一元二次方程的應(yīng)用 省賽獲獎-精講版課件

一元二次方程的應(yīng)用本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.3

一元二次方程在數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中有許多應(yīng)用，本節(jié)來舉一些例子．舉例例1當(dāng)x取什么值時，一元二次多項(xiàng)式x2-x-2與一元一次多項(xiàng)式2x-1的值相等？x2-x-2=2x-1.解:原方程可以寫成x2-3x-1=0.這里

a=1，b=-3，c=-1，

b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13，

因此

從而當(dāng)或時，x2-x-2與2x-1的值相等．舉例例2當(dāng)y取什么值時，一元二次多項(xiàng)式

(y-5)2+9y2的值等于40？

(y-5)2+9y2=40解:原方程可以寫成2y2-2y-3=0.這里

a=2，b=-2，c=-3，

b2-4ac=(-2)2-4×2×(-3)=4+24=28，

因此

從而當(dāng)或時，(y-5)2+9y2的值等于40．舉例例3

當(dāng)t取什么值時，關(guān)于x的一元二次方程

x2+(x+t)2=t2+2t-1，（1）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒有實(shí)數(shù)根？解:原方程可以寫成2x2+2tx+

t2-2t+1=0.這里

a=2，b=2t，c=t2-2t+1，

b2-4ac=(2t)2-4×2×(t2-2t+1)=4t2-8(

t2-2t+1)

=4t2-4t2+16t-8=16t-8.（1）當(dāng)b2-4ac=16t-8>0，即t>

時，原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)b2-4ac=16t-8=0，即t=

時，原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)b2-4ac=16t-8<0，即t<

時，原方程沒有實(shí)數(shù)根.練習(xí)1.當(dāng)x取什么值時，一元二次多項(xiàng)式x2-x-6與一元一次多項(xiàng)式3x-2的值相等？答：答：2.當(dāng)t取什么值，關(guān)于x的一元二次方程

有兩個相等的實(shí)數(shù)根？說一說

菱形的面積與它的兩條對角線長有什么關(guān)系？

菱形的面積等于它的兩條對角線長的乘積的一半．舉例例4一種鐵柵欄護(hù)窗的正面是高為120cm、寬為100cm的矩形，在中間有一個由4根鐵條組成的菱形，如圖1-5所示.菱形的水平方向的對角線比豎直方向的對角線長20cm，并且菱形的面積是護(hù)窗正面矩形面積的．（1）求菱形的兩條對角線的長度；（2）求組成菱形的每一根鐵條的長度．圖1-5分析

本題的等量關(guān)系是：菱形的面積=

.菱形兩對角線乘積的一半原方程可以寫成

x2+20x-4800=0，解:（1）設(shè)菱形的豎直方向的對角線長為xcm，則它的水

平方向的對角線長為(x+20)cm，根據(jù)題意，可

以列出方程這里a=1，b=20，c=-4800，

b2-4ac=202-4×1×(-4800)

=400+4×4800=400×(1+48)=400×49，從而x1=60，x2=-80（不合題意，舍去）．因此即菱形的豎直方向的對角線長為60cm，于是它的水平方向的對角線長為80cm．解:（2）由于菱形的兩條對角線互相垂直平分，因此菱形的邊長為即組成菱形的每一根鐵條的長度為50cm.舉例例5如圖1-6，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.圖1-6分析

本題的等量關(guān)系是：

=

.底面長×寬364解:（1）設(shè)截去的小正方形的邊長為xcm，則無蓋長方體盒子的底面邊長分別為(40-2x)cm，(28-2x)cm，根據(jù)題意，可以列出方程(40-2x)(28-2x)=364．從而

x1=27，x2=7

．因此原方程可以寫成x2-34x+189=0.這里a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189=4(172-189)=4×(289-189)=400，

如果截去的小正方形的邊長為27cm，那么左下角和右下角的兩個小正方形的邊長之和為54cm，這超過了矩形鐵皮的長40cm.因此x1=27不合題意，應(yīng)當(dāng)舍去．答：截去的小正方形的邊長為7cm．

從例4和例5可以看出，在運(yùn)用一元二次方程解實(shí)際問題時，一定要注意檢查求得的方程的解是否符合實(shí)際情況．結(jié)論例4

一種鐵柵欄護(hù)窗的正面是高為120cm、寬為100cm的矩形，在中間有一個由4根鐵條組成的菱形，如圖1-5所示.菱形的水平方向的對角線比豎直方向的對角線長20cm，并且菱形的面積是護(hù)窗正面矩形面積的．（1）求菱形的兩條對角線的長度；（2）求組成菱形的每一根鐵條的長度．例5如圖1-6，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.練習(xí)1.在例5中，如果要使折成的無蓋長方體的盒子的底面積為540cm2，那么截去的小正方體的邊長是多少？答：邊長為5cm.例5如圖1-6，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.2.例5和第1題中無蓋長方體盒子的體積分別是多少？哪個體積大？答：設(shè)例5中長方體的體積為V1，第1題中長方體的體積為V2，則有

V1=2548(cm3)，V2=2700(cm3)，

V1<V2.1.

在例5中，如果要使折成的無蓋長方體的盒子的底面積為540cm2，那么截去的小正方體的邊長是多少？例5

如圖1-6，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.

小亮家想利用房屋側(cè)面的一面墻，再砌三面墻，圍成一個矩形花園，如圖1-7所示.現(xiàn)在已備足可以砌10m長的墻的材料.大家來討論：不同的砌法，花園的面積發(fā)生什么樣的變化？探究圖1-7

直觀地想，為了充分利用已有的一面墻，平行于已有墻面的那面墻應(yīng)當(dāng)砌得長一些.這一直觀想法是否正確，通過下面的一系列計算，可以進(jìn)行檢驗(yàn).

由于只需要砌三面墻，因此矩形中三條邊的長度之和等于10m，平均每條邊的長度為m，按照這種砌法，花園的面積為請同學(xué)們填寫下表（可以用計算器計算）與已有墻面平行的一面墻的長度與已有墻面垂直的每一面墻的長度花園的面積310.53.23.63.84.04.24.44.85.05.25.410.883.211.523.111.783122.912.182.812.322.612.482.512.52.412.482.312.42做一做（1）當(dāng)與已有墻面平行的一面墻的長度從m減小時，花園的面積是否隨著減??？（2）當(dāng)與已有墻面平行的一面墻的長度從m增加時，花園的面積怎樣變化？答：是.答：花園的面積也增加，但當(dāng)這面墻長為5m時，花園面積達(dá)到12.5m2.此后隨著這面墻的長度增加，花園的面積逐步減小.（3）在上面所列的表中，什么時候花園的面積最大？

當(dāng)與已有墻面平行的一面墻長度為5m時，花園的面積最大，為12.5m2.答：當(dāng)與已有墻面平行的一面墻長度為5m時，花園的面積最大，為12.5m2.（4）有沒有一種砌墻方法，可以使花園面積大于12.5m2？先按照下述辦法試一試：

研究有沒有一種砌墻方法，使花園面積為12.55m2？設(shè)與已有墻面垂直的每一面墻的長度為xm，則與已有墻面平行的一面墻的長度為(10-2x)m.根據(jù)題意，列出議程x(10-2x)=12.55.

這個方程可以寫成2x2-10x+12.55=0.

討論這個方程有沒有實(shí)數(shù)解.

由此可以看出，是否可以使花園面積為12.55m2.

從上面這個具體例子受到啟發(fā)，你能不能講出花園面積不可能大于12.5m2的理由？答：沒有一種砌法使花園面積大于12.5m2.

根據(jù)條件得方程2x2-10x+12.55=0；因?yàn)閎2-4ac=100-100.4=-0.4<0，此方程無實(shí)數(shù)根，故花園面積不能為12.55m2.由此可得出，當(dāng)花園面積大于12.5m2時，建立的一元一次方程無實(shí)根.所以沒有一種砌法使花園面積大于12.5m2.舉例例6某校圖書館的藏書在兩年內(nèi)從5萬冊增加到2萬冊，平均每年增長的百分率是多少？根據(jù)題意，得5(x+1)2=7.2.解:設(shè)平均每年增長的百分率是x.整理，得x2+2x-0.44=0.解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）．答：該校圖書館的藏書平均每年增長的百分率為20%.練習(xí)1.經(jīng)過調(diào)查研究，某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總利潤L(元)與產(chǎn)量x(件)的關(guān)系式為

L=-x2+2000x-1000，0<x<1900.（1）產(chǎn)量是多少件時，可以使總利潤達(dá)到99萬元？答：1000件.（2）總利潤可不可能達(dá)到99.1萬元？答：不可能.因?yàn)榇藭r方程無解.

2.某城市現(xiàn)有人口100萬，2年后為102.01萬，求這個城市的人口的平均年增長率．答：1%.小結(jié)與復(fù)習(xí)

建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，這是數(shù)學(xué)的基本功之一.

一元二次方程在數(shù)學(xué)科學(xué)、自然科學(xué)、社會科學(xué)和生產(chǎn)生活中，都有重要應(yīng)用．

一元二次方程可以寫成右端為0，而左端是只含一個未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，它的一般形式是

ax2+bc+c=0(a，b，c是已知數(shù)，a≠0)．

解一元二次方程的基本思路是：降低次數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.降低次數(shù)的基本方法是因式分解法或直接開平方法.

為了能這么做，往往要先配方，即要把含未知數(shù)的項(xiàng)放在一個完全平方式里.而這些步驟只需要按一般形式的一元二次方程ax2+bc+c=0(a≠0)

來做，求出解x的公式，稱為一元二次方程的求根公式．

運(yùn)用求根公式就可以解每一個具體的一元二次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次方程的算法如下：一元二次方程寫成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)解兩個一元一次方程無實(shí)數(shù)解

是否可以直接用因式分解法或直接開平方法計算b2-4acb2-4ac≥0用求根公式：

運(yùn)用一元二次方程解實(shí)際問題的關(guān)鍵是：找出問題中的等量關(guān)系，以便列出方程.要注意檢查求出的方程的解是否符合實(shí)