7旋轉(zhuǎn)3.對角互補(bǔ)及最值問題(2014-2015)

畢業(yè)班解決方案模塊課程 初三數(shù)學(xué).幾何模塊突破.旋轉(zhuǎn)3.教師版 Page2012015年中考解決方案旋轉(zhuǎn)3旋轉(zhuǎn)3—對角互補(bǔ)及最值問題學(xué)生姓名：學(xué)生姓名：上課時(shí)間上課時(shí)間：旋轉(zhuǎn)3旋轉(zhuǎn)3中考中考說明內(nèi)容基本要求略高要求較高要求旋轉(zhuǎn)了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角能運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識解決簡單問題?對角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)模型圖（全等型—90°）（全等型—120°）（全等型—任意角）中考滿分必做題中考滿分必做題此類題目有角含半角的旋轉(zhuǎn)圖形轉(zhuǎn)化而來。去掉，五邊形就是對角互補(bǔ)模型，此題關(guān)鍵是出現(xiàn)對角互補(bǔ)和連有公共頂點(diǎn)的想等線段，這是解題的關(guān)鍵。如圖所示，在四邊形中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，若的周長為的2倍，求的度數(shù)．如圖所示，在五邊形中，，，求此五邊形的面積．【鞏固】如圖，已知五邊形中，，．求該五邊形的面積．五邊形中，已知，，，連接．求證：平分．四邊形被對角線分為等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一條對角線的長度為，求四邊形的面積．如圖，已知，在的平分線上有一點(diǎn)，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與重合，它的兩條直角邊分別與、(或它們的反向延長線)相交于點(diǎn)、．當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，如圖⑴，易證：．當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，在圖⑵、圖⑶這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段、、之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．（和第二問講義的某題一樣）已知，平分．（1）在圖1中，若，，求證：；（2）在圖2中，若，，則⑴中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由;（3）在圖3中：①若，，則=____②若，，則=____（用含的三角函數(shù)表示），并給出證明．已知，點(diǎn)是的平分線上的一動點(diǎn)，射線交射線于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線于點(diǎn)，且使．（1）利用圖1，求證：PA=PB；（2）如圖1，若點(diǎn)是與的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求PB與PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射線交于點(diǎn)，且滿足且，請借助圖3補(bǔ)全圖形，并求的長．圖1圖2圖3最值問題與共用頂點(diǎn)，固定將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中的，會出現(xiàn)的最大值與最小值，如圖．如圖所示，是等邊三角形，在中，，，問：當(dāng)為何值時(shí)，、兩點(diǎn)的距離最大？最大值是多少？已知：，，以為一邊作正方形，使、兩點(diǎn)落在直線的兩側(cè)．⑴如圖，當(dāng)時(shí)，求及的長；⑵當(dāng)變化，且其它條件不變時(shí)，求的最大值及相應(yīng)的大?。?9西城一模）已知：，，以為一邊作等邊三角形ABC．使C、D兩點(diǎn)落在直線的兩側(cè)．（1）如圖，當(dāng)∠ADB=60°時(shí)，求及的長；（2）當(dāng)∠ADB變化，且其它條件不變時(shí)，求的最大值，及相應(yīng)的大小．（13年通州一模）已知：中，，中，,．連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．圖1圖2(1)如圖1，若、、三點(diǎn)在同一直線上，且，則的形狀是________________，此時(shí)________；(2)如圖2，若、、三點(diǎn)在同一直線上，且，證明，并計(jì)算的值（用含的式子表示）；(3)在圖2中，固定，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直接寫出的最大值．如圖1，已知是等腰直角三角形，,點(diǎn)是的中點(diǎn)．作正方形，使點(diǎn)、分別在和上，連接，．（1）試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系是________________；（2）將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，①判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結(jié)論；②若，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．（2014年燕山一模）在中，，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接，．若的面積為，求的面積；（3）如圖3，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，在繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，直接寫出線段長度的最大值與最小值．(2013年昌平一模)

費(fèi)馬點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)?考點(diǎn)說明：到三個(gè)定理的三條線段之和最小，夾角都為°．旋轉(zhuǎn)與最短路程問題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題，同時(shí)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問題，比較重要的就是費(fèi)馬點(diǎn)問題皮耶·德·費(fèi)馬（PierredeFermat）是一個(gè)17世紀(jì)的法國律師，也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家．之所以稱業(yè)余，是由于皮耶·德·費(fèi)馬具有律師的全職工作．他的姓氏根據(jù)法文與英文實(shí)際發(fā)音也常譯為“費(fèi)爾瑪”（注意“瑪”字）．費(fèi)馬最后定理在中國習(xí)慣稱為費(fèi)馬大定理，西方數(shù)學(xué)界原名“最后”的意思是：其它猜想都證實(shí)了，這是最后一個(gè)．著名的數(shù)學(xué)史學(xué)家貝爾（E．T．Bell）在20世紀(jì)初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費(fèi)馬為”業(yè)余數(shù)學(xué)家之王“．貝爾深信，費(fèi)馬比皮耶·德·費(fèi)馬同時(shí)代的大多數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就，然而皮耶·德·費(fèi)馬并未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀(jì)是杰出數(shù)學(xué)家活躍的世紀(jì)，因而貝爾認(rèn)為費(fèi)馬是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星．費(fèi)馬點(diǎn)問題最早是由法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家埃萬杰利斯塔·托里拆利（氣壓計(jì)的發(fā)明者）的信中提出的．托里拆利最早解決了這個(gè)問題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個(gè)點(diǎn)也稱為托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn)，相關(guān)的問題也被稱作費(fèi)馬-托里拆利-斯坦納問題．這一問題的解決極大推動了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義．結(jié)論：（1）平面內(nèi)一點(diǎn)到△ABC三頂點(diǎn)的之和為，當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，距離之和最?。厥馊切沃校?2)．三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以,,為邊，向三角形外側(cè)做正三角形,,然后連接,,,則三線交于一點(diǎn),則點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)．若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)．(4)當(dāng)為等邊三角形時(shí),此時(shí)內(nèi)心與費(fèi)馬點(diǎn)重合下面簡單說明如何找點(diǎn)使它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小？這就是所謂的費(fèi)爾馬問題．圖1解析：如圖1，把繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′，連接PP′．則△APP′為等邊三角形，AP=PP′，P′C′=PC，所以=PP′+PB+P′C′．點(diǎn)C′可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BC′為定長，所以當(dāng)B、P、P′、C′四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最?。@時(shí)∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，當(dāng)?shù)拿恳粋€(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P對三角形每邊的張角都是120°，可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)．費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．閱讀下列材料對于任意的，若三角形內(nèi)或三角形上有一點(diǎn)，若有最小值，則取到最小值時(shí)，點(diǎn)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．①若三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)②若三角形內(nèi)角均小于，則滿足條件時(shí)，點(diǎn)既為費(fèi)馬點(diǎn)解決問題：(1)如圖，中，三個(gè)內(nèi)角均小于，分別以、為邊向外作等邊、，連接、交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)．(即證明)且(2)如圖，點(diǎn)為三角形內(nèi)部異于點(diǎn)的一點(diǎn)，證明：(3)若，，，直接寫出的最小值【鞏固】若點(diǎn)P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,則PB的值為_________；（2）如圖8，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′=PA+PB+PC．圖8【鞏固】如圖所示，在四邊形中，,，為四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，，證明：．小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖1,△ABC中，∠ACB=30o，BC=6，AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題．他的做法是，如圖2，將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到△EDC，連接PD、BE，則BE的長即為所求．（1）請你寫出圖2中，PA+PB+PC的最小值為________；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：圖2①如圖3，菱形ABCD中，∠ABC=60o，在菱形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，請?jiān)趫D3中畫出并指明長度等于PA+PB+PC最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；②若①中菱形ABCD的邊長為4，請直接寫出當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長圖2圖圖3圖1圖1(1)如圖1，和都是等邊三角形，且、、三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)、相交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，在中，，分別以、和為邊在外部作等邊、等邊和等邊，聯(lián)結(jié)、和交于點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是_______（只填序號即可）①；②；③；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：