的條件下,求證:
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