邊值問題課件

第五章邊值問題機(jī)電工程學(xué)院電氣電子工程學(xué)系孫紅貴第五章邊值問題機(jī)電工程學(xué)院靜電場問題求解解析法數(shù)值法分離變量法復(fù)位函數(shù)法保角變換法有限差分法有限單元法其它其它01十一月20221《工程電磁場》第五章邊值問題靜電場問題求解解析法數(shù)值法分離變量法復(fù)位函數(shù)法保角變換法§5-1分離變量法

分離變量法就是將偏微分方程變量分離得到通解，利用邊界條件得到其定解的過程。

為一足夠長（忽略邊緣效應(yīng)）的方形金屬槽，邊寬為1m，除頂蓋電位為外，其它三方的電位均為零，求槽內(nèi)電位的分布。1m1m變量的分離:

01十一月20222《工程電磁場》第五章邊值問題§5-1分離變量法分離變量法就是將偏微分方程變量分離1、式中均為任意常數(shù)。2、式中均為任意常數(shù)3、式中均為任意常數(shù)方程的通解的三種情況方程的通解01十一月20223《工程電磁場》第五章邊值問題1、式中均為任意常數(shù)。2、式中均為解的函數(shù)形式和任意常數(shù)的確定

根據(jù)邊界條件由由01十一月20224《工程電磁場》第五章邊值問題解的函數(shù)形式和任意常數(shù)的確定根據(jù)邊界條件由由23十月2由由方程的唯一解:

分離變量法實際是根據(jù)邊界條件的特征，將偏微分方程進(jìn)行變量分離，形成獨立坐標(biāo)的微分方程，并得到通解，再根據(jù)邊界條件得到通解的函數(shù)形式和任意常數(shù)。01十一月20225《工程電磁場》第五章邊值問題由由方程的唯一解:分離變量法實際是根據(jù)邊界條件的特征，§5-1復(fù)位變量法復(fù)位函數(shù)法----某種解析的復(fù)位函數(shù)的實部和虛部所表達(dá)的函數(shù)曲線(正交)分別與某種特定二維靜電場的等位線和電力線相吻合，則求解該靜電場轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的解析函數(shù)實部和虛部的求解例:復(fù)位函數(shù)為復(fù)變數(shù)，為實常數(shù)。

將復(fù)變數(shù)在極坐標(biāo)表示xjy的等值線的等值線兩函數(shù)的等值線如圖所示的等值線均勻帶電長直導(dǎo)線的電力線的等值線均勻帶電長直導(dǎo)線的等位線(E通量函數(shù))01十一月20226《工程電磁場》第五章邊值問題§5-1復(fù)位變量法復(fù)位函數(shù)法----某種解析的復(fù)位函數(shù)的實結(jié)合邊界條件可得到均勻帶電長直導(dǎo)線的場的分布實際問題:一單芯電纜，其內(nèi)半徑為，外半徑為，所施電壓為試求此單芯電纜絕緣層中的電位函數(shù)及通量函數(shù)

令因此對應(yīng)的復(fù)位函數(shù):電位函數(shù)E通量函數(shù)01十一月20227《工程電磁場》第五章邊值問題結(jié)合邊界條件可得到均勻帶電長直導(dǎo)線的場的分布實際問題:一單芯例5-1求解析函數(shù)表示的電場，式中為實常數(shù)。解:（常數(shù)）（常數(shù)）令等通量線方程等位線方程令點即電位確定值:=常數(shù)=常數(shù)01十一月20228《工程電磁場》第五章邊值問題例5-1求解析函數(shù)表示的電場，式中為實常數(shù)。解:（常數(shù)）§5-3保角變換法例：研究解析函數(shù)保角變換法的一般過程

常數(shù)常數(shù)o常數(shù)常數(shù)o保角變換比原Z平面中圖形要簡單。這樣，就可以先求出W平面上較為簡單的電場，然后通過函數(shù)變換，再求得Z平面上原來所求的電場。通過解析函數(shù)W=W(Z)這一變換式，可將Z平面中電場的圖形變換為W形，平面上的電場圖形，而且變換后的圖形平面上的電場圖

從電工的角度來看，就是將一個求解復(fù)雜問題，變換為求解一個簡單的電場問題。

01十一月20229《工程電磁場》第五章邊值問題§5-3保角變換法例：研究解析函數(shù)保角變換法的一般過程常

保角變換的一般理論

由Z平面變換到W平面，兩條曲線的夾角保持不變保角變換01十一月202210《工程電磁場》第五章邊值問題保角變換的一般理論由Z平面變換到W平面5-4均勻媒質(zhì)中的有限差分法場域邊界網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(內(nèi)點)邊界節(jié)點

數(shù)值計算法的基本思想----將整體連續(xù)的場域劃分為若干個細(xì)小區(qū)域，一般稱之為網(wǎng)格或單元（見圖5-11），然后用所求的網(wǎng)格交點（一般稱為節(jié)點或離散點）的數(shù)值解，來代替整個場域的真實解。

數(shù)值解，即是所求場域離散點的解。雖然數(shù)值解是一種近似解法，但當(dāng)劃分的網(wǎng)格或單元愈密時，離散點數(shù)目也愈多，近似解（數(shù)值解）也就愈逼近于真實解。，

四個節(jié)點1、2、3、4的矢量磁位分別記為、、、

設(shè)圖所示場域中的位函數(shù)為A，任取一網(wǎng)格節(jié)點O矢量磁位為Ai,j01十一月202211《工程電磁場》第五章邊值問題5-4均勻媒質(zhì)中的有限差分法場域邊界網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(內(nèi)點場域的剖分，網(wǎng)格節(jié)點及步長

場域的剖分(場域的離散化)-----將場域剖分為若干個網(wǎng)格或單元。差分與微分步驟：

差分----用差商近似代替偏微商，或者說用差分代替微分，從而把偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程場域邊界網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(內(nèi)點)邊界節(jié)點根據(jù)圖示網(wǎng)格,0點與相鄰的四點的的差分如下01十一月202212《工程電磁場》第五章邊值問題場域的剖分，網(wǎng)格節(jié)點及步長場域的剖分(場域的離散化)-均勻媒質(zhì)中泊松與拉普拉斯方程的差分離散格式

第二步：內(nèi)點泊松方程的差分表達(dá)式

第一步：若采用正方形網(wǎng)格剖分，即將場域剖分為具有四個內(nèi)點（即點1，2，3，4），邊界與網(wǎng)格線重合的九個離散單元（九個網(wǎng)格）。這就是把連續(xù)的場域進(jìn)行離散化，從而將求解場域內(nèi)矢量磁位函數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為求1，2，3，4各內(nèi)點的矢量磁位值的問題。01十一月202213《工程電磁場》第五章邊值問題均勻媒質(zhì)中泊松與拉普拉斯方程的差分離散格式第二步：內(nèi)點

第三步：解代數(shù)方程組

當(dāng)內(nèi)點較少時，可直接用代元消去法或列式法、張弛法等進(jìn)行手算；當(dāng)內(nèi)點較多時，即內(nèi)點數(shù)不是幾個，十幾個，而是成百個，上千個時，手算幾乎不可能，這就必須借助計算機(jī)進(jìn)行計算。求解高階方程組的方法有賽德爾迭代法及超松馳代法等等。01十一月202214《工程電磁場》第五章邊值問題第三步：解代數(shù)方程組當(dāng)內(nèi)點較少時，可直接用5-5有限元方法簡介方法原理

等價泛函場域剖分與單元分析

過程：將連續(xù)場域進(jìn)行剖分離散，將整個場域分割為限個單元體，并在每一個單元體上作近似能量積分，然后再進(jìn)行求和來進(jìn)行求解01十一月202215《工程電磁場》第五章邊值問題5-5有限元方法簡介方法原理等價泛函場域剖分與單元分析場域剖分后其相應(yīng)變分表達(dá)式----單元剖分體----單元體個數(shù)，----單元體電位函數(shù)

為了在每個剖分單元上，近似作出能量積分，必須構(gòu)造單元內(nèi)的解函數(shù)，即電位函數(shù)。如果假設(shè)在每個單元體內(nèi)，電位與空間坐標(biāo)成線性關(guān)系，若設(shè)節(jié)點1、2、3為三角形單元之項點

單元體內(nèi)插值函數(shù)的具體形式可通過節(jié)點上的電位函數(shù)值，，及坐標(biāo)表示出來

01十一月202216《工程電磁場》第五章邊值問題場域剖分后其相應(yīng)變分表達(dá)式----單元剖分體----單元體一般形式：與坐標(biāo)有關(guān)的形函數(shù)其中---單元三角形的面積；----三角形單元線性插值基函數(shù)

泛函01十一月202217《工程電磁場》第五章邊值問題一般形式：與坐標(biāo)有關(guān)的形函數(shù)其中---單元三角形的面積；--場域節(jié)點為n時：總體系數(shù)（剛度）矩陣的形式

矩陣方程剛度（總體系數(shù)）矩陣剛度矩陣是一個稀疏陣軸對稱極坐標(biāo)系下的泛函和剛度矩陣的元素01十一月202218《工程電磁場》第五章邊值問題場域節(jié)點為n時：總體系數(shù)（剛度）矩陣的形式矩陣方程剛度（邊界無法模擬電荷法網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞ǖ刃н吔缭矸ň亓糠商乜ɡㄆ渌鼣?shù)值法01十一月202219《工程電磁場》第五章邊值問題邊界無法其它數(shù)值法23十月202219《工程電磁場》第第五章邊值問題機(jī)電工程學(xué)院電氣電子工程學(xué)系孫紅貴第五章邊值問題機(jī)電工程學(xué)院靜電場問題求解解析法數(shù)值法分離變量法復(fù)位函數(shù)法保角變換法有限差分法有限單元法其它其它01十一月202221《工程電磁場》第五章邊值問題靜電場問題求解解析法數(shù)值法分離變量法復(fù)位函數(shù)法保角變換法§5-1分離變量法

分離變量法就是將偏微分方程變量分離得到通解，利用邊界條件得到其定解的過程。

為一足夠長（忽略邊緣效應(yīng)）的方形金屬槽，邊寬為1m，除頂蓋電位為外，其它三方的電位均為零，求槽內(nèi)電位的分布。1m1m變量的分離:

01十一月202222《工程電磁場》第五章邊值問題§5-1分離變量法分離變量法就是將偏微分方程變量分離1、式中均為任意常數(shù)。2、式中均為任意常數(shù)3、式中均為任意常數(shù)方程的通解的三種情況方程的通解01十一月202223《工程電磁場》第五章邊值問題1、式中均為任意常數(shù)。2、式中均為解的函數(shù)形式和任意常數(shù)的確定

根據(jù)邊界條件由由01十一月202224《工程電磁場》第五章邊值問題解的函數(shù)形式和任意常數(shù)的確定根據(jù)邊界條件由由23十月2由由方程的唯一解:

分離變量法實際是根據(jù)邊界條件的特征，將偏微分方程進(jìn)行變量分離，形成獨立坐標(biāo)的微分方程，并得到通解，再根據(jù)邊界條件得到通解的函數(shù)形式和任意常數(shù)。01十一月202225《工程電磁場》第五章邊值問題由由方程的唯一解:分離變量法實際是根據(jù)邊界條件的特征，§5-1復(fù)位變量法復(fù)位函數(shù)法----某種解析的復(fù)位函數(shù)的實部和虛部所表達(dá)的函數(shù)曲線(正交)分別與某種特定二維靜電場的等位線和電力線相吻合，則求解該靜電場轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的解析函數(shù)實部和虛部的求解例:復(fù)位函數(shù)為復(fù)變數(shù)，為實常數(shù)。

將復(fù)變數(shù)在極坐標(biāo)表示xjy的等值線的等值線兩函數(shù)的等值線如圖所示的等值線均勻帶電長直導(dǎo)線的電力線的等值線均勻帶電長直導(dǎo)線的等位線(E通量函數(shù))01十一月202226《工程電磁場》第五章邊值問題§5-1復(fù)位變量法復(fù)位函數(shù)法----某種解析的復(fù)位函數(shù)的實結(jié)合邊界條件可得到均勻帶電長直導(dǎo)線的場的分布實際問題:一單芯電纜，其內(nèi)半徑為，外半徑為，所施電壓為試求此單芯電纜絕緣層中的電位函數(shù)及通量函數(shù)

令因此對應(yīng)的復(fù)位函數(shù):電位函數(shù)E通量函數(shù)01十一月202227《工程電磁場》第五章邊值問題結(jié)合邊界條件可得到均勻帶電長直導(dǎo)線的場的分布實際問題:一單芯例5-1求解析函數(shù)表示的電場，式中為實常數(shù)。解:（常數(shù)）（常數(shù)）令等通量線方程等位線方程令點即電位確定值:=常數(shù)=常數(shù)01十一月202228《工程電磁場》第五章邊值問題例5-1求解析函數(shù)表示的電場，式中為實常數(shù)。解:（常數(shù)）§5-3保角變換法例：研究解析函數(shù)保角變換法的一般過程

常數(shù)常數(shù)o常數(shù)常數(shù)o保角變換比原Z平面中圖形要簡單。這樣，就可以先求出W平面上較為簡單的電場，然后通過函數(shù)變換，再求得Z平面上原來所求的電場。通過解析函數(shù)W=W(Z)這一變換式，可將Z平面中電場的圖形變換為W形，平面上的電場圖形，而且變換后的圖形平面上的電場圖

從電工的角度來看，就是將一個求解復(fù)雜問題，變換為求解一個簡單的電場問題。

01十一月202229《工程電磁場》第五章邊值問題§5-3保角變換法例：研究解析函數(shù)保角變換法的一般過程常

保角變換的一般理論

由Z平面變換到W平面，兩條曲線的夾角保持不變保角變換01十一月202230《工程電磁場》第五章邊值問題保角變換的一般理論由Z平面變換到W平面5-4均勻媒質(zhì)中的有限差分法場域邊界網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(內(nèi)點)邊界節(jié)點

數(shù)值計算法的基本思想----將整體連續(xù)的場域劃分為若干個細(xì)小區(qū)域，一般稱之為網(wǎng)格或單元（見圖5-11），然后用所求的網(wǎng)格交點（一般稱為節(jié)點或離散點）的數(shù)值解，來代替整個場域的真實解。

數(shù)值解，即是所求場域離散點的解。雖然數(shù)值解是一種近似解法，但當(dāng)劃分的網(wǎng)格或單元愈密時，離散點數(shù)目也愈多，近似解（數(shù)值解）也就愈逼近于真實解。，

四個節(jié)點1、2、3、4的矢量磁位分別記為、、、

設(shè)圖所示場域中的位函數(shù)為A，任取一網(wǎng)格節(jié)點O矢量磁位為Ai,j01十一月202231《工程電磁場》第五章邊值問題5-4均勻媒質(zhì)中的有限差分法場域邊界網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(內(nèi)點場域的剖分，網(wǎng)格節(jié)點及步長

場域的剖分(場域的離散化)-----將場域剖分為若干個網(wǎng)格或單元。差分與微分步驟：

差分----用差商近似代替偏微商，或者說用差分代替微分，從而把偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程場域邊界網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(內(nèi)點)邊界節(jié)點根據(jù)圖示網(wǎng)格,0點與相鄰的四點的的差分如下01十一月202232《工程電磁場》第五章邊值問題場域的剖分，網(wǎng)格節(jié)點及步長場域的剖分(場域的離散化)-均勻媒質(zhì)中泊松與拉普拉斯方程的差分離散格式

第二步：內(nèi)點泊松方程的差分表達(dá)式

第一步：若采用正方形網(wǎng)格剖分，即將場域剖分為具有四個內(nèi)點（即點1，2，3，4），邊界與網(wǎng)格線重合的九個離散單元（九個網(wǎng)格）。這就是把連續(xù)的場域進(jìn)行離散化，從而將求解場域內(nèi)矢量磁位函數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為求1，2，3，4各內(nèi)點的矢量磁位值的問題。01十一月202233《工程電磁場》第五章邊值問題均勻媒質(zhì)中泊松與拉普拉斯方程的差分離散格式第二步：內(nèi)點

第三步：解代數(shù)方程組

當(dāng)內(nèi)點較少時，可直接用代元消去法或列式法、張弛法等進(jìn)行手算；當(dāng)內(nèi)點較多時，即內(nèi)點數(shù)不是幾個，十幾個，而是成百個，上千個時，手算幾乎不可能，這就必須借助計算機(jī)進(jìn)行計算。求解高階方程組的方法有賽德爾迭代法及超松馳代法等等。01十一月202234《工程電磁場》第五章邊值問題第三步：解代數(shù)方程組當(dāng)內(nèi)點較少時，可直接用5-5有限元方法簡介方法原理

等價泛函場域剖分與單元分析

過程：將連續(xù)場域進(jìn)行剖分離散，將整個場域分割為限個單元體，并在每一個單元體上作近似能量