20202021全國中考數(shù)學(xué)一元二次方程組綜合中考真題匯總附解析

2020-2021全國中考數(shù)學(xué)一元二次方程組的綜合中考真題匯總附答案解析2020-2021全國中考數(shù)學(xué)一元二次方程組的綜合中考真題匯總附答案解析1/212020-2021全國中考數(shù)學(xué)一元二次方程組的綜合中考真題匯總附答案解析2020-2021全國中考數(shù)學(xué)一元二次方程組的綜合中考真題匯總附答案解析一、一元二次方程1．隨著經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高以及汽車業(yè)的快速發(fā)展，家用汽車已越來越多地進(jìn)入一般家庭，汽車花銷成為新亮點(diǎn)．抽樣檢查顯示，截止2008年終全市汽車擁有量為萬輛．已知2006年終全市汽車擁有量為10萬輛．（1）求2006年終至2008年終我市汽車擁有量的年平均增添率；（2）為保護(hù)城市環(huán)境，要求我市到2010年終汽車擁有量不高出萬輛，據(jù)估計(jì)從2008年終起，此后每年報(bào)廢的汽車數(shù)量是上年終汽車擁有量的10%，那么每年新增汽車數(shù)量最多不高出多少輛？（假設(shè)每年新增汽車數(shù)量相同）【答案】詳見解析【解析】試題解析：（1）主要觀察增添率問題，一般用增添后的量增添前的量增添率）解決問題；（2）參照增添率問題的一般規(guī)律，表示出2010年的汽車擁有量，爾后依照要點(diǎn)語列出不等式來判斷正確的解．試題解析：（1）設(shè)年平均增添率為x，依照題意得：10（）2，解得﹣（不合題意舍去），答：年平均增添率為；（2）設(shè)每年新增汽車數(shù)量最多不高出y萬輛，依照題意得：2009年終汽車數(shù)量為×90%+y2010年終汽車數(shù)量為（×90%+×90%+y∴（×90%+y×90%+y≤，∴y答：每年新增汽車數(shù)量最多不高出2萬輛．考點(diǎn)：一元二次方程—增添率的問題2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)（1，），與y軸交于點(diǎn)（，3），其對稱軸l為﹣1．（1）求拋物線的解析式并寫出其極點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若動點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動點(diǎn)N在對稱軸l上．①當(dāng)PA⊥，且PA=NA時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）﹣（），極點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，4）；（2）①點(diǎn)（﹣2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】試題解析：（1）將、C的坐標(biāo)代入已知的拋物線的解析式，由對稱軸為x1即可獲取拋物線的解析式；（2）①第一求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，爾后依照已知條件獲取PD=OA，從而獲取方程求得x的值即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②四邊形ABCP=SOBCAPD梯形PDOC，表示出來獲取二次函數(shù)，求得最值即可．試題解析：（1）∵拋物線2yaxbxc與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)（1，0），與y軸交于abc0a1{c3點(diǎn)（0，3），其對稱軸l為x1，∴，解得：，∴二次函數(shù)的{b2b1c32a解析式為223yxx=2(x1)4，∴極點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）令2230yxx，解得x3或x1，∴點(diǎn)A（﹣，），B（1，），作PD⊥x軸于點(diǎn)D，∵點(diǎn)P在223yxx上，∴設(shè)點(diǎn)（x，223xx），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△，∴OA=PD，即2232yxx，解得x=21（舍去）或x=21，∴點(diǎn)（21，2）；②設(shè)，y)，則yx22x3，∵SABCP=SOBCAPDSPDOC四邊形梯形=1212OB?OC+12AD?PD+111(PD+OC)?OD=31+(3x)y(y3)(x)=222333

xy222=3332x(x2x3)=222392xx6=2233752(x)，228∴當(dāng)x=32時(shí)，四邊形ABCP最大值=758，當(dāng)x=32時(shí)，223yxx=154，此時(shí)P（32，154）．考點(diǎn)：．二次函數(shù)綜合題；．二次函數(shù)的最值；．最值問題；4．壓軸題．3．某中心城市有一樓盤，開發(fā)商準(zhǔn)備以每平方米7000元價(jià)格銷售，由于國家出臺了有關(guān)調(diào)控房地產(chǎn)的政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調(diào)銷售價(jià)格后，決定以每平方米5670元的價(jià)格銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開發(fā)商建議：先宣告下調(diào)，再下調(diào)，這樣更有吸引力，請問房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者可否更優(yōu)惠？為什么？【答案】（1）平均每次下調(diào)的百分率為10%．（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者更優(yōu)惠．【解析】【解析】（1）依照利用一元二次方程解決增添率問題的要求，設(shè)出未知數(shù)，爾后列方程求解即可；（2）分別求出兩種方式的增添率，爾后比較即可.【詳解】（1）設(shè)平均每次下調(diào)，則7000（﹣x）2，解得：1=10%，=190%（不合題意，舍去）；答：平均每次下調(diào)的百分率為10%．（2）（1﹣5%1﹣）=95%×85%=80.75%，（﹣x）=（1﹣）．∵80.75%＜81%，∴房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者更優(yōu)惠．4．已知、2是關(guān)于x的﹣元二次方程（﹣6）x2+2ax+a=0的兩個實(shí)數(shù)根．（1）求a的取值范圍；（2）若（1+1）（2）是負(fù)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的整數(shù)值．【答案】（1）≠;2）a的值為、8、9或12．【解析】【解析】（1）依照一元二次方程的定義及一元二次方程的解與鑒識式之間的關(guān)系解答即可；（2）依照根與系數(shù)的關(guān)系可得x2﹣2aa6a，12=，由（x）（x）x2+1=a666﹣是正整數(shù)．依照a是整數(shù)，即可求得a的值2．是是負(fù)整數(shù)，即可得a6a6【詳解】（1）∵原方程有兩實(shí)數(shù)根，∴，∴2（2）∵x、x2是關(guān)于x的一元二次方程（﹣）x

+2ax+a=0的兩個實(shí)數(shù)根，∴x2﹣，xx=，∴（+1）（2）1+x+1=﹣﹣．∵（+1）（2）是負(fù)整數(shù)，∴﹣是負(fù)整數(shù)，即是正整數(shù)．∵a是整數(shù)，∴a﹣6的值為、、3或，∴a的值為7、、9或12．【點(diǎn)睛】此題觀察了根的鑒識式和根與系數(shù)的關(guān)系，能依照根的鑒識式和根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于a的不等式是解此題的要點(diǎn)．5．已知關(guān)于x的一元二次方程（﹣）（x﹣4）﹣m．（1）求證：對任意實(shí)數(shù)m，方程總有2個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個根是，求m的值及方程的另一個根．【答案】（1）證明見解析；（）m的值為±2，方程的另一個根是5．【解析】【解析】-4ac證明判斷即可；（1）先把方程化為一般式，利用根的鑒識式△=b（2）依照方程的根，利用代入法即可求解m的值，爾后還原方程求出另一個解即可.【詳解】（1）證明：，∵（﹣3）（x﹣）﹣m22∴x﹣7x+12﹣m

，∴△（﹣7）2∵m2﹣（12﹣m2）=1+4m2，∴△＞，∴對任意實(shí)數(shù)m，方程總有2個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵方程的一個根是2，2=0，解得m=±，

∴4﹣14+12﹣m2∴原方程為x﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值為±，方程的另一個根是5．【點(diǎn)睛】此題主要觀察了一元二次方程根的鑒識式，熟練掌握一元二次方程的根的鑒識式與根的關(guān)系是要點(diǎn).2＞0時(shí)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=b2＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

當(dāng)△=b2﹣x+a﹣1=0．6．已知關(guān)于x的一元二次方程x（1）當(dāng)a=﹣11時(shí)，解這個方程；（2）若這個方程有兩個實(shí)數(shù)根x1，x，求a的取值范圍；（3）若方程兩個實(shí)數(shù)根1，2滿足[2+x（﹣x）][2+x（1﹣2），求a的值．【答案】（1）13,x24（2）5≤（3）-44【解析】解析：（）依照一元二次方程的解法即可求出答案；（）依照鑒識式即可求出a的范圍；（）依照根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．詳解：（）把a(bǔ)=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣），或x﹣，∴x=﹣3，2=4；（）∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，2，∴△1）﹣×a﹣）5

：a；

4（）∵，2是方程的兩個實(shí)數(shù)根，222211a1，2x2a1，11a，2x2a1．∵1（1﹣1）][2+x2（﹣x）]=9，∴222xx2xx9，把11222211a，2x2a1代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（），解得：a=﹣，a=2（舍去），所以a的值為﹣．點(diǎn)睛：此題觀察了一元二次方程，解題的要點(diǎn)是熟練運(yùn)用鑒識式以及根與系數(shù)的關(guān)系．7．圖1是李晨在一次課外活動中所做的問題研究：他用硬紙片做了兩個三角形，分別為△ABC和△DEF，其中∠B=90A=45BC=，∠F=90EDF=30EF=2．將△DEF的斜邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向搬動．在搬動過程中，、E兩點(diǎn)向來在AC邊上搬動開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合)．（1）請回答李晨的問題：若CD=10，則AD=；（2）如圖，李晨同學(xué)連接FC，編制了以下問題，請你回答：①∠FCD的最大度數(shù)為；②當(dāng)FC∥AB時(shí)，AD=；③當(dāng)以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊時(shí)，AD=;④△FCD的面積s的取值范圍是.【答案】（1）；（）①60；③；④.【解析】試題解析：（1）依照等腰直角三角形的性質(zhì)，求出AC的長，即可獲取AD的長.（2）①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，∠FCD的角度最大，據(jù)此求解即可.②過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，應(yīng)用等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)求解即可.③過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，AD=x，應(yīng)用含30度角直角三角形的性質(zhì)把FC用x來表示，依照勾股定理列式求解.④設(shè)AD=x，把△FCD的面積s表示為x的函數(shù)，依照x的取值范圍來確定s的取值范圍.試題解析：（1）∵∠B=90A=45BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90EDF=30DEF=60.∵當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度數(shù)=∠DEF="60."②如圖，過點(diǎn)F作⊥AC于點(diǎn)，∵∠EDF=30EF=2，∴DF=.∴，F(xiàn)H=.∵FC∥AB，∠A=45FCH="45."∴HC=.∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)，設(shè)，由②知，F(xiàn)H=，則HC=.在Rt△CFH中，依照勾股定理，得.∵以線段、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊，∴，即，解得.④設(shè)AD=x，易知，即.而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴△FCD的面積s的取值范圍是.考點(diǎn)：1.面動平移問題；2.等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)；平行的性質(zhì)；4.含30度角直角三角形的性質(zhì)；勾股定理；6.由實(shí)責(zé)問題列函數(shù)關(guān)系式；求函數(shù)值.8．如圖，在RtABC中，∠B90，AC，BC6cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)P、Q的分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿邊AB，BC向終點(diǎn)C搬動．已知點(diǎn)P，Q的速度分別為2cm/s，/s，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止搬動，設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動時(shí)間為xs．問可否存在這樣的x，使得四邊形APQC的面積等于2？若存在，請求出此時(shí)x的值；若不存在，請說明原由．【答案】假設(shè)不成立，四邊形APQC面積的面積不能夠等于16cm2，原由見解析【解析】【解析】依照題意，列出BQ、PB的表達(dá)式，再列出方程，判斷根的情況.【詳解】解：∵B90，AC10，BC6，∴AB8．∴BQx，PB82x；假設(shè)存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于16cm2，則1168x82x16，22整理得：x24x80，∵1632160，∴假設(shè)不成立，四邊形APQC面積的面積不能夠等于16cm2．【點(diǎn)睛】此題觀察了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握方程根的鑒識方法、理解方程的意義是此題的解題要點(diǎn).2﹣2x+m﹣2＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．

9．已知關(guān)于x的方程x(1)求m的取值范圍；(2)若是m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．【答案】＜3；(2)m＝2．【解析】【解析】（1）依照題意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或，代入后求出方程的解，即可得出答案．【詳解】（1）∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．∴△＝﹣4(m﹣＞．∴m＜；（2）∵m＜3且m為正整數(shù)，∴m＝1或．當(dāng)m＝1時(shí)，原方程為x2﹣2x﹣1＝．它的根不是整數(shù)，不吻合題意，舍去；2當(dāng)m＝2時(shí)，原方程為x﹣2x＝0．∴x(x﹣＝0．∴x＝0，x＝2．吻合題意．綜上所述，m＝2．【點(diǎn)睛】此題觀察了根的鑒識式和解一元二次方程，能依照題意求出m的值和m的范圍是解此題的要點(diǎn)．10．工人師傅用一塊長為10dm，寬為6dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器，需要將四角各裁掉一個正方形．（厚度不計(jì)）求長方體底面面積為12dm2時(shí)，裁掉的正方形邊長多大？【答案】裁掉的正方形的邊長為2dm，底面積為12dm2.【解析】試題解析：設(shè)裁掉的正方形的邊長為xdm，則制作無蓋的長方體容器的長為（10-2x）dm，寬為（6-2x）dm，依照長方體底面面積為12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形邊長.試題解析：設(shè)裁掉的正方形的邊長為xdm，由題意可得(10-2x)(6-2x)=12，2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，

即x答：裁掉的正方形的邊長為2dm，底面積為12dm2.11．關(guān)于x的一元二次方程(k-2)x2-4有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求k的取值范圍；22(2)若是k是吻合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x-4x+k=0與x+mx-1=0有一個相同的根，求此時(shí)m的值．【答案】（1）＜4且≠.）m=0或m=83.【解析】解析：（1）由題意，依照一元二次方程的定義和一元二次方程根的鑒識式列出關(guān)于k的不等式組，解不等式組即可求得對應(yīng)的k的取值范圍；（2）由（1）獲取吻合條件的k的值，代入原方程，解方程求得x的值，爾后把所得x的2即可求得對應(yīng)的m的值.

值分別代入方程x詳解：(1)∵一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=16-8(k-2)=32-8k＞0且≠0.解得：＜4且k≠2.(2)由可知，吻合條件的：k=3，2將k=3代入原方程得：方程x

-4x+3=0，解此方程得：x，x=3.2，有1+m-1=0，解得m=0.

把x=1時(shí)，代入方程x2，有9+3m-1=0，解得m=把x=3時(shí)，代入方程x83.∴m=0或m=83.點(diǎn)睛：（）知道20)axbxca中，當(dāng)△=240bac時(shí)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b24ac0時(shí)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；△=240bac時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根1小題的要點(diǎn)；（2）解第2小題時(shí)，需注意相同的根存在兩種情況，解題時(shí)不要忽略了其中任何一種情況.12．解方程：（x）2（2+x）＝．【答案】1＝﹣2，2＝1【解析】【解析】2＝，將原方程變形整理為y﹣6＝0，求得y的值，爾后再解一元二次方程即可．

設(shè)x【詳解】＝y(tǒng)，則原方程變形為y﹣6＝0，

解：設(shè)x解得1＝﹣3，2＝．①當(dāng)y＝2時(shí)，x+x＝2，即x﹣2＝0，解得1＝﹣2，2＝；②當(dāng)y＝﹣3時(shí)，x2+x＝﹣，即2＝，2∵△＝1﹣×﹣12＝﹣11＜0，∴此方程無解；∴原方程的解為1＝﹣2，＝．【點(diǎn)睛】此題觀察了換元法和一元二次方程的解法，設(shè)出元化簡原方程是解答此題的要點(diǎn).13．閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰穎的你能夠發(fā)現(xiàn)：當(dāng)＞0，b＞0時(shí)：2∵（ab）﹣2ab≥0∴a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．請利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）請直接寫出答案：當(dāng)＞0時(shí)，1x的最小值為．當(dāng)x＜0時(shí)，x+1x的最大值為；（2）若2710xxx1，（＞﹣1），求y的最小值；（3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD訂交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為4和，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】（1）；﹣．（）y的最小值為9；（3）四邊形ABCD面積的最小值為25．【解析】【解析】（1）當(dāng)＞0時(shí)，依照公式≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）來計(jì)算即可；當(dāng)x＜0時(shí)，﹣＞0，1x＞0，則也能夠按公式a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）來計(jì)算；（2）將y2710xxx1的分子變形，分別除以分母，張開，將含x的項(xiàng)用題中所給公式求得最小值，再加上常數(shù)即可；（3）設(shè)△BOC，已知△AOB，△COD，由三角形面積公式可知：△BOC：△COD△AOB：△AOD，用含x的式子表示出△AOD，再表示出四邊形的面積，依照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可．【詳解】（1）當(dāng)＞0時(shí)，x1x2x1x2；當(dāng)＜0時(shí)，﹣＞0，1x＞0．∵﹣x1x2x1x2，∴則x1x（﹣x1x2，∴當(dāng)＞0時(shí)，x1x的最小值為．當(dāng)x＜0時(shí)，x1x的最大值為﹣．故答案為：2，﹣2．（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞，∴y2710xxx12(x1)5x14x1=（x+1）445≥2x15=4+5=9，∴y的最小值為．x1x1（3）設(shè)△BOC，已知△AOB，△COD=9則由等高三角形可知：△BOC：△COD=S△AOB：△AOD，∴x：9=4：△AOD，∴△AOD36x，∴四邊形ABCD面積=4+9+x36x13+2x36x25．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，∴四邊形ABCD面積的最小值為25．【點(diǎn)睛】此題觀察了配方法在最值問題中的應(yīng)用．對不能夠直接應(yīng)用公式的，需要正確變形才能夠應(yīng)用．14．已知關(guān)于x的方程2k1x2k3xk10有兩個不相等的實(shí)數(shù)根1，x2．1求k的取值范圍．2可否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？【答案】(1)13k且k1；(2)k不存在,原由見解析12【解析】【解析】2+（﹣3）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根1，2．得出其鑒識

（1）由于方程（﹣）x式△＞，可解得k的取值范圍；（2）假設(shè)存在兩根的值互為相反數(shù)，依照根與系數(shù)的關(guān)系，列出對應(yīng)的不等式即可求出k的值．【詳解】2（1）方程（﹣1）x（2k﹣）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根1，2，可得：k﹣△=﹣12k+13＞，解得：＜1312且（2）假設(shè)存在兩根的值互為相反數(shù)，設(shè)為1，2．∵x2，∴﹣3k1，∴32．又∵＜1312且kk不存在．【點(diǎn)睛】2=0的兩根此題主要觀察了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，要點(diǎn)掌握1，x2是方程x時(shí)，+x﹣，xx．15．閱讀資料：各樣方程的解法求解一元一次方程，依照等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)變成x=a的形式。求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)變成一元一次方程來解：求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)變成兩個一元一次方程來解。求解分式方程，把它轉(zhuǎn)變成整式方程來解。各樣方程的解法不盡相同，但