數(shù)學建模常見評價模型簡介

..常見評價模型簡介評價類數(shù)學模型是全國數(shù)學建模競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一類模型,如20XX全國賽A題長江水質(zhì)的評價問題,20XXB題高校學費標準評價體系問題等。主要介紹三種比較常用的評價模型：層次分析模型,模糊綜合評價模型,灰色關(guān)聯(lián)分析模型,以期幫助大家了解不同背景下不同評價方法的應用。層次分析模型層次分析法<AHP>是根據(jù)問題的性質(zhì)和要求,將所包含的因素進行分類,一般按目標層、準則層和子準則層排列,構(gòu)成一個層次結(jié)構(gòu),對同層次內(nèi)諸因素采用兩兩比較的方法確定出相對于上一層目標的權(quán)重,這樣層層分析下去,直到最后一層,給出所有因素相對于總目標而言,按重要性程度的一個排序。其主要特征是,它合理地將定性與定量決策結(jié)合起來,按照思維、心理的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化。運用層次分析法進行決策,可以分為以下四個步驟：步驟1建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題,將有關(guān)因素自上而下分層<目標—準則或指標—方案或?qū)ο?gt;,上層受下層影響,而層內(nèi)各因素基本上相對獨立。步驟2構(gòu)造成對比較陣對于同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較,借助1~9尺度,構(gòu)造比較矩陣；步驟3計算權(quán)向量并作一致性檢驗由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權(quán)重,并進行一致性檢驗,若通過,則最大特征根對應的特征向量做為權(quán)向量。步驟4計算組合權(quán)向量<作組合一致性檢驗>組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)通過一個具體的例子介紹層次分析模型的應用。例<選擇旅游地決策問題>如何在XX、XX、北戴河3個目的地中按照景色、費用、居住條件、飲食、旅途條件等因素進行選擇。步驟1建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)將決策問題分為3個層次：目標層O,準則層C,方案層P；每層有若干元素,各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。CC5旅途選擇旅游地P2XXP1XXP3北戴河C3居住C1景色C2費用C4飲食目標層準則層方案層圖1選擇旅游地的層次結(jié)構(gòu)步驟2構(gòu)造比較矩陣元素之間兩兩對比,對比采用美國運籌學家A.L.Saaty教授提出的1~9比率標度法<表1>對不同指標進行兩兩比較,構(gòu)造判斷矩陣。標度值含義1兩因素相比,具有同等重要性3兩因素相比,前者比后者稍重要5兩因素相比,前者比后者明顯重要7兩因素相比,前者比后者強烈重要9兩因素相比,前者比后者極端重要2、4、6、8表示上述相鄰判斷的中間值以上各數(shù)值的倒數(shù)若指標與指標比較相對重要性用上述之一數(shù)值標度,則指標與指標的相對重要性用上述數(shù)值的倒數(shù)標度表11~9標度的含義設要比較各準則對目標O的重要性,記判斷矩陣為顯然,A是正互反陣。步驟3計算被比較元素對于該準則的相對權(quán)重<1>一致陣的定義與性質(zhì)一致陣的定義要由A確定對目標O的權(quán)向量,我們首先考察一致矩陣的性質(zhì)。稱滿足的正互反陣為一致陣。例如一致矩陣的性質(zhì)矩陣A的秩為1,A的唯一非零特征根為。矩陣A的任一列向量是對應于的特征向量。矩陣A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量。然而,我們構(gòu)造的成對比較矩陣中,由,可以得到,而事實上。因此矩陣A并不是一致陣,事實上在大多情況下我們構(gòu)造的成對比較矩陣都不是一致陣。對于這樣的矩陣我們?nèi)绾蝸泶_定權(quán)向量呢？我們通常的作法是：對于不一致<但在允許范圍內(nèi)>的成對比較陣A,建議用對應于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量。<2>一致性檢驗〔確定成對比較陣不一致的允許范圍,計算權(quán)向量。已知階一致陣的唯一非零特征根為,可證：階正互反陣最大特征根,且時為一致陣。一致性指標：,CI越大,不一致性越嚴重。隨機一致性指標：隨機產(chǎn)生多個矩陣,將每個矩陣的一致性指標相加然后取平均值得到RI。n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51表2Saaty的隨機一致性指標注：標2中的表示成對比較陣的維數(shù)。一致性比率如果,構(gòu)造的成對比較矩陣A通過一致性檢驗。步驟4計算組合權(quán)向量記第2層<準則層>對第1層<目標層>的權(quán)向量為同樣求第3層<方案層>對第2層每一元素<準則層>的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層<方案層>對第1層<目標層>的組合權(quán)向量以此類推,第s層對第1層的組合權(quán)向量其中是由第p層對第p-1層權(quán)向量按列組成的矩陣。層次分析法的應用1、應用領域：經(jīng)濟計劃和管理,能源政策和分配,人才選拔和評價,生產(chǎn)決策,交通運輸,科研選題,產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),教育,醫(yī)療,環(huán)境,軍事等。2、處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。3、建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步,要有主要決策層參與。4、構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù),應由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。層次分析法的若干問題2.當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？不完全層次結(jié)構(gòu)上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián),這種層次結(jié)構(gòu)稱為完全層次結(jié)構(gòu),否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu),不完全層次結(jié)構(gòu)又分為兩種,一種為不完全層次出現(xiàn)在準則層與子準則層之間,這種不完全結(jié)構(gòu)容易處理,我們將不支配的那些因素的權(quán)向量分別簡單的置0,就可以用完全層次結(jié)構(gòu)的辦法處理,但如果不完全結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在準則層與方案層之間,則處理起來就有些麻煩,我們看下面的例子。例評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)<圖3>,該圖中支配元素的數(shù)目不等,此層次結(jié)構(gòu)稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。設第2層對第1層權(quán)向量已定,第3層對第2層權(quán)向量,已得,討論由計算第3層對第1層權(quán)向量的方法。貢獻貢獻O教學C1科研C2P2P1P3P4圖3評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)我們首先考察一個特例：若重要性相同,則,能力相同,,則公正的評價應為：。若不考慮支配元素數(shù)目不等的影響,仍用計算,則意味著支配元素越多權(quán)重越大,顯然是不合理的。用支配元素數(shù)對加權(quán)修正,修正為,再計算。令,再用計算。本例中,計算得,表明支配元素越多權(quán)重越小與公正的評價相吻合。成對比較陣殘缺時的處理專家或有關(guān)人士由于某種原因會無法或不愿對某兩個因素給出相互對比的結(jié)果,于是成對比較陣出現(xiàn)殘缺。如何對此作修正,以便繼續(xù)進行權(quán)向量的計算呢？例設一成對比較陣為,為殘缺元素,試對此殘缺陣進行處理。解構(gòu)造輔助矩陣,因此由<1>但是,中包含未知量,<1>式無法求解,進而將修正為,不難驗證,進而求得。注：一般地,由殘缺陣構(gòu)造修正陣的方法是令模糊綜合評價模型模糊數(shù)學是從量的角度研究和處理模糊現(xiàn)象的科學。這里模糊性是指客觀事物的差異在中介過渡時所呈現(xiàn)的"亦此亦比"性。比如用某種方法治療某病的療效"顯效"與"好轉(zhuǎn)"、某醫(yī)院管理工作"達標"與"基本達標"、某篇學術(shù)論文水平"很高"與"較高"等等。從一個等級到另一個等級間沒有一個明確的分界,中間經(jīng)歷了一個從量變到質(zhì)變的連續(xù)過渡過程,這個現(xiàn)象叫中介過渡。由這種中介過渡引起的劃分上的"亦此亦比"性就是模糊性。模糊綜合評價是以模糊數(shù)學為基礎。應用模糊關(guān)系合成的原理,將一些邊界不清,不易定量的因素定量化,進行綜合評價的一種方法。一、單因素模糊綜合評價的步驟〔1根據(jù)評價目的確定評價指標〔EvaluationIndicator集合例如：評價某項科研成果,評價指標集合為={學術(shù)水平,社會效益,經(jīng)濟效益}?！?給出評價等級〔EvaluationGrade集合例如：評價某項科研成果,評價等級集合為={很好,好,一般,差}?！?確定各評價指標的權(quán)重〔Weight權(quán)重反映各評價指標在綜合評價中的重要性程度,且例如：假設評價科研成果,評價指標集合={學術(shù)水平,社會效益,經(jīng)濟效益}其各因素權(quán)重設為〔4確定評價矩陣請該領域?qū)＜胰舾晌?分別對此項成果每一因素進行單因素評價<One-WayEvaluation>,例如對學術(shù)水平,有50%的專家認為"很好",30%的專家認為"好",20%的專家認為"一般",由此得出學術(shù)水平的單因素評價結(jié)果為同樣如果社會效益,經(jīng)濟效益兩項單因素評價結(jié)果分別為那么該項成果的評價矩陣為〔5進行綜合評價通過權(quán)系數(shù)矩陣與評價矩陣的模糊變換得到模糊評判集。設,那么其中""為模糊合成算子。進行模糊變換時要選擇適宜的模糊合成算子,模糊合成算子通常有四種<1>算子,符號""為取小,""為取大。運算過程為首先對每個下標求出與的最小值,然后從這些最小值里面取最大值。<2>算子<3>算子""是有界和運算,即在有界限制下的普通加法運算．對個實數(shù)有,利用算子,有<4>算子以上四個算子在綜合評價中的特點是如下表：特點算子體現(xiàn)權(quán)數(shù)作用不明顯明顯不明顯明顯綜合程度弱弱強強利用R的信息不充分不充分比較充分充分類型主因素突出型主因素突出型加權(quán)平均型加權(quán)平均型表121.如何確定權(quán)向量1>層次分析法2>歸一化法歸一化公式:其中為評價參數(shù)的監(jiān)測值；為評價參數(shù)i的n級標準的算術(shù)平均值,則權(quán)重集為2.如何確定評價矩陣1>專家評價法2>層次分析法〔6得出綜合結(jié)論通過對模糊評判向量的分析作出綜合結(jié)論．一般可以采用以下三種方法：1.最大隸屬原則模糊評判集中為等級對模糊評判集的隸屬度,按最大隸屬度原則作出綜合結(jié)論,即,所對應的元素為綜合評價結(jié)果。該方法雖簡單易行,但只考慮隸屬度最大的點,其它點沒有考慮,損失的信息較多.二、多級模糊綜合評判有些情況因為要考慮的因素太多,而權(quán)重難以細分,或因各權(quán)重都太小,使得評價失去實際意義,為此可根據(jù)因素集中各指標的相互關(guān)系,把