全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題概述

2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案概括.2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案概括.2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案概括.2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題:1～8小題，每題4分，共32分.以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)切合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定地點(diǎn)上.．．．1、設(shè)函數(shù)f(x)在連續(xù)，其2階導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖形以以下圖所示，則曲線yf(x)的（-,+）拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）（A）0（B）1（C）2（D）32、設(shè)y1e2xx1ex是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yaybycex的一個(gè)特解，23則（）（A）a3,b1,c1.（B）a3,b2,c1.（C）a3,b2,c1.（D）a3,b2,c1.3、若級(jí)數(shù)an條件收斂，則x3與x3挨次為冪級(jí)數(shù)nanx1n的：n1n1（A）收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)（B）收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)（C）發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)（D）發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)4、設(shè)D是第一象限中曲線2xy1,4xy1與直線yx,y3x圍成的平面地區(qū)，函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，則(,)fxydxdyD11（A）2dsin2f(rcos,rsin)rdr（B）2dsin2f(rcos,rsin)rdr1142sin242sin212015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案11（C）3dsin2f(rcos,rsin)dr（D）3dsin2f(rcos,rsin)dr1142sin242sin211115、設(shè)矩陣A12a，bd，若會(huì)合{1,2}，則線性方程組Axb有無(wú)量多個(gè)14a2d2解的充分必需條件為（A）a,d（B）a,d（C）a,d（D）a,d6、設(shè)二次型f(x1,x2,x3)在正交變換xPy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12y22y32，此中P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)，則f(x1,x2,x3)在正交變換xQy下的標(biāo)準(zhǔn)形為（A）2y12y22y32（B）2y12y22y32（C）2y12y22y32（D）2y12y22y327、若A,B為隨意兩個(gè)隨機(jī)事件，則（A）P(AB)P(A)P(B)（B）P(AB)P(A)P(B)（C）P(AB)P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B)228、設(shè)隨機(jī)變量X,Y不有關(guān)，且EX2,EY1,DX3,則EXXY2（A）-3（B）3（C）-5（D）5二、填空題：9～14小題,每題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定地點(diǎn)上.．．．lncosx9、limx2x02(sinxx)dx10、-cosx2111、若函數(shù)zz(x,y)由方程ezxyz+xcosx2確立，則dz(0,1).22015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案12、設(shè)是由平面xyz1與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間地區(qū)，則(x2y3z)dxdydz2002-1202002213、n階隊(duì)列式00-1214、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)聽(tīng)從正態(tài)散布N(1,0,1,1,0)，則P(XYY0).三、解答題：15～23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定地點(diǎn)上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證．．．明過(guò)程或演算步驟.15、（此題滿分10分）設(shè)函數(shù)f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx3，若f(x)與g(x)在x0是等價(jià)無(wú)量小，求a，b，k值。16、（此題滿分10分）設(shè)函數(shù)在f(x)定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)隨意的x0I，曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線與直線xx0及x軸所圍成的地區(qū)的面積為4，且f(0)2，求f(x)的表達(dá)式.17、（此題滿分10分）已知函數(shù)f(x,y)xyxy，曲線C:x2y2xy3，求f(x,y)在曲線C上的最大方向?qū)?shù).18、（此題滿分10分）(Ⅰ)設(shè)函數(shù)u(x),v(x)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)u(x)v(x)'(Ⅱ)設(shè)函數(shù)u1(x),u2(x)...un(x)可導(dǎo)，f(x)u1(x)u2(x)...un(x),寫(xiě)出f(x)的求導(dǎo)公式.19、（此題滿分10分）已知曲線L的方程為z2x2y2,起點(diǎn)為A(0,2,0)，終點(diǎn)為B(0,2,0)，計(jì)算曲線積zx,32015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案分I(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dzL20、（此題滿分11分）設(shè)向量組1,2,3是3維向量空間3的一個(gè)基，1212k3，222，31(k1)3。（Ⅰ）證明向量組1,2,3是3的一個(gè)基；（Ⅱ）當(dāng)k為什么值時(shí)，存在非零向量在基1,2,3與基1,2,3下的坐標(biāo)同樣，并求出全部的。21、（此題滿分11分）02-31-20設(shè)矩陣A-133相像于矩陣B0b0.1-2a031（Ⅰ）求a,b的值.（Ⅱ）求可逆矩陣P，使得P1AP為對(duì)角陣.22、（此題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=2-xln2x00x0對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀察，直到第2個(gè)大于3的觀察值出現(xiàn)時(shí)停止，記Y為觀察次數(shù).（Ⅰ）求Y的概率散布；（Ⅱ）求EY.23、（此題滿分11分）設(shè)整體X的概率密度為1f(x;)=1

x1其余42015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案此中為未知參數(shù)，X1，X2.....Xn為來(lái)自該整體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.（Ⅰ）求的矩預(yù)計(jì).（Ⅱ）求的最大似然預(yù)計(jì).52015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一答案一、選擇題（答案）（1）【答案】(C)【考點(diǎn)】拐點(diǎn)的定義【難易度】★★【詳解】拐點(diǎn)出此刻二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上，而且在這點(diǎn)的左右雙側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，所以，由f(x)的圖形可知，曲線yf(x)存在兩個(gè)拐點(diǎn)，應(yīng)選(C).（2）【答案】(A)【考點(diǎn)】常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法【難易度】★★【詳解】1e2x,1ex為齊次方程的解，所以2、1為特點(diǎn)方程2+ab0的根，從而23a123,b122,再將特解yxex代入方程y3y2ycex得：c1.（3）【答案】(B)【考點(diǎn)】級(jí)數(shù)的斂散性【難易度】★★★an條件收斂，故x2為冪級(jí)數(shù)n【詳解】因?yàn)閍nx1的條件收斂點(diǎn)，從而得n1n1anxn0,21的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為，又因?yàn)閮缂?jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故n1nanx1n的收斂區(qū)間仍為0,2，因此x3與x3挨次為冪級(jí)數(shù)nanx1n的收斂n1n1點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn).（4）【答案】(D)【考點(diǎn)】二重積分的極坐標(biāo)變換【難易度】★★★【詳解】由yx得，；由y3x得，43由2xy1得，2r2cossin1,r12sin由4xy1得，4r2cossin1,r12sin262015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案1所以f(x,y)dxdy3dsin2f(rcos,rsin)rdr1D42sin2（5）【答案】(D)【考點(diǎn)】非齊次線性方程組的解法【難易度】★★11111111【詳解】A,b12ad01a1d114a2d200a1a2d1d2Axb有無(wú)量多解R(A)R(A,b)3a1或a2且d1或d2（6）【答案】(A)【考點(diǎn)】二次型【難易度】★★200【詳解】由xPy，故fxTAxyT(PTAP)y2y12y22y32且：PTAP010001100200QP001PC,QTAQCT(PTAP)C010010001所以fxTAxyT(QTAA)y2y12y22y32，應(yīng)選(A)（7）【答案】(C)【考點(diǎn)】【難易度】★★【詳解】P(A)P(AB),P(B)P(AB)P(A)P(B)2P(AB)P(AB)P(A)P(B)2應(yīng)選（C）（8）【答案】(D)【考點(diǎn)】72015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案【難易度】★★★【詳解】EXXY2EX2XY2XEX2EXY2EXDXE2XEXEY2EX5二、填空題（答案）（9）【答案】12【考點(diǎn)】極限的計(jì)算【難易度】★★lncosxln(1cosx1)cosx11x21lim2【詳解】lim2lim2lim22x0xx0xx0xx0x22（10）【答案】4【考點(diǎn)】積分的計(jì)算【難易度】★★sinx2【詳解】2(x)dx22xdx-1cosx04211）【答案】【考點(diǎn)】隱函數(shù)求導(dǎo)【難易度】★★【詳解】令(,,)zcos2，則Fyz1sinx，，F(xiàn)xy，zexyzxxxFyxzzFxy又當(dāng)x0,y1時(shí)，z0，所以zFx1，zFy，因此dz(0,1)dx0x(0,1)Fzy(0,1)Fz（12）【答案】

14【考點(diǎn)】三重積分的計(jì)算【難易度】★★★【詳解】由輪換對(duì)稱性，得òòò+3zdxdydz=6òòò1(x+2yzdxdydz=60zdzdxdy)DzWW此中Dz為平面z=z截空間地區(qū)W所得的截面，其面積為12(1-z).所以282015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案òòòòòò1121321+3z)dxdydz=60z×(1-z)dz=30z-2z+zdz=zdxdydz=64WWò2ò()（13）【答案】2n12【考點(diǎn)】隊(duì)列式的計(jì)算【難易度】★★★【詳解】按第一行睜開(kāi)得=2n+1-2（14）【答案】

12【考點(diǎn)】【難易度】★★【詳解】(X,Y)~N(1,0,1,1,0)X~N(1,1),Y~N(0,1),且X,Y獨(dú)立，X1~N(0,1)，PXYY0P(X1)Y0PX10,Y0PX10，Y01111122222三、解答題（答案）15）【考點(diǎn)】等價(jià)無(wú)量小量，極限的計(jì)算【難易度】★★★【詳解】f(x)xaln(1x)bxsinxx2x3x3x3x3xax3bxx23!1axabx2ax3x32392015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案f(x)與g(x)1+a0

kx3是等價(jià)無(wú)量小a1ab0ak316）【考點(diǎn)】微分方程【難易度】★★★【詳解】以以下圖：

bk

1213xx0處的切線方程為l：yf(x0)(xx0)f(x0)l與x軸的交點(diǎn)為：y0時(shí)，xx0f(x0)，則ABf(x0)xx0，f(x0)f(x0)所以，S1ABf(x0)1f(x0)f(x0)4.即知足微分方程：y1，解得：22f(x0)y281xc.y8又因y(0)2，所以c18，故y.24x（17）【考點(diǎn)】方導(dǎo)游數(shù)，條件極值【難易度】★★★【詳解】依據(jù)方導(dǎo)游數(shù)與梯度的關(guān)系可知，方導(dǎo)游數(shù)沿著梯度方向可取到最大值且為梯度的模.，102015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案故gradf(x,y)1y,1x故f(x,y)在曲線C上的最大方導(dǎo)游數(shù)為1y2(1x)2，此中x,y知足x2y2xy3，即就求函數(shù)z(1y)2(1x)2在拘束條件x2y2xy30下的最值.結(jié)構(gòu)拉格朗日函數(shù)F(x,y,)(1y)2(1x)2(x2y2xy3)F2(1x)2xy0x令F2(1y)2yx0可得(1,1),(1,1),(2,2),(1,2)yFx2y2xy30此中z(1,1)4,z(1,1)0,z(2,1)9z(1,2)綜上依據(jù)題意可知f(x,y)在曲線C上的最大方導(dǎo)游數(shù)為3.18）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義【難易度】★★【詳解】uxvxf'(x)u1(x)u2(x)u1'(x)u2(x)u1'(x)u2(x)

'uxxvxxuxv(x)limxx0limuxxu(x)vxxuxv(xx)v(x)0xxu'xv(x)uxv'(x)'un(x)'un(x)u1(x)u2(x)un(x)'un(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)u'(x)u2(x)un(x)u(x)u'(x)un(x)u(x)u2(x)u'(x)1121n112015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案19）【考點(diǎn)】曲線積分的計(jì)算【難易度】★★★xcos,【詳解】曲線L的參數(shù)方程為y2sin,從到zcos,22I(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dzL2(2sincos)sin2sin2cos22sin2)sind(cos222sin21sin2sinsin3d2222sin2d222sin2d22122022220）【考點(diǎn)】線性沒(méi)關(guān)，基下的坐標(biāo)【難易度】★★★201【詳解】（Ⅰ）(1,2,3)(1,2,3)0202k0k12012102040，因?yàn)?k12k0k12k所以1,2,3線性沒(méi)關(guān)，1,2,3是3的一個(gè)基。201（Ⅱ）設(shè)P020，P為從基1,2,3到基1,2,3的過(guò)渡矩陣，又設(shè)在基2k0k11,2,3下的坐標(biāo)為x(x1,x2,x3)T，則在基1,2,3下的坐標(biāo)為P1x，由xP1x，得Pxx，即(PE)x0101111由PE010k0，得k0，并解得xc0,c為隨意常數(shù)。2kk2k0k1122015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)一致考試數(shù)學(xué)一試題及答案從而c1c3,c為隨意常數(shù)。21）【考點(diǎn)】相像矩陣，相像對(duì)角化【難易度】★★★023120【詳解】由A133相像于B0b012a03103a1b1023120則330b,解得a4,b51012a03123fA( )|EA|133(1)2(5)0124123123當(dāng)121,(EA)12300012300023特點(diǎn)向量11,20，01523123101當(dāng)35,(EA)1231210111215230001231100則特點(diǎn)向量31,所以P(1,2,3)101,得P1AP010101100522）【考點(diǎn)】【難易度】★★★★【詳解】Px32xln2d