基本不等式經(jīng)典例試題

根本不等式知識(shí)點(diǎn)：假設(shè)1.(1) a,b假設(shè)

R，那么a 2

b2 2ab

R，那么假設(shè)a,b ab

a2 b22

〔當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=〞〕，那a 假設(shè)a,b2.(1) a,b R*

b ab(2)2

R* ，那么ab 2 ab 〔當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“〞〕b

*R

a b 2

(當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“〞〕1假設(shè)0，那么1x xx假設(shè) 0，那么1

2(當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取“=〞〕x x 2(當(dāng)且僅當(dāng)xx

1時(shí)取“=〞〕0，那么假設(shè)

1 1 12即x x x 2xx x

-2(當(dāng)且僅當(dāng)a

b時(shí)取“=〞〕0，那么假設(shè) a

b時(shí)取“=〞〕假設(shè) a a aab 0，那么

b 2 ( 當(dāng)且僅當(dāng)a ab b 2即 b 2或

b -2( 當(dāng)且b a b a b a b a僅當(dāng)a b時(shí)取“〞〕假設(shè)a,

R，那么 2 2a2b ( b) a b2

〔當(dāng)且僅當(dāng)

a b=〞〕2 2注意：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大〞．求最值的條件“一正，二定，三取等〞均值定理在求最值、比擬大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例：求以下函數(shù)的值域1 1221〕3x 〔2〕x＋x2技巧一：湊項(xiàng)例 x 5

，求函數(shù)y 4x2

1 的最大值。4 4x 5技巧二：湊系數(shù)例：當(dāng) 時(shí)，求y x(8 2x)的最大值。3變式：設(shè)0 x2

，求函數(shù)y 4x(32x)的最大值。技巧三：別離換元2例：求y

x 7x 10x 1

x 1)的值域。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，假設(shè)遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)

fx) x a的單調(diào)性。x例：求函數(shù)y

x 52 的值域。x2 41〞的應(yīng)用〕屢次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否那么就會(huì)出錯(cuò)。 。x xx x0 1例： ，且 ，求 的最小值。x y技巧七y22 2例：x，y為正實(shí)數(shù)，且x＋2＝1，求x 1＋y 的最大值.技巧八：1a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝ab 的最小值.技巧九、取平方求函數(shù)例:

1y2x1 52x( x

5)的最大值。2 2應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1 1例：a、b、c R，且a b c 1。求證： 1

11 1 8a b c應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題1 9例：x 0,y 0且 1，求使不等式x y m恒成立的實(shí)數(shù)m 的取值范圍。x y應(yīng)用四：均值定理在比擬大小中的應(yīng)用：